2011年中考数学一轮复习第13讲反比例函数

1、第十三讲 反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k是常数，且k不为零；（2）中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数。（3）自变量x的取值范围是的一切实数.（4）自变量y的取值范围是的一切实数。例1、如果函数为反比例函数，则的值是 （ ）A 、 B、 C 、 D、解题思路：由反比例函数的定义可知=-1，解得m=±1,但须考虑0，则m=-1解答：A练习 当n取什么值时，y（n2+2n

2、）x是反比例函数?答案：当n-1时，知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达

3、到x轴和y轴的变化趋势。反比例函数的性质:的变形形式为（常数）所以：（1）其图象的位置是：当时，x、y同号，图象在第一、三象限；当时，x、y异号，图象在第二、四象限。（2）若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。（3）当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大；例1如图，函数y与y-kx+1（k0）在同一坐标系内的图像大致为（）解题思路：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y-kx+1与y轴的交点为（0，1），所以结论B和C都要可以排除.A中直线y-kx+1经过第一、二、四象限，-k0，

4、则k0，而k0时，双曲线y两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排除.故选D.例2当n取什么值时，y（n2+2n）x是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y随x的增大而增大或是减小?解题思路：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义y=（k0）可知，要本题是反比例函数，必须且只须n2+2n0且n2+n-1=-1.解：y（n2+2n）x是反比例函数，则n2+2n0，n2+n-1-1n0且n-2，n0或n-1.故当n-1时，y（n2+2n）x是反比例函数y-.k-10，双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大则增大. 练习1.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上

5、的两点，若，则有（）A B C D2.矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）答案：1.A 2.B知识点3. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为：（）；根据已知条件，列出含k的方程；解出待定系数k的值；把k值代入函数关系式中。

6、例反比例函数的图象经过A（1，-2），求反比例函数的关系式解题思路：设反比例函数的关系式为，把点A（1，-2）代入可得k=-2则所求反比例函数的关系式为练习已知点是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是_答案：知识点4. 用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。例 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系： x

7、（元）3456y（元）20151210（1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2） 猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2) y= (x-2) 则 y=60- 由于x10当x=10时y最大. 练习某气球内充满了一定质

8、量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位) （1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？yxAOB答案：（1） （2）120 （3）知识点5.反比例函数综合例 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值解题思路：(1)由在的图象上，则k=3，反比例函数关系式为；由也在的图象上

9、，则n=-3,所以B（-3，-1）。把B（-3，-1）代入 中，由待定系数法可求得m和b.（2）由图象可知：当x=-3或1时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。 解答：（1）在的图象上，又在的图象上，即解得：，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， （2）从图象上可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值例2反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果SMON2，求k的值. 分析：设M（x,y）又根据MON的面积与点M的关系可得：SMON=所以k=±4,又函数图象在第二、四象限，则k=-4 练习1如图，矩形AOCB的两边OC，O

10、A分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_ 2.两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=的图像上，PCx轴于点C，交y=的图像于点A，PDy轴于点D，交y=的图像于点B，当点P在y=的图像上运动时，以下结论： ODB与OCA的面积相等； 四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）答案：1. 2最新考题综观2009

11、年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”2010年中考反比例函数复习策略：1  抓实双基，掌握常见题型；2  重视函数的开放性试题；考查目标一.反比例函数的基本题例1 (09江苏省淮安市)在函数中，自变量x的取值范围是（ ）。A、x0 B、x2 C、x2

12、 D、x2解题思路：根据反比例函数y=(k0)，自变量的取值范围,X-20,得x2。答案：D例2(09浙江台州)反比例函数图象上一个点的坐标是。解题思路：按照要求写一对符合函数的有序实数。答案：略。点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。考查目标二. 反比例函数的图象例1(08湖北省十堰市)根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pvk(k为常数，k0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（ ）。pvOpvO

