第一章-1.2类比推理

1、1.2类比推理戸预习导学 I挑战自我，点点落实学习目标1. 通过具体实例理解类比推理的意义.2. 会用类比推理对具体问题作出推断.知识类比推理的结论能作为定理应用吗？答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.预习导引1. 类比推理类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征,这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比.(3) 结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.(4) 思维过程流程图：观察.

2、比较联想、类推猜想新的结论2. 合情推理合情推理的含义根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、 公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.(2)思维过程流程图从具体问题出闵一|观察、分析、比较、联想一|归纳、类比|一|提出猜想3. 演绎推理根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.歹课堂讲义 i垂点难点，个个击破要点一平面图形与空间图形的类比例1三角形与四面体有下列相似性质：(1) 三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角 形围成的最简单的封闭图形.(2) 三角形可以看作是由

3、一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线 所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶 点的连线所围成的图形.通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等干第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交干一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点 为顶点的三角形)的面积等于第四个面1的面积的？且平行于第四个面三角形的三条

4、内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一 点，且这个点是四面体内切球的球心规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、 长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法.跟踪演练1类比平面内正三角形的"三边相等，三内角相等”的性质，可推出 正四面体的下列哪些性质，你认为比较怕当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三 角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶 点上的任两条棱的夹角都相等.A. B.C.D.答案C解析由两类对象具有某些类似特征和

5、其中一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故 均正确.要点二解题方法的类比例2已知以下过程可以求1+2 + 3+-+/2的和.因为(n+ I)2-l2 = 2Xl + l,有(12+ 1) 1 2(1 + 2 + l2)+Z2, Z22 = 2l2+ 1 ,n2 (n l)2=2(n 1)+ 1,所以l+2 + 3 + + n= 类比以上过程求l2 + 22 + 32+- + n2的和.解 因为(n+ I)3 n3 = 3n2 + 3n+ 1,n3-(n-1)3 = 3(12 l)2 + 3(n- 1)+1, 23-l3 = 3X

6、l2 + 3Xl + l,有(12+ l)3 1 = 3(12 + 2，+122) + 3(1 + 2 + 3 + z2)+/2,1'3n2 + 5£所以 l2 + 22 + + n2=- n3 + 3/r + 3n-6 2 )2n3 + 3n2 + /2 n(n+ l)(2n+ 1)= 6 = 6 '规律方法 典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生总结、反思、举一 反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力和灵活应用知识的能力.而解决问题 需要我们展开丰富的联想，利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度, 先解决较简单的问题，再类比到复杂问题，常常可达到柳暗花

7、明的成效.利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得4-5)+4-4) +40) +-+45)+46)的值是.答案3迈解析 本题要求类比课本中等差数列的求和方法，即"倒序相加法” 令 =4-5)+ 4-4) +40)4- +45) + 46),则£=46) +彳5) +彳0) + 4 4) +彳一5), 两式相加，类似于等差数列的情形，易得=3©要点三等差数列与等比数列的类比例3在等差数列迤中，若刊0 = 0,则有等式角+耳2+/?19_Jn<19, nN+)成立.类比上述性质，相应的，在等比数列»中，若3=1,则有什么样的等式成立？解 在等

8、差数列冷中，由角0 = 0,得角+角9 =迤+兔3=為+怂0-21=弘+1所以刊+迤為耳19 = 0,又色=Rg,迤=rlis弘+1,即角+迤為=一日的一色3角 + 恐 + + 怎=刊 + 迤 + + 刊9_小相应的，在等比数列加中，若a=i,则可得b4 bn = b'bybx_17, nN+)规律方法1.在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与 立体几何，平面向量与空间向量三个方面2.在等差数列与等比数列的类比中， 等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幕.如通项公式：每=刊+ (力一1)4/=® 跟踪演练3设等差数列弘啲前力项和为则S. SG

9、-S4, Sa Ss S1G- S】2成等差数列.类比以上结论有：设等比数列力的前力项积为,则 , , £成等比数列.答案解析 等差数列类比于等比数列时，和类比干积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列3/的前戸项积为九则知Tz T12 % 壬，土，疔成等比数列.F当堂检测当堂训练，体骏成功1. 下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是()A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形答案C2. 下面几种推理是类比推理的是（）A. 因为三角形的内角和是180° X（3-2）,四边形的内角和是180° X（4-2）,，所以力边形的内角和是180° X

10、（n-2）B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C. 某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D. 4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案E3. 已知必）是抛物线声=2閃卩0）上的一点，过尸点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在； = 2px两边同时对衣求导，得2刃 =2p,则"所以过尸的切线的斜率k£.类比上述方法求出双曲线女一彳=1在H迈, yyo厶迈）处的切线方程为答案2x_y-車=0解析 将双曲线方程化为护=2（疋一1）,类比上述方法两边同时对衣求导得2妙

11、9;由于H迄，匹），故切线2x20.=4/则”,即过尸的切线的斜率k= yyo因此切线方程为y匹=2（衣一、但），整理得2x_y、但=4. 对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题答案 夹在两平行平面间的平行线段相等课堂小结类比推理的特点(1) 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特 征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.(2) 类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比在数学 发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等干论证.(3) 由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义

12、的类似特征，所 以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.尹分层训练 J解疑纠偏，训练检測一、基础达标1. 对命题"正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球 切干四面体各正三角形的()A. 一条中线上的点，但不是中心E一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D.中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切干四个侧面的中心.底X高2. 已知扇形的弧长为厶半径为巧类比三角形的面积公式S=,可推知 扇形面积公式S扇等于()t lrA. B - C D.不可类比答案C1解析 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r, ：.

