第2章2.7不定型的极限与补充练习

1、问题：（1）求极限；（2）极限的反问题；讨论连续；连续反问题（3）找间断点；判别类型（4）闭区间上连续函数性质（结合微分中值定理，局部保号性）（5）递推数列的极限：多用单调有界准则（6）求导a）隐函数求导（及二阶导数）b）参数式函数求导（及二阶导数）（7）曲线上某点的切线方程和法线方程（8）求高阶导数（9）证明题：中值定理为主理解洛必达法则：1）X0的去心邻域内可导2）应用洛必达之后极限存在或为无穷大3）并没有要求f（x），g（x）在x0连续；4）只要满足这3个条件：可以多次使用5）应用柯西定理得两个函数不是f（x）,g（x）洛必达法则：（1）对同一个极限问题，可多次使用。（2）使用前提，满足

2、3个条件（3）第3个条件事先（一般）并不确定是否满足。如果在求极限过程中发现 极限“不存在”（除开无穷大），则说明洛必达法则失效。应用洛必达法则：（1）应用洛必达之后极限存在或为无穷大（2）洛必达常结合其他方法化简i.等价无穷小代换ii.恒等式变形：三角恒等式等（3）选择哪些作为分子/分母，视求导结果是否简单来决定。如f（x）怙一怙一 ；x ? xarctanx x ? arctanx（4）1.1 回顾31.2 不定型的极限31.2.1 习题31.2.1.1 题 1（ 14） 41.2.1.2 题 1（ 16） 41.2.1.3 题 2 51.2.1.4 题 3 61.2.1.5 题 5 71

3、.2.1.6 题 7 71.2.2 小结71.2.3 补充题81.1回顾1.2不定型的极限tan x tan x tan 0xx 0(ta n x)(x) x2 sec1f(b) f(a)g(b) g(a)lim电x 02 sec1limf(x)x ? g(x)lim?g ()limf (x)x ? g (x)习题1.2.1.1 题 1 (11)lim (x x2ln(1 -)xxlimxx(1 xln(1 x)xlimx1 xl n(1x) xln1xxlimxxln(1 x) 1 x. 1 ln x xx12 x1x1limx1 x1 xx23 x121.2 题 1 (14)xim(21a

4、rcta n x)lnx幕指函数（limln(arcta n x)2In x无穷大/无穷大limxex21(arctan x)x 2limxearcta n x20/0lim(存)x21.2.1.3 题 1(16)x 1c _)xx xa blim (x o'3x x x a b c、 ln( ) lim3x 0xe x«1a无穷大0/0ax bx cx31(In a1 1 13lnb Inc)lln (abc)e33 abc1.2.1.4 题 2xsin xe e(1)limx 0 x si n x分析：x sinxe elimx 0 x si nxlimx 0sin x

5、x sin xe (ex sin x1)limx 0sin x /e (x sinx)x sinxsinxlim e 11 cos2x(2) lim:x 0 x( 1 x 1)(2x)2 lim一cOs2x lim 亠 4 x 0 x( <1 x 1) x 0 x X23)mox)C 1 x 1)-3'x sin x1(axln a bxln b cxln c) lim3x 0(tanx x)( 1 x limx 0 x sinx1)(tanx x)x lim2x 02ximo4xtanx x3x1 r sec x 1limx 03x22回ta n2 x3x2121.5 题 3

6、limx方法1：limx2clim 1x2c方法2:limx方法3:xl nxlimxelimxlimxlimx2cln(1 )x climx4,e2c121.6 题 5limx 0f (1 cosx)ta nx2limx 0f (1 cosx)2xlimfx 02cosx)-2x21 f(1 cosx) limx 0 2 1 cosxlim1f(0 1 cosx)x 0 21 cosxf(0)h 1 cosxT(o1.2.1.7 题 71 acos2x bcos4x limx 04x2广 1 acos2x b(2 cos 2x 1) limx 0x421 acos2x 2bcos 2x b

7、limx 0x42c a c 1 b 2b(cos 2x cos2x ) lim2b虹x 0令旦2,一2b 2bx41解得 a=, b=?小结(1)再应用洛必达之前，尽可能先化简i.能够先用等价无穷小替换的先替换;ii.三角恒等式补充题30.已知当x 0时,a的值.1(1 ax2尸1与cosx 1是等价无穷小，求常数解据已知条件12 "3(1 ax )311 limx 0 cosx 12123sin x2aT，(1 ax2) 3 2ax故a 3.2注若用等价无穷小关系123(1 ax )1 2ax ,3cosxx2x 0 ，2立即可得1a335.求解(0 型)(1994)cosx(x

8、 sin x) 原式= liq-x 0 sin x sin x x(x sin x) lim cosxli mx 0 lim3 0 0sin x sin xx sin x lim3limx 0 6xx 0x336 求 lim xsin ln(1xsinln(1x)(0 型)(1996)解令1 t，则xx等价于t 0.因此|im cosln(13t)1t3 cosl n(1 t) 3t2.38.求 lim xx1一，x t1原式=limt 0(1 t)ft1网 t)f1严1t)1t(1 t)t (1 t)l n(1t lim t 0(1t)(1 t)t)(t V o(t2) ?limo1 .32

9、一 t2to(t2)39.求 Jimfcos Vx)x (1 型)(1991).解法一Jimfcos x)xexp limxln cos . x0 xexpsin 丘 1lim =x 0 cos x 2 ； xexp法二|im(cos .x)x Jim(1cos x1cox 11)COS x 1 xn21g求nim门唁,n为自然数.(1 型)(1998)lim (xtan1)"xxtlim0(1可能方法：（1）第2个重要极限；（2）化为非幕指函数 提示：变量代换使得新自变量趋于 0因为1阿耳!)严，(倒代换)t tant ttant t)tant t t3!叫I 轉Jlim0t3t 01COS2t_3t22丄“sin t1cos41.x求