数值计算科学

1、第第1313章章 数值计算科学数值计算科学2计算机科学导论计算机科学导论学习目标学习目标 了解高性能计算、数值分析的特点及方法、数值了解高性能计算、数值分析的特点及方法、数值运算工具运算工具MatlabMatlab、运筹学的特点及研究步骤、数、运筹学的特点及研究步骤、数学建模与计算机模拟的概念及关系、数学建模的学建模与计算机模拟的概念及关系、数学建模的步骤。步骤。第第1313章章 数值计算科学数值计算科学3计算机科学导论计算机科学导论13.1 高性能计算高性能计算 超级计算技术，或者高性能计算技术，在今天的科超级计算技术，或者高性能计算技术，在今天的科学研究和工程技术上的广泛应用是大家所熟知的

2、，学研究和工程技术上的广泛应用是大家所熟知的，比如人口统计数字的处理和分析就离不开超级计算比如人口统计数字的处理和分析就离不开超级计算机。在今天的社会中全面高性能计算的地位会越来机。在今天的社会中全面高性能计算的地位会越来越重要，对高性能计算的需求也是没有止境的。可越重要，对高性能计算的需求也是没有止境的。可以说，没有高性能计算技术，今天我们熟知的世界以说，没有高性能计算技术，今天我们熟知的世界上的重要经济和社会活动都将会瘫痪。上的重要经济和社会活动都将会瘫痪。4计算机科学导论计算机科学导论 在我国，由于高性能计算技术的应用还只局限于一些特定在我国，由于高性能计算技术的应用还只局限于一些特定的

3、部门，对计算技术的认识还远落后于可以利用的计算技的部门，对计算技术的认识还远落后于可以利用的计算技术本身。就现状而言，我国目前的计算机硬件水平已经达术本身。就现状而言，我国目前的计算机硬件水平已经达到相当高的程度，也有理由要求计算机的整体应用水平至到相当高的程度，也有理由要求计算机的整体应用水平至少达到同样的水准。超级计算技术的应用将会使一些具有少达到同样的水准。超级计算技术的应用将会使一些具有实用价值的问题得到有效的解决，同时也将改变人们在科实用价值的问题得到有效的解决，同时也将改变人们在科学研究和产品设计过程中解决问题的思路和方法，为人们学研究和产品设计过程中解决问题的思路和方法，为人们自

4、觉地采用新的技术手段和不断的推动科技发展打下基础。自觉地采用新的技术手段和不断的推动科技发展打下基础。 13.1 高性能计算高性能计算5计算机科学导论计算机科学导论13.2 数值分析数值分析 数值分析数值分析(Numerical Analysis)也称计算方法或数值也称计算方法或数值计算。它研究各种数学问题的数值计算方法的设计、分计算。它研究各种数学问题的数值计算方法的设计、分析以及有关的数学理论与实现。析以及有关的数学理论与实现。u 1数值分析的特点数值分析的特点 数值分析通常是基于科学或工程计算问题的数学模型进行的。数值分析通常是基于科学或工程计算问题的数学模型进行的。 数值分析不仅研究数

5、值计算的理论，更注重研究数值计算的数值分析不仅研究数值计算的理论，更注重研究数值计算的求解方法及其分析。这些方法通常是一些近似的、方便计算求解方法及其分析。这些方法通常是一些近似的、方便计算机处理的方法，对于方法的分析显得尤为必要，通常，这些机处理的方法，对于方法的分析显得尤为必要，通常，这些分析包括方法的收敛性、稳定性及结果的误差分析。分析包括方法的收敛性、稳定性及结果的误差分析。 另外，由于数值计算要借助计算机进行处理，因此还要考虑另外，由于数值计算要借助计算机进行处理，因此还要考虑计算方法，使之尽量有利于计算机的实现或高效处理。计算方法，使之尽量有利于计算机的实现或高效处理。 由此可以看

6、出，数值分析不仅具有数学的科学性、严谨性，由此可以看出，数值分析不仅具有数学的科学性、严谨性，还具有实践性与技术性。还具有实践性与技术性。6计算机科学导论计算机科学导论u2数值分析的方法数值分析的方法 常用的数值计算方法有构造法、离散法、递推法及近常用的数值计算方法有构造法、离散法、递推法及近似替代法。似替代法。 (1) 构造法构造法 在数值计算问题中，有许多是可以通过构造来证明其在数值计算问题中，有许多是可以通过构造来证明其存在性的，实际上这个构造证明的过程最终给出了该问题存在性的，实际上这个构造证明的过程最终给出了该问题的求解计算公式，该计算公式可以在计算机上编程实现。的求解计算公式，该计

