131函数的单调性与导数

1、1.3 1.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1.3.1 1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 自主学习自主学习t57301p21.1.八个基本初等函数的导数公式分别是八个基本初等函数的导数公式分别是什么？什么？0c=1()nnxnx-=(sinx)cosx (cosx)sinx ( )l nxxaaa=( )xxee=1(l og)l naxxa=1(l n )xx=2.2.导数的四则运算法则是什么？导数的四则运算法则是什么？ ( )( )( )( )f xg xf xg x= ( )( )( ) ( )( ) ( )f xg xf x g xf x g x=+2

2、( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( ) ( )f xf x g xf x g xg xg xg x-=3.3.复合函数的求导法则是什么？复合函数的求导法则是什么？ ( ( )( )( )f g xf ug x =其中其中u ug(x). g(x). 4.4.上述原理解决了导数的计算问题，接上述原理解决了导数的计算问题，接下来的问题是如何利用导数分析函数的下来的问题是如何利用导数分析函数的有关性质？有关性质？ 探究（一）：探究（一）：函数的单调性原理函数的单调性原理 思考思考1 1：根据图象分析，函数根据图象分析，函数f(x)f(x)x x2 24x4x3 3的单调性如何？的单调

3、性如何？ 在在(2(2，）内是增函数，在）内是增函数，在( (，2)2)内是减函数内是减函数. .y yO Ox x2 2思考思考2 2：函数函数f(x)f(x)x x2 24x4x3 3的导数是的导数是什么？什么？f(x)f(x)的单调性与其导数有什么内的单调性与其导数有什么内在联系？在联系？ f f (x)(x)2x2x4 4 f(x)f(x)为增函数时为增函数时f f (x)(x)0 0，f(x)f(x)为减函为减函数时数时f f (x)(x)0. 0. 在在(2(2，）内是增函数，在）内是增函数，在( (，2)2)内是减函数内是减函数. .思考思考3 3：考察下列函数的图象，它们的单考

4、察下列函数的图象，它们的单调性与其导数的正负有什么规律？调性与其导数的正负有什么规律？x xy yO Oy y2x2x1 1x xy yO Oy yx x3 3x xy yO Oy ycosxcosx22x xy yO O1yx=思考思考4 4：根据上述规律推测，一般地，根据上述规律推测，一般地，函数函数f(xf(x) )在区间在区间(a(a，b)b)内的单调性与其内的单调性与其导数的正负有什么关系？在理论上如何导数的正负有什么关系？在理论上如何解释？解释？ 若若f f (x(x) )0 0，则，则f(xf(x) )单调递增；单调递增；若若f f (x(x) )0 0，则，则f(xf(x) )

5、单调递减单调递减. .若若f f (x(x0 0) )0 0，则，则f(xf(x) )在点在点x x0 0处的切线的处的切线的斜率为正数，斜率为正数，f(xf(x) )在在x x0 0附近单调递增；附近单调递增； 若若f f (x(x0 0) )0 0，则，则f(xf(x) )在点在点x x0 0处的切线的处的切线的斜率为负数，斜率为负数，f(xf(x) )在在x x0 0附近单调递减附近单调递减. . 探究（二）：探究（二）：单调性原理的拓展单调性原理的拓展 思考思考1 1：若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间(a(a，b)b)内恒内恒有有f f (x(x) )0 0，则函数，则函数f

6、(xf(x) )有什么特性？有什么特性？f(xf(x) )为常数函数，不具有单调性为常数函数，不具有单调性. . 思考思考2 2：若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间(a(a，b)b)内有内有 f f (x)0(x)0（或（或f f (x)0(x)0），且不恒等于），且不恒等于0 0，则则f(xf(x) )的单调性如何？的单调性如何？ f f (x)0 f(x(x)0 f(x) )单调递增；单调递增；f f (x)0 f(x(x)0 f(x) )单调递减，单调递减， 其中其中f f (x(x) )不恒等于不恒等于0.0. 思考思考3 3：函数函数f(x)f(x)x x2 2在区间在区间(

7、0(0，1)1)和和(1(1，2)2)内递增的快慢程度如何？函数内递增的快慢程度如何？函数 f(x)f(x) 在区间在区间(0(0，1)1)和和(1(1，2)2)内递增的快慢程内递增的快慢程度如何？度如何？xf(x)f(x)x x2 2在区间在区间(0(0，1)1)内递增得慢些；内递增得慢些；f(x)f(x) 在区间在区间(0(0，1)1)内递增得快些内递增得快些. . x思考思考4 4：函数函数f(x)f(x) 在区间在区间(0(0，1)1)和和(1(1，2) 2) 内递减的快慢程度如何？内递减的快慢程度如何？1xf(x)f(x)在区间在区间(0(0，1)1)内递减得快些内递减得快些. .

8、思考思考5 5：一般地，函数一般地，函数f(x)f(x)在某一范围在某一范围内的导数的绝对值大小与函数图象在这内的导数的绝对值大小与函数图象在这个范围内的个范围内的“陡峭陡峭”程度有什么关系？程度有什么关系？ 导数的绝对值越大，图象越导数的绝对值越大，图象越“陡峭陡峭”；导数的绝对值越小，图象越导数的绝对值越小，图象越“平缓平缓”. . 例例1 1 已知导函数已知导函数f f (x)(x)的下列信息：的下列信息：当当1 1x x4 4时，时，f f (x)(x)0 0；当当x x1 1或或x x4 4时，时，f f (x)(x)0 0；当当x x1 1或或x x4 4时，时，f f (x)(x

9、)0.0.试画出函数试画出函数f(x)f(x)的图象的大致形状的图象的大致形状. .理论迁移理论迁移x xy yO O 1 14 4 例例2 2 判断下列函数的单调性，并求判断下列函数的单调性，并求出其单调区间：出其单调区间：（1 1）f(x)f(x)x x3 33x3x； （2 2）f(x)f(x)x x2 22x2x3 3；（3 3）f(x)f(x)sinxsinxx x，x(0 x(0，)； （4 4）f(x)f(x)2x2x3 33x3x2 236x36x1.1.（1 1）f(x)f(x)在在R R上单调递增；上单调递增； （2 2）f(x)f(x)在在(1(1，)上单调递增，上单调递

10、增， 在在( (，1)1)上单调递减；上单调递减； （3 3）f(x)f(x)在在(0(0，)上单调递减；上单调递减； （4 4）f(x)f(x)在在( (，3)3)，(2(2，)上单调递增上单调递增 在在( (3 3，2)2)上单调递减上单调递减. . 例例3 3 水以恒速（即单位时间内注入水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种下底面积水的体积相同）注入下面四种下底面积相同的容器中，试分别画出各容器水的相同的容器中，试分别画出各容器水的高度高度h h与时间与时间t t的函数关系的大致图象的函数关系的大致图象. . y yO Ox xy yO Ox xy yO Ox xy yO Ox x1.1.利用导数求函数单调区间的基本步骤利用导数求函数单调区间的基本步骤为：求导数为：求导数f f (x)(x)解不等式解不等式f f (x)(x)0 0和和f f (x)(x)00作结论作结论. .小结作业小结作业2.2.若在区间若在区间(