第三章《导数及其应用》章末检测(含答案)

1、第三章章末检测（A）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1. 已知曲线y = x2 + 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是（）A . ( 1,3)B. ( 1, 3)C. ( 2, 3)D. ( 2,3)2. 函数y= x4 2x2 + 5的单调减区间为()A .(汽1)及(0,1)B. ( 1,0)及(1 ,+ )C. ( 1,1)D .(汽一1)及(1 ,+ )3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x 9，在x= 3时取得极值，则a等于()A . 2B . 3C . 4D . 54. 已知函数f（x） = ax3 x2

2、+ x 5在（ 3,+ ）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为（）1A . a>31 1C . a<3且0D . a< 3且 a 丰 05. 函数y= x2 4x+ 1在0,5上的最大值和最小值依次是()A . f(5), f(0)B. f(2), f(0)C . f(2), f(5)*D. f(5), f(2)6. 设曲线y= xn+1(n N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为Xn,则log? 010X1 +log2 010x2+ log 2 010x2 009 的值为()A . log2 0102 009B. 1C . （log 2 0102 009

3、） 1D . 17. 方程一x3+ x2+ x 2= 0的根的分布情况是（）1A . 一个根，在（一a, ）内1B.两个根，分别在（一3,3）、（0,+3 ）内1 1C .三个根，分别在（一3,3）、（一 3 , 0 ）、（1 , +3）内1D .三个根，分别在（一3,3 ）、（0,1）、（1 , +3 ）内&函数f（x）= 2x3 3/ 12x+ 5在0,3上的最大值和最小值分别是（）)A . 5, 15C. 4, 159 .如果圆柱的轴截面周长为定值B . 5, 4D . 5, 164，则圆柱体积的最大值为（( )-tryy/rV “CD11. 函数f(x)= In x x2的极值

4、情况为()A 无极值B 有极小值，无极大值C.有极大值，无极小值D .不确定12. 设斜率为2的直线I过抛物线y2= ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点人,若厶OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A . y2= ±4xB. y2= ±8xC. y2= 4xD . y2= 8x题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知函数f(x) = x3 + ax在区间(1,1)上是增函数，贝U实数a的取值范围是 .114. f (x)是 f(x) = 3x3 + 2x+ 1 的导函数，贝V f' ( 1)

5、的值是.15. 在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y= x3 10x+ 3上，且在第二象限内， 已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为16. 设x= 2与x= 4是函数f(x) = x3 + ax2 + bx的两个极值点，则常数 a b的值为军答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)当 x( 0, n 时，证明：tan x>x.18. (12分)某物流公司购买了一块长 AM = 30米，宽AN = 20米的矩形地块 AMPN，规 划建设占地如图中矩形 ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB

6、长度为x米.若规划建设的仓库是高度与 AB的长相同的长方体建筑，问 AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19. (12分)已知直线11为曲线y= f(x)= x2 + x 2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另外一 条切线，且丨1丄d(1)求直线12的方程；求由直线11、12及X轴所围成的三角形的面积.20. (12分)要设计一容积为 V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半.问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？3421. (12分)若函数f(x) = ax3 bx+ 4,当x= 2时，函数f(x)有极

7、值3.(1) 求函数的解析式；(2) 若方程f(x)= k有3个不同的根，求实数 k的取值范围.33 222. (12 分)已知函数 f(x) = ax x + 1(x R)，其中 a>0.(1)若a = 1，求曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；1 1若在区间2，孑上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.第三章导数及其应用(A)答案1. B f (x) = 2x + 2= 0,. x=- 1.f( - 1) = (- 1)2+ 2X (- 1) - 2=- 3. M(- 1 , - 3).2. A y'= 4x3-4x= 4x(x2- 1)，令 y'

