微分方程习题课二ppt课件

1、第十章第十章 微分方程习题课二）微分方程习题课二）高阶微分方程高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 1高阶微分方程的定义高阶微分方程的定义( )( ,)0nF x yyy 2可降阶的高阶微分方程类型可降阶的高阶微分方程类型(1)( )( )nyf x (2)( ,)yf x y (3)( ,)yf y y 3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，

2、求出通解。解题方法流程图如下图所示。求出通解。解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图解题方法流程图逐次积分逐次积分),(yxfy 解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程解一阶微分方程),(yyfy 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程)()(xfyn特点特点:不显含不显含y转化为一阶方程转化为一阶方程),(pxfp 特点特点:不显含不显含x),(ncccxy21通解通解YesNo令令)(xPy 令令)(yPy 转化为一阶方程转化为一阶方程),(Pyfpp4. 典型例题典型例题【例【例1】求方程】求方程 的通解。的通解。 2xyyx 解：由于不显含解：由于不显含 ，令，令 ，那么，那么

3、 y( )yp x yp 代入原方程整理得代入原方程整理得21xppx 即即 ()1px 因而因而 2ypCxx 再积分一次，即得原方程的通解为：再积分一次，即得原方程的通解为：2321123yCxxC 此解可以写成此解可以写成321213yxC xC 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 ( )yp x 【例【例2】求方程】求方程 (1)ln(1)x yyx 的通解。的

4、通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量所以可引入变量()yp x 将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含解：由于不显含 ，令，令 ( )yp x ，那，那么么 yp y代入原方程整理得代入原方程整理得(1)ln(1)x ppx 即即 ln(1)11pxpxx 为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程 利用公式得利用公式得11111ln(1)()1dxdxxxxpeedxCx ln(1)ln(1)1ln(1)(

5、)1xxxeedxCx 11( ln(1)1x dxCx 1ln(1)11Cxx 即即 1ln(1)11Cyxx 积分得积分得 12()ln(1)2yxCxxC 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量所以可引入变量( )yp y 将二阶微分方程变成一阶将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。x解：由于不显含解：由于不显含 ( )yp y ypp x,令令 ,那么那么 代入原方程整理得代入原方程整理得20yppp 所以所以0p 或或0ypp 当当0ypp 时，

6、此方程为可分离变量的方程，时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：分离变量得：dpdypy 【例【例3】求方程】求方程 2()0y yy 满足初始条件满足初始条件012xy 的特解。的特解。01,xy 积分得：积分得：1lnlnlnpyC 所以所以1Cpy 即即1Cyy 将将0011,2xxyy 代入得代入得112C ，从而，从而12yy 分离变量得：分离变量得：22yxC将将01xy 代入得代入得21C 所求方程的特解为：所求方程的特解为：21yx 特解为特解为1y ，含在，含在 内。内。21yx 当当 时，即时，即0y 积分得积分得yC 0p 二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性

7、微分方程1定义定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程： 0ypyqy (2)二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程: ( )ypyqyf x2解的结构性质解的结构性质(1)假设假设 和和1y2y是齐次方程的解是齐次方程的解,那那么么1 122C yC y 是齐次方程的解。是齐次方程的解。(2)假假设设 1y和和 2y是齐次方程的线性无关解是齐次方程的线性无关解,那么那么 是齐是齐次次1 122C yC y 方程的通解。方程的通解。(3)假假设设 1 12 2Y CyC y 是齐次方程的通解，是齐次方程的通解，*y是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解

8、，那那么么*Yy 是非齐次方程的通解。是非齐次方程的通解。321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 解解4、典型例题、典型例题【例【例5】知】知 21xxyxee 2,xxyxee 23,xxxyxeee 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。及方程的表达式。 分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。对

9、应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。 解：因为解：因为 212xxyyee 13,xyye 是对应齐次方程是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根122,1rr ，特征方程为，特征方程为22 0rr 对应齐次方程为：对应齐次方程为：20yyy 对应齐次方程通解为：对应齐次方程通解为：212xxY CeCe 又因为又因为2xxxee 是非齐次微分方程的特解，将其代入是非齐次微分方程的特解，将其代入2( )yyyf x 有有222()()2() (1 2 )( )xxxxxxxxeexeexeex ef x 所求的方程为：所求的方程为：2(1 2 )xyyyx e 通解为：通解为：212xxxy Y yCeCexe .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例6 6.043的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0432 rr解得解得,11 r故所求通解为故所求通解为.421xxeCeCy 例例7 7,42 r.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121