等差数列问题

1、等差数列问题华图教育左宏帅一般的， 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，常数d 为公差。等差数列通项公式写为ana1(n1)d 。同时我们还可以得出等差数列的下列性质：（ 1） anamn m d ；（ 2） m、 n、 p、 q 是正整数，且m+n=p+q，则有 am anap aq ；（ 3） a1ana2 an 1；（ 4）若 mn 2 p ，则 aman 2a p 。求和公式：和 =首项 末项项数中位数 项数 ；2平均数 项数项数公式： 项数末项 首项公差1。根据这些性质和公式，我们看其在公务员考试中的应用。【例 1】【国家2008 48

2、】 an 是一个等差数列， a3+a7-a 10=8， a 11-a 4=4，则数列前13 项的和是（ ）。A.32B.36C.156D.182解析：根据求和公式和已知项数13，我们只需求出中位数 a7，就可以计算出数列前13 项的和。将题目中两 式相加a +a -a+(a-a4)=8+4=12， a712 ，故数列前 13项的 和371011=1312=156，答案为C。【例 2】【国家 2008 55】小华在练习自然数数数求和，从1 开始，数着数着他发现自己重复数了一个数，在这种情况下他将所数的全部数求平均，结果为7.4 ，请问他重复数的那个数是（）。A.2B.6C.8D.10解析：假设小

3、华从1 数到 n，重复数的数字为x， 1xn ，则前 n 项和 = n(n1)，则他2n(n1)所 数 的 全 部 数 = n(n1)2xx ， 将 这 些 数 求 平 均 =7.4，则全部数n(n 1)2n1=x7.4 n1 ，肯定是一个整数，则n1是 5的倍数。若 n15 ，则2n4, x27 ，显 然不符合条件。同样的n110， n9, x 29 也不符 合题意 。n1 15， n14, x6，故他重复的那个数是6，答案为 B。【例 3】【国家 2009 120】某校按字母从 A 到 Z 的顺序给班级编号，按班级编号加01、02、03 给每位学生按顺序定学号，若 A K 班级人数从15

4、人起每班递增一名， 之后每班按编号顺序递减2 名，则第256 名学生的学号是多少？（）。A. M12B. N11C. N10D. M13解析：已知 A 班 15 人，根据等差数列的定义和性质及求和公式，我们知 K班 25 人，则 AK班一共 152511220人， L 班 23 人，故第244 名学生是 M班 1 号，根据项数公式知2562442113，所以第256 名学生的学号是M13。1下面介绍一大类倒数成等差数列的题型，即调和平均数问题：a22a1 a211a1。利用调和平均数我们可以解决五类题：a2a1a2（1）等距离平均速度问题：【例 4】小王登山，上山的速度是每小时4 千米，到达山

5、顶后原路返回，速度为每小时6 千米。设山路长为9 千米，小王的平均速度为（）千米 / 时。【湖南 2009-120 】A.5B.4.8C.4.6D.4.4解析：上山、下山一样的路程，则小王的平均速度我们直接代入公式：2v1v224 6v44.8 ，答案为 B。v1 v26（2）等价钱平均价格问题：【例 5】小张下个月结婚， 他想去商店购买两种糖混合制成喜糖发给同事。商店里巧克力糖、奶糖、酥糖、椰糖、玉米糖每千克的价钱分别为30 元、 18 元、 15 元、 12 元和 10 元，小张拿出预算的一半全部购买了巧克力糖。如果他希望他的喜糖包平均重量为2 两 / 包，平均成本为 2 元 / 包，那么

6、他应该将剩下的一半预算购买另外哪种糖？（）A 奶糖B酥糖C 椰糖D玉米糖解析：小张的混合喜糖平均成本应为：2 元 / 包2 两/ 包 =1 元 / 两=20 元 / 千克。其中巧克力糖的成本为30 元 / 千克，运用等价钱平均价格问题公式：2 p1 p22 30p220p215 元，答案为 B。p30p2p1 p2（3）等分数平均分问题：【例 6】一次模拟考试中，某班男生、女生的平均成绩分别为76 分、 84 分，而男生与女生的总分数却是相同的。请问该班的总体平均分应该是多少？（）A 79.2B 79.4C 79.6D 79.82a1a22 768479.8 ，该班的总体平均分是79.8 分，答案为 D。解析： a7684a1 a2（4）等溶质增减溶剂问题：【例 7】一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%，再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？A 14%B 17%C16%D15%解析：根据等溶质增减溶剂核心公式：2r1r32 10%r312% r315%r2r310%r3r1答案为 D。（5）沿途数车问题【例 8】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。 每隔 9 分钟就有辆公共汽车从后面超过他， 每隔 4.