初始密度对骨自优化结果的影响

1、    初始密度对骨自优化结果的影响        骨自优化理论在研究骨的生长机理，以及预测非正常情况下(如骨折后的修复，多孔覆盖植入物附近骨的生长过程等)骨的适应过程具有非常重要的意义，是从宏观角度研究受力与生长的关系。本文将骨自优化理论和有限元法结合起来，用计算机模拟了悬臂梁模型的密度分布及激励情况，得到了类似于工程中的桁架结构。重点讨论了参考激励值K固定时，初始均匀密度的变化对结构最终形状和质量的影响。并用骨痂吸收的实际例子再一次验证了初始均匀密度的影响。关键词： 骨自

2、优化理论；有限元法；骨重建分类号： R318.01; R322.7+1EFFECTS OF INITIAL DENSITYON SELF-OPTIMIZING RESULTS OF BONEGong He, Zhu Xinghua(Jilin University of Technology, Changchun 130025)ABSTRACTIt is a heat point to studying the relation between load and growth from macroscopic angle. The apparent density distribution a

3、nd the stimulus of a cantilever beam were simulated in a computer model by combining the self-optimizing theory of bone with the finite element method. A configuration similar to a frame work in engineering was achieved. The effect of initial uniform density on the end configuration and mass were vi

4、tally discussed with a fixed reference value. The absorption of auxiliary bone was cited again to verify the effect of initial uniform density.Key words:Self-optimizing theory of bone; Finite element method; Bone-remodeling0引 言Wolff1假设骨是一种有自我优化功能的材料，可以根据其力学要求直接调整自己的质量和结构的关系。人们称为Wolff定律。Fyhrie和Carter

5、2用数学方法描述骨自优化过程。其方程为：d/dt=B(S-K)(1)式中为骨的表观密度，用以表征骨内部结构特性。S为力学激励，他们取为等效应力(effective stress)。K为参考值，B为常数。称为“bone-maintenance theory”。Fyhrie和Carter3用单位质量骨的应变能密度代替了等效应力作为力学激励。Huiskes4把描述骨自优化过程的理论统称为自优化理论(Self-optimization theory)。其表达式为：d/dt=B(un/-K)0<cb(2)E=C×r(3)Un为应变能密度。cb为最大密度，常取为密质骨的表观密度，本文取cb

6、=1.74g/cm3。E为表观弹性模量。C、r为常数。d/dt称为目标函数。Huiskes用自优化理论和有限元相结合的方法，讨论了自优化理论模型的稳定性和收敛性，得出：只要有限元网格细到一定程度，时间间隔小到一定程度，就会得到一个稳定的不连续的最终结构形，而连续结构是不稳定的。采用更精确的单元，更细分网格和更小的时间间隔对结果无影响。还讨论了r值对于稳定性和收敛性的影响。至于初始均匀密度、K值等的影响没有深入讨论。本文的目的在于研究初始均匀密度对骨自优化结果的影响。为了定量预测骨再造过程和最终结构形态，骨结构的内部载荷要以应变能密度的形式精确的确定下来。有限元法就是完成这一任务的有效工具。通过

7、骨自优化理论(方程(2)和有限元法相结合，有关于骨结构形态的预测就可以进行了。我们假设骨的内部具有传感器，它可以探测力学激励，并且可以根据激励值的大小引起局部骨的适应性。也就是说，骨是一种完善的具有自优化功能的“智能”材料，它可以根据力学环境调整本身的质量与结构形态，以最佳的结构形态适应力学环境。1方 法力学激励Un/在每个单元内确定，每个单元只有一个传感器。当时间间隔满足一定的条件时，可用方程=t×B×(Un/-K)(4)代替方程(2)。为了研究初始均匀密度对骨自优化结果的影响，我们分析了两个模型：(1)二维悬臂梁模型；(2)带有骨痂的股骨模型。有限元中的单元为四节点四边

