波利亚《怎样解题表》

1、波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒 罗新兵1乔治液利亚乔治波利亚（George Polya , 18871985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席.作为一个数学赢，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数卷 计算和应用数学 等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数 学家合著的数学分析中的问题和定理、不等式、数学物理中的等周问题、复 变量等书堪称经

2、典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里， 将是研究生攻读的内容.作淘一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中休现在怎样解题（1945年）、数学 与似真推理（1954年）、数学的发现（1962年）三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解 题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法他 的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析， 特别是由已有的成功实践，总结出一般的

3、方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的 作用.他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、 一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题 进行变形等，都在解题中行之有效. 尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解 题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义. 著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书” （1952年2月2日）.2怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题“、怎样学会解题"来开展数学启发达研究的，这首先表明其对“问

4、题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法 上波利亚在风靡世界的怎样解题（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”.21"怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必 须弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知, 条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号.mm汀几'丫曲班;I；匸匸二衣?拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系如果它,】J 二丄|_ !： :?你是否见过相同的问题而形式稍有不同？：'.：o!my?你是否知道一个可能用得上的定理

5、？看着未知数试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问題* 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题*. 一 ：_丨二一？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用 你是否应该引入某些辅助元素？找不出直接的联系，你 可能不得不 考虑辅助问你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它 ？回到定义去.如果你不能解决所提岀的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能 想出一个更容易着手的有关问题 ？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题 ？一个题.类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其你应该最终得出一余部分.这样对于未知数能确定到什么程度 ？它

6、会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西 ？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需个求解的计要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变,据彼此更接近？以使新未知数和新数实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，檢验每一步骤*你能否漕楚地看岀这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？回顾第四，验算所得到的解.(你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？你泉否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件？你是否考虑了包 含在问题中的必要的概念？下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题格的心

7、路历程，娓娓道来, 栩栩如生.N 2"怎样解题”表的实践例1 给定正四棱台的高h,上底的一条边长 a和下底的一条边长 b,求正四棱台的体 积F.（学生已学过棱柱、棱锥的体积 ）讲解第一，弄清问题.问题1 你要求解的是什么？要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点 F象征性地表示出来（图1） h问题2.你有些什么？一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h;另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积 公式，并积累有求体积公式的初步经验把已知的三个量添到图示处（图2），就得到新添的三个点a、b、h;它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量 与已知量联系起来.第二，

8、拟定计划.问题3.怎样才能求得 F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积 B和A,我们就能求出橫台的体积F-B-A.我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量 之间的联系（图3，即式的几何图示）.这就把求F转化为求A、B.图形儿何图示F问题4.怎样才能求得 A与B?1依据棱锥的体积公式（V = Sh ），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两3个棱锥的高并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为x +

9、 h.我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A与x、a连结起来，表示 A能由a、x得1出，A= 一 a 2x;类似地，用斜线把 B与b、h、x连结起来，表示 B可由b、h、x得出，31 2E= b （x + h）（图4），这就把求A、B转化为求x.3图形儿何图示冋题5.怎样才能求得x?为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来，建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考用一个通过高线以及底面一边上中点（图5中，点Q）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来（转化为平面几何问题），由AVPO isvqo 2得图形儿何图示图5这就将

10、一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将 x与a、b、h连结起来.至此，我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通.第三，实现计划.件辅助线（过程略）如图5，由相似三角形的性质，得=，解得x=bahba进而得两锥体的体积为A = 1 a 2x = 1 AA ,33 b -a3B1 b 2（x + h）= 1 吐,33 b -a得棱台体积为33F 二 B A 二1 （b » = 1 （a2+ ab+ b2） h.3 b-a 3'第四，回顾.（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的.再作特

11、殊性检验，令aO，由可得正四棱锥体的体积公式；令ab,由可得正四棱柱体的体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆.（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息），同时又要及时提取记忆网络中的有关信息（如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求 解立体几何问题的经验积累等不下6条信息），并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计

12、划（包括解题策略）.由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议 或模式.（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的 充分条件.为了求 F,我们只需求 A、B（由棱台体积到棱锥体积的转化一一由未知到已知，化归）；为了求A、B,我们只需求x（由体积计算到线段计算的转化一一由复杂到简单，降维）;为了求x，我们只需建立关于 x的方程（由几何到代数的转化一一数形结合）;最后，解方程求x,解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上（图1），形成了一个联接未知与已知间的不中断网络（图5），书写只不过是循相反次序将网络图作

13、一叙述.这个过程显示 了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”.（4）在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决 （策略水平上的解决），把F转化为A, B的求解（F = A E），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决（方法水平的解决），发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能； 最后是特殊性解决（技能水平的解决），比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三 角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成.（5）在心理机制上，这个案例呈现出“激活一一扩散”的基

