必修四三角函数知识点及例题详解

1、第1章 三角函数知识点详列一、角的概念及其推广正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角零角：射线不做任何旋转形成的角负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦. 为正 全正 为正 为正例1、（1）判断下列各式的符号：其中已知答案：+ 2、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为3、终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角连同在内（而且只有这样的角），可以表示为4、特殊角的集合：（1）终边在X轴非负半轴上的角的集合

2、为（2）终边在X轴非正半轴上的角的集合为（3）终边在X轴上的角的集合为（4）终边在Y轴非负半轴上的角的集合为（5）终边在Y轴非正半轴上的角的集合为（6）终边在Y轴上的角的集合为（7）终边在坐标轴上角的集合为（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为（9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度2、 弧度制与角度制的换算公式：，3、 半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是4、 两个公式：若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，三、三角函数1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点

3、的距离2.比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 以上六种函数，统称为三角函数.2同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：；（2）商数关系：；（3）平方关系： 3诱导公式，奇变偶不变，符号看象限，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正弦与余弦互换，符号看象限例2化简（1）；（2）已知，求的值解：（1）原式（2），例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2） （3）tan（672°） (4)解：(1)250°是第三象限角 cos250°

4、0(2)是第四象限角，(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°）0(4) 而是第四象限角，.例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2&

5、#215;360°+30°)+tan(360°+135°)=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=-1=0题型一 象所在象限的判断例5（1）如果为第一象限角，试问是第几象限角？（2）如果为第二象限角，试问：分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。(3)已知角的终边与角的终边相同，在内，哪些角的终边与的终边相同？答案：题型二 弧长、扇形面积等有关问题例6 已知扇形的圆心角是，所在圆的半径是.（1） 若求扇形的弧长及该弧所在的

6、弓形的面积。（2） 若扇形的周长是一定值当为多少弧度时，该扇形有最大面积？答案：（1）（2）当且仅当即时，扇形面积有最大值.题型三 函数值符号的判定 例7 确定下列三角函数值符号：(1),(2),(3)解:（1） （2） （3）例8 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2） （3）tan（672°） (4)解：(1)250°是第三象限角 cos250°0(2)是第四象限角，(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°

7、）0(4) 而是第四象限角，.题型四 三角函数线的应用例9利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角1° sina 2° tanaxyoTA210°30°解： 1° 2°xyoP1P230°a150° 30°a90°或210°a270°xyoP1P2M1M2例10 求证：若时，则sina1sina2证明：分别作a1,a2的正弦线x的终边不在x轴上 sina1=M1P1 sina2=M2P2 M1P1 M2P2 即sina1sina2题型五 利用三角函数

8、关系进行化简与求值例11化简（1）；（2）已知，求的值解：（1）原式（2），例12（1） 若，求值；（2） 求值解：（1）原式，原式（2）又原式例13 已知是方程的两个根，求角解：，代入，得，又，又，题型六 平方关系得应用例14 说明：通过平方关系得到重要关系式： 例15 求证：说明: 利用平方关系得到“1”的妙用，即例16 化简说明: 本题利用平方关系，和三角函数的大小关系进行化简题型七 商数关系的应用例17 解： 题型八诱导公式的应用例18 例2已知，是第三象限角，求的值解：是第三象限角，（），是第四象限角，原式题型九 证明三角恒等式例19 求证解：（不止一种方法）注：关于三角恒等式的证明

9、，常用方法：从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；左右扫一法，即证明左右两边都等于同一个式子；凑和方法，即针对题设与结论间的差异，由针对性的变形，以消除差异的方法；比较好，即设法证明“”或“”；分析法，即从被征的等式出发，逐步地探求使等式成立的充分条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立。题型九 三角函数的简单应用例20 已知是关于的方程的两个根。（1） 求的值；（2） 求的值。答案：（1）；（2）。三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函

10、数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2、 函数的图像与函数图像的关系（1） 振幅变换：的图像可以看成是图像上所有点的纵坐标都伸长或都缩短到原来的倍（横坐标不变而得到的）。（2） 周期变化：的图像，可以看成是的图像上各点的横坐标都都缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，由于的周期为，故的周期为。（3） 相位变化：的图像，可以看成是把的图像上各点向左或向右平移各单位而得到的。思考：由的图像得到的图像有哪些方法？例1 画出函数与的简图。 解：函数的周期为，我们先画在0,上的简图 令（换元法）列表2： 描点连线

11、：00010-10 函数的周期为，我们先画在0,4上的简图令，则（换元法） 列表3：00010-10例2 函数的图像可由的图像（）A. 向左平移个单位长度得到B. 向右平移个单位长度得到C. 向左平移个单位长度得到D. 向右平移个单位长度得到例3 求函数的单调增区间。解：注意易错点：直接把带入中求出。题型一 函数的定义域问题三角函数的定义域是研究其他性质的前提，求三角函数的定义域就是解简单的图像或三角函数线来求解，注意数形结合的思想的应用。例1 求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得，的定义域为（2），即的定义域为由已知，得，原函数的定义域为题型二 三角函数的值域例2求下列

12、函数的值域：（1）；（2）；（3）解：由题意，时，但，原函数的值域为（2），又，函数的值域为（3）由得，这里，解得，原函数的值域为题型三 三角函数最值问题三角法术最值的求法类似于求函数的值域，常见的题型有以下几类（1） 形如或可化为此类的函数最值问题，应用三角函数的有界性求解。（2） 可化为换元转化为二次函数求解，有时需对所含参数进行分类讨论。（3） 型，可利用分离常数法，或来求解。（4） 型，可用斜率公式或分离常数法来解决。例2求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）解：由题意，时，但，原函数的值域为（2），又，函数的值域为（3）由得，这里，解得，原函数的值域为题型三 周期性问题例3求下列函

13、数的周期：（1）；（2）；（3）解：（1），周期（2），故周期（3），故周期例4若，试求：的值解：的周期为12，而，原式题型四 奇偶性问题例4 判断下列函数的奇偶性：（1） ；（2）解：(1)的定义域为，定义域关于原点对称，又，为偶函数（2） 的定义域为不关于原点对称，为非奇非偶函数例5 函数是偶函数，则的值为 （ ）A. B. C. D. 题型五 函数图像的变换例6 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点 （ ） A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）题型六 求解析式例7如下图，它是函数（）的图象，根据图中的数据，写出该函数解析式【分析】观察图象，发现它的最大最小值，找出它的周期 【解】由图得A=5，得则,所以， （例1）所求的表达式为 例8已知函数在同一个周期内有最高点，最低点，求它的解析式.【分析】根据最高点和最低点，得到A、b及周期.【解】2A=3-（-