8、形等参数单元。自优化理论和有限元法结合预测骨结构形态的程序系统流程如1所示。1结合有限元法的骨再造模拟的迭代反馈机制1.1二维悬臂梁模型二维悬臂梁模型是平面问题中的一个具有代表意义的结构，它在一定程度上代表长骨的结构及受力情况。通过对其进行的骨自优化分析可以模拟预测它的结构形态。我们用方程(2)控制骨再造过程。其中k=0.1537J/g,B=1.0(g/cm3)2(MPa×时间单位)-1。时间增量取为1.0个任意时间单位。我们要检验它是否小到不至于显著地影响解的过程。表观弹性模量和表观密度的关系如方程(3)所示。其中r=2,C=100(MPa)(g/cm3)-2，=0.3。参数和负载

9、的选择保证获得一个典型的密度分布。设所选悬臂梁结构(见2)的长度为L，厚度为b,高度为h，右端受载P，泊松比为，弹性模量为E，其数据为：L=0.08m,b=0.002m,h=0.01m,P=5.0N,=0.3。2二维悬臂梁模型首先，研究了迭代步数的影响。比较了5步和150步的骨自优化结果。其次，研究了传感器数量的影响。通过将模型划分为32×4单元，64×8单元和96×12单元来研究传感器数量的影响，每个单元内有一个传感器。最后，研究了初始条件的影响。讨论了在参考激励值K不变的前提下，初始的均匀密度值的变化对结构的最终质量及形态的影响。为了使初始均匀密度的选取具有典

10、型的数学意义，特用黄金分割法在0<cb域内共选出了九个初始密度值，它们是：0.10,0.256,0.408,0.654,0.876,1.014,1.291,1.463,1.74，其单位为g/cm3。1.2带有骨痂的股骨模型骨痂是骨折以后，在骨的断口的附近区域产生的一种保护性措施。临床实践是随着骨折的逐渐恢复，骨痂被完全吸收。选取这个模型(3)可以再一次验证初始均匀密度的影响，并对骨痂的吸收机理给予合理的解释。对于这个模型，我们主要研究它的自优化结果，并且分析初始条件的影响。股骨承受弯矩M=2N*m,初始均匀密度分别取为1.74，0.8,0.654g/cm3,骨痂处的密度较低，取为0.25

11、6g/cm3。设所选股骨长度为L，宽度为h,泊松比为，弹性模量为E，骨痂长度为L1，宽度为h1，其数据为L=0.080m,h=0.030m,=0.3,L1=0.020m,h1=0.008m。1.3再造平衡条件由骨自优化理论确定的再造平衡条件为：d/dt=0(U/=k)或=min或=max(5)式中，min取为0.01g/cm3,max=cb。2结果与分析2.1二维悬臂梁模型骨的自优化过程从均匀的密度分布开始。我们分析了32×4单元的五步迭代的结果(4)。悬臂梁的上层和下层的密度是从右向左依次增加的，而中间区域的密度基本上是比较均匀的，且没有出现“空”的单元。当然这与单元数相对较少有关

12、。此时目标函数不等于零，并没有达到收敛要求。迭代步数增加后，梁的中间部分呈现出桁架形状(如5)。在150步以后，形状稳定下来。这时候骨自优化的结果为：它是沿X轴方向呈轴对称的形。最上层和最下层的单元密度沿X轴由固定端起逐渐变小，而且没有出现间断的情况。梁的中间部分明显地显示出桁架的形状。3 带有骨痂的股骨模型432×4单元的五步迭代的结果，r=2.0，初始均匀密度为0.8g/cm3，参考激励值K=0.1537J/g596×12单元模型的最终迭代结果68显示了传感器数量的增加对于模拟分析过程的影响。64×8单元模型(7)和96×12单元模型(8)进一步证实