7、算公式可以在计算机上编程实现。 (2) 离散法离散法 由于计算机只能处理离散的数据信息，对于涉及的连由于计算机只能处理离散的数据信息，对于涉及的连续变量问题，只有利用数学方法，将连续问题离散化，以续变量问题，只有利用数学方法，将连续问题离散化，以便于计算机的实现。便于计算机的实现。 13.2 数值分析数值分析7计算机科学导论计算机科学导论 (3) 递推法递推法 将一些复杂的计算过程转换为简单的、将一些复杂的计算过程转换为简单的、多次重复的过程，就是递推法的基本思想，多次重复的过程，就是递推法的基本思想，这对于计算机编程实现是非常便利的。这对于计算机编程实现是非常便利的。 (4) 近似替代法近似

8、替代法 对于无限过程的求解，数值计算通常采对于无限过程的求解，数值计算通常采用截断的处理方法，在满足误差允许的前提用截断的处理方法，在满足误差允许的前提下，用有限的计算来近似替代。下，用有限的计算来近似替代。13.2 数值分析数值分析8计算机科学导论计算机科学导论u3数值分析工具数值分析工具Matlab 数值计算最终需要编程实现，通常可以借助于一些工具软数值计算最终需要编程实现，通常可以借助于一些工具软件来完成，件来完成，Matlab就是目前应用较为广泛的数值计算工具就是目前应用较为广泛的数值计算工具之一。之一。 Matlab由美国的由美国的Math Works公司于公司于1984年推出，具有

9、功年推出，具有功能强大的工具箱，不仅可以方便地用于进行数值计算方法能强大的工具箱，不仅可以方便地用于进行数值计算方法的程序设计，同时还能利用的程序设计，同时还能利用Matlab的数据可视化能力，对的数据可视化能力，对数值问题的近似解及误差给予图形解释，图文并茂，从而数值问题的近似解及误差给予图形解释，图文并茂，从而便于人们解决实际的科学与工程计算问题。便于人们解决实际的科学与工程计算问题。 13.2 数值分析数值分析9计算机科学导论计算机科学导论13.3 运筹学运筹学 运筹学运筹学(Operational Research，OR)产生于产生于20世纪世纪30年代末期，与管理学科结合紧密，它源于

10、二次世界年代末期，与管理学科结合紧密，它源于二次世界大战期间盟军的组织策划、调度、管理等方面的一大战期间盟军的组织策划、调度、管理等方面的一套方法。运筹学可以说是一门新兴的应用科学，它套方法。运筹学可以说是一门新兴的应用科学，它利用科学方法尤其是数学方法，在建立模型的基础利用科学方法尤其是数学方法，在建立模型的基础上，解决现实世界中有关生产经营、工程技术、科上，解决现实世界中有关生产经营、工程技术、科学管理、军事决策、企业运行管理和决策中的最优学管理、军事决策、企业运行管理和决策中的最优化问题。化问题。10计算机科学导论计算机科学导论u1运筹学的特点运筹学的特点 运筹学广泛应用于工程、科学、军

11、事等领域，大都借助运筹学广泛应用于工程、科学、军事等领域，大都借助数学模型表达或描述问题。通常需要用到许多数学工具，数学模型表达或描述问题。通常需要用到许多数学工具，如概率统计、数理分析、线性代数、数理逻辑等。运筹如概率统计、数理分析、线性代数、数理逻辑等。运筹学进行的创造性科学研究一定要有可行性，提出的决策学进行的创造性科学研究一定要有可行性，提出的决策建议应该收到实际的效果。另外，运筹学寻求的是系统建议应该收到实际的效果。另外，运筹学寻求的是系统的整体的最优目标，而不是某个局部的优化管理。的整体的最优目标，而不是某个局部的优化管理。 由此可见，运筹学以一定的数学模型为基础，同时具有由此可见

12、，运筹学以一定的数学模型为基础，同时具有综合性、实效性和全局性等特点。综合性、实效性和全局性等特点。13.3 运筹学运筹学11计算机科学导论计算机科学导论u2运筹学的研究步骤运筹学的研究步骤 (1) 根据求解问题的目标，对问题进行分析和表述，根据求解问题的目标，对问题进行分析和表述，抽象抽象 出问题本质，并构造合适的数学模型。出问题本质，并构造合适的数学模型。 (2) 用已有的或寻求新的解法，对模型进行求解。用已有的或寻求新的解法，对模型进行求解。 (3) 从以上两个步骤得到的可行性方案中选出系统的从以上两个步骤得到的可行性方案中选出系统的最优解法。最优解法。 (4) 对选择的模型进行检验，有

13、必要的话，还要对模对选择的模型进行检验，有必要的话，还要对模型进行修正。型进行修正。 (5) 布置实施方案，在现实系统中加以应用。布置实施方案，在现实系统中加以应用。 13.3 运筹学运筹学12计算机科学导论计算机科学导论13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟 随着科学技术与工程技术的日益发展，人们越来随着科学技术与工程技术的日益发展，人们越来越依赖于计算机来解决许多实际问题，人们通常越依赖于计算机来解决许多实际问题，人们通常为复杂事物和系统建立数学模型，并利用计算机为复杂事物和系统建立数学模型，并利用计算机进行求解。这个过程中逐步形成了数学建模进行求解。这个过程中逐步形成了数学建

