第13章静电场中的导体和电解质

1、第13章静电场中的导体和电解质一、选择题1(D), 2(A) , 3(C), 4(C), 5(C), 6(B), 7(C), 8(B), 9(C), 10(B)二、填空题(1). 4.55 105 C ;(2).6 (y z”与导体表面垂直朝外(6 > 0或与导体表面垂直朝里(o < 0)(3).,1 , & ；(4). 1/,1/ £ ;(5).,o- / (& ；0 (6)r q4 n& 0R(7).P , - P , 0；(8) (1- £ r) o ；(9).452; (10).,£r三、计算题1. 如图所示，一内半径为

2、a、外半径为b的金属球壳，带有电荷 Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外 表面上的电荷.(2)球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势.球心O点处的总电势.解：(1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷 -q，外表面上带电荷q+Q. 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为U-q=? dq4 n£ 0a=4 n£ 0a球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和UO=Uq+U-q+UQ+q=qqQ+qq111Q = -+(

3、-+)+4 n£ 0r4 n£ 0a4 n£ 0b4 n£ 0rab4 n£ 0b2. 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4 cm,内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm .试求该电容器可能承受的最高电压.(自然对数的底e = 2.7183)解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为入，则电容器两极板之间的场强分布为 E=X /(2 n£ r)设电容器内外两极板半径分别为r0, R,则极板间电压为R入入 R U=E? dr=? In dr=2 n£ r2 n&#

4、163; r0rr电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应有R入=2 n£ r0EU)=r0E0lnR r0适当选择r0的值，可使U有极大值，即令 dU/drO=EOIn(R/rO)-EO=O，得 rO=R/e，显然有d2UdrO< O， 故当rO=R/e时电容器可承受最高的电压 Umax=REO/e = 147 kV.3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1,外筒半径为R2 (R2V2 R1)，其间充有相对介电常量分别为& r和& rZ & r1 / 的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R.若两种介质的击穿电场强度相

5、同，问：(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？(2) 该电容器能承受多高的电压？解： 设内、外筒单位长度带电荷为+ 入和一入.两筒间电位移的大小为 D=入/(2 n在两层介质中的场强大小分别为E1 =入/ (2 n&,0 E2 r=r)X / (2 n&在两层介质中的场强最大处是各层介质的 内表面处，即E1M = X / (2 n& 0,&E2MI=入 / (2 n& 0可得/ E2M = & r2R / (& r1R1)=R / (2R1)已知R1V 2 R1，可见E1M v E2M，因此外层介质先击穿.(2)当内筒上电量达 到XM,使

6、E2M = EM时，即被击穿，X M = 2 n& O & r2iREMl两筒间电压(即最高电压)为：U12=?RR1R? 1 入 MX MR2R1? dr+ ?dr二 & r2REM In+lr?R2n ££ r2 n ? 0T2? rrflrRI & r24. 一空气平行板电容器，两极板面积均为 S,板间距离为d (d远小于极板线度), 在两极板间平行地插入一面积也是 S、厚度为t (<d)的金属片，如图所示试求： (1)电容C于多少？ (2)金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？解：设极板上分别带电荷+q和-q；金属片与A板距

7、离为di，与B板距离为d2; 金属片与A板间场强为E1=q/( & 0S)金属板与B板间场强为E2=q/( & 0S金属片内部场强为E'=0则两极板间的电势差 为Aqq(d1+d2)=(d-t)& 0S£ OS由此得 C=q/(UA-UB)=£ OS/(dt)UA-UB=E1d1+E2d2 =因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响.5. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 a,外筒半径为b,筒 长都是L,中间充满相对介电常量为 &的各向同性均匀电介质内、外筒分别带 有等量异号电荷+Q和-

8、Q.设(b- a) << a，L >> b，可以忽略边缘效应，求：(1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器贮存的能量.解：由题给条件(b-a)vva和L>>b，忽略边缘效应,应用高斯定理可求出两 筒之间 的场强为：E=Q/(2n£ 0 £ rLr)Qbdrln=? 2 n££ La2 n&& LrOrOra电容器的电容 C=Q/U=(2冗& 0 £ rL)/ln(b/a)12电容器贮存的能量 W=CU=Q2/(4t& 0 £ rL)ln(b/a)2两筒间的电势差U=