13、S=lr.3. (2013 -XX模拟)已知Q0,由不等式43 x x 4a+7>3A /- - 7=3,，我们可以得出推广结论：x+->22+l(nEN+),则日=()A. 2n B. n2 C 3/2 D. n21 答案D解析再续写一个不等式:33 x x x 334 lx x x 33X+7=3 + 3 + 3+7>4 3*3-3*7=4>由此可得a=nn.4. 设力占。的三边长分别为念b、c, 力EC的面积为S,内切圆半径为巧2 S则匚b+R类比这个结论可知：四面体S_ABC的四个面的面积分别为轿S" S3、s4,内切球半径为巧四面体S-ABC的体积为

14、K则c()VA'SS2+S3+S42VR Si + E+Ss+q3KC-s1+s2+s3+s44VD，S1 + aS2+S3+S4答案C31/&S1 + 5+&+目解析 设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是尺，所以 四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则 四面体的体积为V四面_B8=£(S】 + S2+S3+S4)&角+迪+ Hr5. 若数列冷匕皿）是等差数列，则数列b=也为等差数列,n类比上述性质，若数列&是等比数列，且O（nN+），则有也是等比数列.答案利CQC3nl”（ ”一 1）和一1解

15、析勺&严m Vcf q - =g 2 ，是等比数列6. 平面内正三角形有很多性质，如三条边相等.类似地写出空间正四面体的两条性质：;.答案三个侧面与底面构成的二面角相等四个面都全等（答案不唯一）7. 就任一等差数列迤,计算角+角0和&+冋，曰1。+辿。和耳20+兔0,你发现 了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之 间的联系角度分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列為的公差为，则為=殆 +（221）,fflj 日7 = *1 + Gd, + 9 d, Kjj + 7 d, + Qd.所以日7+ 壮0 = 2/?+ 1 5，+ r

16、ig 2 H- 1 5 dy 可得 7+ 耳10=心;+ 超）.同理角o +曰40=20+月30由此猜想，任一等差数列迤,若山，22, p, gN+且山+a=p+q,则有冷=冃+色成类比等差数列，可得等比数列%的性质：若山，n, p, qEN+JSL in+n=p+qf则有捡怎=冃, 成立.二、能力提升18. 三角形的面积为S=3余+b+d厂，念b、c为三角形的边长，厂为三角形内 切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()1A. V=abc1B. V=Sh31CV=-(SS2+S3-S4)rf、$、S3、S4为四个面的面积，厂为内切球的半径)1D. V=(ab+bc+acjhf (h

17、为四面体的高)答案C解析力EC的内心为O,连结Q4、OB、OC,将力3C分割为三个小三角形， 这三个小三角形的高都是巧底边长分别为念b、c;类比：设四面体力-£仞 的内切球球心为O,连结Q4、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以O为顶1点，以原来面为底面的四面体，高都为巧所以有 PfSi + S+Ss+Sjz；9. 类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列是等和数列，且刊=2,公和为5,那么刊s =,这个数列 的前12项和S.的计算公式为.51石石,R为奇数，答案3S“=v §力为偶数解析 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与

18、它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.2,由上述定义，得冷=力为奇数,力为偶数,f5 12n2f 23为奇数, 从而Sn=< 5尹力为偶数.10. 已知结论：“在三边长都相等的加O中，若Q是EC的中点，G是'AG力EO外接圆的圆心，则 = 2".若把该结论推广到空间，则有结论：在六条 CrJJ棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCQ的三边中线的交点，O为四面AO体力3仞外接球的球心，则莎= 答案3解析如图，易知球心O在线段荻上，不妨设四面体ABCQ的棱长为1,外接球的半径为&则BM=2 X3- 3解得R亡.AO 4干是

19、'而二逅巫"3 _ 411观察： tan 10° -tan 20° + tan 20° tan 60° + tan 60° - tan 10° =1,tan 5° tan 10° 4-tan 10c tan 75° +tan 75° tan 5C =1, 由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推 广.解观察得到 10° +20° +60° =90° , 10° +75° +5。=90° ,猜测推广式子为：若a+0+)/=9O°，且a, 0,卩均不为Att+-, (kEZ)，则 tan otan y+tan tan y+ tan ytan a= 1.kn证明 由 a+尸r #tan(<7+y0) = tan乞2 J tan ytan a 4-tan 卩 tanM = l-tan man/.tan a+tan p = tan(a4-(1 tan otan p1(1 tan atan Q tan y/.tan otan /?+ta