13、了32×4单元模型(6)的总体趋势。说明传感器数量的增加有利于反映相同成分的细节情况。632×4单元模型的骨自优化结果764×8单元模型的骨自优化结果从9中我们可以直接看到不同的初始均匀密度下的结构质量随迭代步数的变化曲线。9个点代表9个不同的初始均匀密度所对应的结构总质量。100步以后，9条曲线基本趋于重合了。10显示了不同的初始均匀密度值下的最终密度分布情况(以四个初始密度为例)。它们的形状是十分相近的。关于这一问题的分析将在讨论中继续进行。896×12单元模型的骨自优化结果9结构质量随迭代步数的变化曲线10不同的初始均匀密度值下的骨自优化结果(密度

14、分布)2.2带有骨痂的股骨模型不同的初始密度，带骨痂的股骨自优化结果相同，如11，可见骨痂已被完全吸收。这与临床实际完全符合。它为骨痂吸收机理提供了一种解释，为解决实际问题提供了可能性。3讨论对于受弯的二维悬臂梁模型(2)，我们知道对于任一横截面，其最上、最下层是应力最大的部分。而沿X轴方向的最上(下)层单元的应力是成比例地逐渐变小的。根据“较密骨吸收较多的应变能，从而使骨变得更密”的骨自优化理论的正反馈机制便可推知结果。我们所做的工作实际上就是用骨自优化理论假设这个悬臂梁的材料特性是与其密度相关的物理量，而且密度值可以根据受载情况发生变化。也就是说，在受载时，通过调整密度值使应变能密度获得一

15、个稳定的预置的K值。如果其中的单元不能达到此值，它或者转变为皮质骨，或者被完全吸收。经过对悬臂梁的骨自优化计算，架起了生物学与工程学的桥梁，这部分工作的意义是很重大的。由均质悬臂梁模型优化出桁架结构在国内外是未见有报道的。11的骨自优化结果已显示骨痂被完全吸收了。这个结果与临床实践是完全符合的。骨折以后，断裂处失去了传递载荷的能力。所以在断口的附近区域长出密度较小的骨痂帮助传递力。它只是一个暂时的结构。骨折愈合以后，这部分结构就多余了，它的质量应该被吸收以保证结构的最优质量。骨痂的吸收实际上是遵循骨自优化过程的最优质量特性。由12的质量曲线可以看到它们的质量(在40步以后)是趋于相等的。13给

16、出了初始均匀密度不同的带骨痂的股骨自优化结果。它再一次证明了不同初始均匀密度下的最终结果是十分相近的。Huiskes提出不连续解的质量比连续的初始解减小25%的观点，是仅就一个初始均匀密度情况而言的。我们在0<cb域内共选出了九个初始密度点。自优化结果表明，对于初始质量较大的骨结构，承受已知载荷不需要那么多的质量，经过自优化结构质量降低了；而初始质量较小时，这些质量不足以承受已知载荷，所以自优化以后质量有所提高。因此我们就有理由相信这个最终质量就是这个模型在这个载荷下的最优质量，最终形状就是它的最优结构。而初始均匀密度值对自优化结果的影响是十分微小的。关于这一结论是我们首次提出的，它是否

17、具有普遍意义有待深入研究。自优化结果遵循最优结构形态、最优质量的原则。11带有骨痂的股骨自优化结果12受纯弯作用时的结构质量随迭代步数的变化曲线13不同密度下受纯弯的带有骨痂的悬臂梁模型的骨自优化结果国家自然科学基金资助项目(39970191)，吉林省科技发展计划项目(19980554-01)宫赫（吉林工业大学，长春 130025）朱兴华（吉林工业大学，长春 130025）4参考文献1，Wolff J. Das Gesetz der Transformation der Knochen. Hirchwild. Berlin.(Translated as the law of bone remo

18、deling)Springer. Berlin, 18922，Fyhrie DP, Carter DR. A unufying principle relating stress to tribecular bone morphology. J orthop. Res. 1986,4:3043173，Fyhrie DP, Carter DR. Femoral head apparent density distribution predicted from bone stress. J Biomechanics, 1990,23:1104，H Weinans. The behavior of adaptive bone-remodeling simulation models. J Biomech