9、6. 如图所示，一平板电容器，极板面积为 S,两极板之间距离为d,其间填有两 层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为&和& 2当电容器带电荷±Q时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为 £ 的介质板抽出，试求外力所 作的功.解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为bQ2 £ 1S2& 2S，C2= dd2£ 1 £ 2S串联后的等效电容为C=d £ 1+£ 2 3 =Q2Q2d(£ 1+ &带)电荷±Q时，电容器的电场能量为 W= =2C4&

10、 1 & 2SQ2d( & 0+将 2)1 的介质板抽去后，电容器的能量为 W=4 £ 0 £ 2SQ2d? 11?外力作功等于电势能增加，即 A=?W=W-W= -? ?4S? £ 0?17. 如图所示，将两极板间距离为d的平行板电容器垂直地插入到密度为p相对介电常量为£的液体电介质中如维持两极板之间的电势差 U不变，试求液体 上升的高度h.解：设极板宽度为L,液体未上升时的电容为 CO = & OHL /液体上升到h高度时 的电容为£铮C=£ O(Hh)L+ ££ hLOrd? ( -1

11、)h? =? 1+rCO ?dH?在U不变下，液体上升后极板上增加的电荷为?Q=CU-C0U= O(-hLU/d电源作功 A=?QU= O( &-1)hLU2/d液体上升后增加的电能111CU2-COU2= O( -1)hLU2/d 22212液体上升后增加的重力势能？W2=P gdh 2& O(-1)U2因 A = ?W1+?W2，可解出 h= 2 p gd ?0仁思考题1.无限大均匀带电平面(面电荷密度为 J两侧场强为E=c /(2 £ ,O)而在静 电平衡状态下，导体表面(该处表面面电荷密度为 J附近场强为E=j/ 为什 么前者比后者小一半？参考解答：关键是题目

12、中两个式中的 j不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的 面电荷密度改为 6其附近的场强则写为E=J'/ £ 0.对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为6，两侧场强为E= j/(2 £这里的6是指 带电平面单位面积上所带的电荷。对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为E=j'/ £ 0.这里的6是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则6是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而6仅是导体板 的一个表面单位面积上所带的电荷。在空间仅有此导体板(即导体板旁没

13、有其他电荷和其他电场)的情形下，导体板 的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电 荷密度间的关系为6 =2 6这样，题目中两个E式就统一了。思考题2:由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大 还是减小？参考解答：由极性分子组成的电介质(极性电介质)放在外电场中时，极性分子的固有电矩 将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在， 这种取向不可能完全整齐。当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐， 极化的刀pi效果更差。此情形下，电极化强度 P=将会比温度升高前减小。？V在 电介质中的电场E不太

14、强时，各向同性电介质的 P和E间的关系为P=£ 0(-1)E. 很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量£要减小。思考题3:有一上下极板成B角的非平行板电容器(长为a，宽为b)，其电容如 何计算？ 参考解答：设一平行板电容器是由长为a宽为b的两导体板构成，板间距为d ,则电容为C0= £ abd,若该电容器沿两极板的长度同一方向有 d x的长度增量，则电容为C'= £ a(b+dx) d=C0+£ adxd,在此基础上推广到 如图所示的电容器，可以认为是在 C0的基础上，上极板沿与长度 方向成B角度连续增加到b,下极板沿长度方

15、向连续增加到 bcosB 构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为C'=C0+? bcos 90 £ adld+ltan 9 =C0+£ ad+bsin 9 In tan 9d即非平行板电容器的电容，C=£ ad+bsin 9 Intan 9d思考题4:为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度(待 测材料可视作相对电容率为 £的电介质)，通常在生产流 水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，S为极板面积，d0为两极板间的距离。试 说明检测原理，并推出直接测量电容 C与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结 果又将如何？ 参考解答： 设极板带电q=c 0S两板电势差：？U=E无电介质(d0-d)+E有电介质dCT 0 (T (dd)+0d£ 0 £ 0