14、模(Mathematical Modeling)的方法与理论，也形成的方法与理论，也形成了计算机模拟了计算机模拟(Computer Simulation)技术。技术。13计算机科学导论计算机科学导论1数学建模与计算机模拟的概念数学建模与计算机模拟的概念 (1) 数学模型数学模型 数学模型是对客观世界中的事物或过程进行抽象和提数学模型是对客观世界中的事物或过程进行抽象和提取，并利用数学的方法加以形式化描述的结果。数学模取，并利用数学的方法加以形式化描述的结果。数学模型通常要能反映客观事物的本质特征或内在规律，它可型通常要能反映客观事物的本质特征或内在规律，它可以采用与研究对象相似的数学或物理学进

15、行描述。以采用与研究对象相似的数学或物理学进行描述。 (2) 数学建模数学建模 数学建模实际上就是在充分理解现实问题的基础上，数学建模实际上就是在充分理解现实问题的基础上，建立数学模型的过程的总和。这个过程包括了利用数学建立数学模型的过程的总和。这个过程包括了利用数学形式化工具建立现实世界系统的数学模型以及对数学模形式化工具建立现实世界系统的数学模型以及对数学模型进行分析、求解、控制、利用等内容。型进行分析、求解、控制、利用等内容。13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟14计算机科学导论计算机科学导论 (3) 计算机模拟计算机模拟 计算机模拟也叫计算机仿真，它是以计算机科学、计算机

16、模拟也叫计算机仿真，它是以计算机科学、系统科学、控制理论、信息技术等相关领域知识为基系统科学、控制理论、信息技术等相关领域知识为基础，以计算机为工具，利用系统模型对真实系统进行础，以计算机为工具，利用系统模型对真实系统进行模拟实现，以达到对实际系统进行分析与研究的目的。模拟实现，以达到对实际系统进行分析与研究的目的。 计算机模拟已成为继理论分析和实验之后，另一计算机模拟已成为继理论分析和实验之后，另一个认识客观世界的有力手段。个认识客观世界的有力手段。13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟15计算机科学导论计算机科学导论2数学建模的步骤数学建模的步骤 数学建模往往没有唯一的答案。对

17、于某个数学建模往往没有唯一的答案。对于某个实际的问题，数学建模也没有一个确定的模式，实际的问题，数学建模也没有一个确定的模式，但建模过程却是相似的。但建模过程却是相似的。 (1) 清楚问题的建模目的及建模对象的特征，尽清楚问题的建模目的及建模对象的特征，尽量了解并搜集各种相关的信息。量了解并搜集各种相关的信息。 (2) 抓住问题本质，建立合适的模型。抓住问题本质，建立合适的模型。 (3) 利用数学形式化方法，建立数学模型。利用数学形式化方法，建立数学模型。13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟16计算机科学导论计算机科学导论 (4) 对模型求解对模型求解 (通常使用数值计算方法通常

18、使用数值计算方法)。 (5) 对求解的结果进行分析，包括误差分析、对求解的结果进行分析，包括误差分析、稳定性分析、灵敏度分稳定性分析、灵敏度分 析等。析等。 (6) 检验模型是否能较好地反映实际问题，并检验模型是否能较好地反映实际问题，并对模型加以修正。对模型加以修正。 (7) 把经过多次改进的模型及其求解应用于实把经过多次改进的模型及其求解应用于实际系统际系统13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟17计算机科学导论计算机科学导论u3数学建模与计算机模拟的关系数学建模与计算机模拟的关系 自计算机诞生以来，计算机模拟就与建模技术密不可分了。自计算机诞生以来，计算机模拟就与建模技术密不

19、可分了。人们往往通过系统建模来对现实系统进行研究，往往要借人们往往通过系统建模来对现实系统进行研究，往往要借助于计算机求解或进行模拟实现；而计算机模拟则通常以助于计算机求解或进行模拟实现；而计算机模拟则通常以数学模型为基础，并促进建模技术的不断发展。数学模型为基础，并促进建模技术的不断发展。 数学建模与计算机模拟利用数学方法建立系统模型，模拟数学建模与计算机模拟利用数学方法建立系统模型，模拟实现过程，以求发现和研究系统的运动规律与内部特性，实现过程，以求发现和研究系统的运动规律与内部特性，从而达到认识和改造现实世界的目的。从而达到认识和改造现实世界的目的。13.4 数学建模与计算机模拟数学建模与计算机模拟18计算机科学导论计算机科学导论13.5 本章小结本章小结 超级计算技术，或者高性能计算技术，在今天的超级计算技术，或者高性能计算技术，在今天的科学研究和工程技术