13、pvOpvOABCDD      解题思路：(k>0)，如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自变量的取值范围应为y>0。答案：C。例2已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是 （ ）A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定解题思路：k0,反比例函数图象双曲线两个分支分别位于二、四象限，若A、B两点都在第二或四象限（），由性质可知：0; 若A点在第二象限，B点在第四象限（），0，所以不能确定。解答：D考查目标三、反比例函数图象的面积与k问题例1、反比例函数（k>0）在第一

14、象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQx轴，设POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（ ） A B CS=k DS>k解题思路：设P（x,y）SPOQ=( k>0) 则 解：选B说明：由上述分析过程我们可以得出这样的结论：从同一反比例图象上一点P作X轴的垂线PQ所围POQ面积，为例2(08山东潍坊)设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P，过P作PA平行于y轴，过P作PA平行于x轴，PA与PA交于A点，则的面积（ ）A等于2 B等于4C等于8 D随P点的变化而变化解题思路：点P关于原点的对称点为P，P与P的横坐标与纵坐标都互为相反数，=，PA=答案：

15、8。考查目标四.利用图象，比较大小例1(08泰安市)已知三点，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（ ）A B CD解题思路： P3（1，-2）是一隐含条件，求出k，则根据反比例函数的图象分布，可得出函数值的大小。答案：D考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例1(四川省眉山市)如图，A、B是反比例函数y的图象上的两点。AC、BD都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则BDE的面积与ACE的面积的比值是（ ） A B D解题思路：A、B均在反比例函数图象上，又都知道横坐标，可求出点A、B的坐标分别

16、为（1，2）、（4，），求出过A、B的直线：，令y=0，得x=5；所以E点坐标（5，0），所以CE=4，DE=1，BDE与ACE相似，面积比等于相似比的平方。答：D。例2（09扬州）如图，二次函数（m<4）的图象与轴相交于点A、B两点（1）求点A、B的坐标（可用含字母的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且BAC的余弦值为，求这个二次函数的解析式略解：（1），令，可解得；，A（-4，0），B（。（2）RTAOD中，COSBAC=，AO=4， AD=5，OD=3。求出过A、D的直线为：，由与求得C点坐标（2，），把（2，）代入二次函数求得，所以所求二次函

17、数解析式：。过关测试一、选择题： 1、小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为( )(A)x= (B) y= (C) x+y=300 (D) y=2、如果反比例函数的图像经过点（3，4），那么函数的图像应在（）A、第一、三象限 B、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限3、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ）A、1或1 B、小于 的任意实数 C、1 、不能确定4、下列函数中y随x的增大而减小的是（ ）A、 B、 C、 D、 o5、正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（ ）xyyxoyxoyxoABCD6、在函数y=(k<0)的

18、图像上有A(1,y)、B(1,y)、C(2,y)三个点，则下列各式中正确的是（ ） (A) y<y<y (B) y<y<y (C) y<y<y (D) y<y<yABOxy7、如右图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若SAOB3，则的值为（ ）A、6 B、3C、D、不能确定 8、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ）A、<0，>0 B、>0，<0C、同号D、异号9、若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数的图象上的点，并且x10x2x3，则下列各式中正确

19、的是（）A、y1y2y3B、y2y3y1C、y3y2y1D、y1y3 y210、点A（a,b）、B（a1，c）均在函数的图象上，若a0，则与的大小关系是（）A、 B、 C、11在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是（ ）AB0C1D212一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（ ） A B C DOOOO二、填空题：1、右图是反比例函数的图象，则k与0的大小关系是k 0；2、已知是的反比例函数，当=3时，=4，则当=2时=_；yxOPM3、反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，MP垂直轴于点P，如果MOP的面积为1，那么

20、的值是 ；4、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为 ；5、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是 ；6、对于函数，当时，y的取值范围是_；当时且时，y的取值范围是y _1，或y _。（提示：利用图像解答）三、解答题1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值2、如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB轴于B且SABO=（1）求这两个函数的解析式；OyxBAC（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求AOC的面积。3、如图，已知反比例函数y = 的图象经过点A（1，- 3），一次函数y = kx + b的图象经过点A与点C（0，- 4），且与