14、本过程.首先在正四棱台（条件）求体积（结论）的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识（参见图1图5）,直到条件与结论之间的网络沟通.这种“扩散一一激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释.（6）在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用首先把棱台补充 （组合）为棱锥，然后再把棱锥截成 （分解）棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过 （先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥），它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几 何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平

15、面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题， 于其他学科.（7） “你能否用别的方法导出这个结果？”答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象. 以有下面的解法.如图6,正四棱台 ABCD-A iB iC iD 1中，连结 DA, 四棱锥D - A iB iC iD i,D - AA i B iB,D - BB i C iC,VD _AIBICIDI = 3 b h,3并且作为一般化的思想（化归、降维）还可以用在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回 对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可D B,DC i,DB，将其分成三个其中VD _AAIB1B = VD _BBi C-|C

16、 .（等底等咼 ）D图6为了求VD，我们连结AB i,将其分为两个三棱锥D-ABB i 与D - AA iB i（图 7）,S AA1BI = S ABB,aVd -AA Bl B = VD _AB0 ,aVd 丄BBi =-ABDa 2 h =2i a2h,6Vd _AA|B1B = Vd -abb1 + Vd=ia2h+ b la2h= i6 a 662（a +ab ）h.从而Vabcd j1b1c1d1 = Vd .aibib + Vd _bb1 c1c+ Vd _jiib1c1d11 2 1 2 1 2=(a +ab ) h+ (a +ab ) h+ b h6631 2 2=-(a +

17、 ab+ b ) h.3(8) “你能不能把这一结果或方法用于其他问题？”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)注意到a = S 1, b =S 2,ab= . SE ,可一般化猜想棱台的体积公式为"台=3 ( S 1+ I SS2 + S 2) h.3波刊亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关著作,人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认 识(见参考文献)，我们将其归结为 5个要点.31程序化的解题系统怎样解题表I就“怎样解题S “教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用 的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段一一弄清

18、问题、拟定计 划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学 系统既体现常识性，又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力.这四个阶段首先是一个四歩骤的宏观解题程序，其中“实现计划“虽为主体工作，但较 为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”;其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要 前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而 固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容.龍拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有

19、的知识”基础上，探索解题思路的发现过 程，波利亚的建议是分两步走： 第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等);第二，如果找不出直接的联系， 就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分 解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题这实际上是阐述 和应用解题策略并进行资源的提取与分配.于是这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方达等于一身，融理论与实 践于一体.32启发式的过程分析(1) 还在当学生的时候， 波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还

20、行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢？是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实 ？而且我自己怎样才能想出或发现它们呢？”从解题论的观点看，这实际上是既提出了 “怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题，波 利亚说，这“终于导致他写出本书”(指怎样解题).波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演 绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.这两个侧面都像数学本身一样古老但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有照本宣科地 把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众.”他以数十

21、年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识+启发法”在解题表中，波利亚给岀了 “启发浓小词典3让读者通过阅读词典来开阔思路、指导 实践，自己学会怎样解题.这些看迭来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人 去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该 受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它” ；他特别重视发展学生的数 学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、 技巧、

22、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力” 教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题” 波 利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧！”（2）在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的 方法和规律” 波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢 ？ ”“我自己怎样才能想出或发现它们呢 ？”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律.波 利亚在数学的发现序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候， 或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的

23、时候”波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析就是暴露数学解题的思 维过程，也就是教人“怎样学会解题”在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动.波利亚对解题过程淋厲尽致的剖析，实质上已接触到心理层面：但没有用到多少教育学 或思维学的相关名词， 基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”.波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所

24、提供的知识易 于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要.”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用.33开放型的念头诱发.波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实阪上，所有的问题和建议都与它有关（可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它.”他强调指出：“老师为学生所在怎样解题“也许有些念头会把你会“突然闪出一个好能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头

25、.书里，出现“念头”这个词不下四五十次.?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”念头”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何 事情去加速其来到.”这里说的念头不仅在字面上比“问题表征聲更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语. 那么产生念 头的基础是什么呢？波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识” （解题力量）“如果我们 对该论题知识贫乏， 是不容易产生好念头的. 如果我们完全没有知识， 则根本不可能产生好 念头.”波利亚

26、一再提到“好念头二其实这就是直觉、顿悟或灵感，想岀一个好念头是一种'灵感运动”，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，“是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头 的有信心的预感”.波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活.-的问题转换这里说的“问题转换S在怎样解题一书中亦叫变化问题”题目变更3它揭示 了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧， 我们从各个方面、

27、各个侧面去试验，我们变更问题.” “变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性.”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏.通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”在龍怎样解题"表中，波利亚拟岀了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把 问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题、 或更一般的问题、或类似的问题那些启发新念头的问句， 也往往与问题转换有关.“如果我们不用题目变更，几乎是不能有什么进展的”一一这就 是波

28、利亚的结论.3. 5 朴素的数学解题元认知观念.元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控.虽然元认知概 念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念.波利亚解题表的大量冋句或aa,都不是问别人，而是自己给自己提问题' 提建讹 这 是解题者的自我诘问、自我反思.问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的比如，“你以前见过它吗？”“你是否知道一个与此有关的问题 ？” “这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用它？”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体

29、、对其解题思维活动 的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问.波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验主要是有分析地领会 所得的解法（参见例i的回顾），它包含着把“问题及其解法”（认知）作为对象进行自觉反思 的元认知意图.至于解题表本身所给出的解题程序 （一种程序性知识），所体现的解题策略（一 种策略性知识）及所进行的元认知提问，都属于元认知知识波利亚对具体范例的分析，基本上是对许可题及其解法”的再认知，己反映岀开发元认知的朴索 意图.波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙 述它？”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数

30、和新数据彼此更接近 ？” （接近度），“你能不能一下子看出它来 ？”（题感）等，则属于朴素的元认知体验.至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控.综上所述'解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分柄解题过程”是玻利亚解题 思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础.而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标.4 波网亚解题研究的发展41反思数学上存在证明的方达与发现的

31、方达，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数 学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任， 并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础.20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有“对波利亚的重新发现”、“数学启发法几乎成了问题解决的同义词”等提法.但是，已有数学实践却未能获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则， 或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题， 这不能不引起数学教育界的反思. 波利亚构建的“四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于“

32、四阶段”对学会“数学地思维”而言是不是有点简单化了？对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述的复杂得多.（2）数学启发法的现代复兴及其所取得的成功，无论怎样评价都不算过分，但启发法能不能看成影响问题解决能力的惟一要素？ “知识+启发法”之外可能还有更多的因素需要重视（如“元认知调节”、“观念”等），“好念头”的出现可能也需要从方法论的角度做出更为自 觉的分析.（3）波利亚从数学内部研究数学问题解决并强调解题实践是一个值得继承的研究方向（与那些连数学题都没有出现的解题研究形成鲜明对照，也与那些对中学教材作业题都不那 么过关的研究者形成鲜明对照 ），但局限于“解题”、专注于技能技巧是不是狭

33、窄了点？至少“问题发现（提出）”、“实际应用”都与解决问题有同样的重要性.4. 2发展近十几年来，通过反思和对解题实践活动的深入考察，数学教育界已经在“问题解决” 的全过程和“高级数学思维”的内外部机制等研究方面取得了新的进展，中国式的“问题解决”也初成特色，这些都构成了对波利亚的超越.1 ）美国学者舍费尔徳在名著数学解题一书中，提出了一个新的理论框架，描述 了复杂的智力活动的四个不同性质的方面. 认识的资源.即解题者所已掌握的事实和算达； 启发迭.即在困难的情况下借以取得进展的“常识性的这则 调节.它所涉及的是解题者运用已有知识的有效性（即现代认知心理学中所说的元认 知）；即解题者对于学科的

34、性质和应当如何去从事工作的看法.（2）中国的数学教学历来重视解题训练、中国的数学教师历来重视解题研究，20世 纪80年代，随着美国“问题解决” 口号传入中国，波利亚的解题理论受到了重视也得到了 发展.20世纪40年代，波利亚的怎样解题就曾有过中译本（周佐严译，中华书局出版），到60年代曾有人翻译数学的发现但由于种种原因未能完成（见江泽涵关于波利 亚的怎样解题和数学的发现 的一些往事.中学数学教学（皖），1983, 2, P. 4） . 8 0年代以来，波利亚的三部著作都已翻译发行，其中的解题观点已成为许多同行研究解题的指导思想，国内一些学者多次召开了波利亚数学思想的讨论会，徐利治教授还提出研究波利亚的两项重要任务：一是培养和造就一批波利亚型的数学工作者，二是按照波利亚的思想改革数学教材和教学方法（后来有“ MM教育方式”的理论与实践，见文8） . 20世纪90年代，张奠宙教授组织“数学教育高级研讨班”，提出“提倡问题解决”作为进一步改革中国数学教育“突破口”的设计（数学素质教育设计.数学教学，1993, 3）.这一切，促进了中国特色的解题研究（参见文6、7 等），并初步形成了 “中国的数学问题解决” 特色.主 要表现有： 注重研究数学解题的思维过程： 强调数学方法论硏究； 提倡数学解题策略研究？ 应用问题、数学建模教学研究, 开放题、