8、; <得 x 的范围为(f 1)U (0,1).3. D f' (x)= 3x2 + 2ax+ 3由 f(x)在 x=- 3 时取得极值，即 f' ( 3) = 0，即 27- 6a+ 3= 0,二 a= 5.4. C f' (x)= 3ax2 2x + 1,函数f(x)在(-m ,+ m )上有极大值，也有极小值， 等价于f ' (X)= 0有两个不等实根，3a 工 0,即A= 4- 12a>0.1解得a<3且0.5. D y'= 2(x-2). x= 2 时，y'= 0; x<2 时，y ' <0x>

9、;2 时，y ' >0.x= 2 是极小值点, f(2) = -3;又 f(0)= 1 , f(5) = 6,故 f(5)是最大值，f(2)是最小值.6. B y' |x= 1= n + 1,切线方程为 y-1 = (n+ 1)(x- 1),1令 y = °，得 x= 1-nn+ 1，即Xn =nn+ 1.所以 log 2 010X1+ log 2 010x2 + + lOg2 010x2 009 =l0g2 010(x1 X2009)=log2 010(12IS =log2 0102010=-1.7. A 令 f(x) = -x3+ x2 + x-2,贝V f

10、' (x) = - 3x2 + 2x+ 1,令一3x2 + 2x+ 1 = 0,11得x= 1,或x=- 3,故函数f(x)在x = 1和x =- 3处分别取得极大值 f(1) = - 1和极小33值f -3 =-29据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只 有一个根，且在一m, 3内.& Ah,贝U 2R+ h = 2.9. A 设圆柱横截面圆的半径为R,圆柱的高为 V= TR2h = nR2(2 2R)= 2 n2 2nR3, V' = 2nR(2 3R)= 0.2令 V' = 0，则 R= 0(舍)或 R = 2.3经检验知，R=

11、3时，圆柱体积最大，此时h= 3,33*2 _8_ ,Vmax = n 9 3 = 27 n .10. A (m, 2)时，f' (x)<0 , f(x)为减函数；同理f(x)在(2,0)上为增函数，(0, + m )上为减函数.2 111. C 因为 f(x)= ln x x ,所以 f' (x) = - 2x, x令f' (x) = 0得x=三2 (x =宁舍去).当0<x<J时，f' (x)>0，函数单调递增；当 x>#时，f' (x)<0,函数单调递减所以函 数f(x)= In x- x2在x=-2-处取得极大

12、值，无极小值.12. B y2= ax的焦点坐标为4, 0 j,过焦点且斜率为2的直线方程为y= 2g, 令 x = 0 得 y= |.2¥ x 弓=4,二 a2= 64,. a = ±5.13. a> 3解析 由题意应有f' (x) = 3x2 + a> 0,在区间(1,1)上恒成立，则a>3x2, x ( 1,1)恒成立，故 a>3.14. 3解析 T f' (x) = x2+ 2,. f' ( 1) = 3.15. ( 2,15)解析 设P(x0, y°)(x0<0)，由题意知:y' |x = X

13、0= 3坊10= 2, . x0= 4.又T P点在第二象限内，x°= 2,. y°= 15.P点的坐标为(2,15).16. 21解析 t f' (x) = 3/ + 2ax+ b,-2+4=-鲁? a=-32X 4= 3b= 240,寸上的单调性. a b= 3 + 24= 21.17. 证明构造函数f(x) = tan x x,判断f(x)在设 f(x) = tan x x, x (o,寸)-f (x) =2 , 2cos x+ sin x1 = 2 1cos x/ 21.1 COS X .22 1 =2= tan x>0cos xcos x f(x)在

14、0, n上为增函数.又T f(x)= tan x x 在 x= 0 处可导且 f(0) = 0,当 x 0, n 时，f(x)>f(0)恒成立，即 tan x x>0. tan x>x.DC ND 口18. 解因为 AM = AN，且 AM = 30, AN = 20. 所以ND = ABAN=争得 AD = AN ND = 20 2x3'2x仓库的库容 V(x) = (20 §) x x=2 + 20/ (0<x<30),令 V' (x) = 2x2+ 40x= 2x(x 20) = 0,得x = 20或x= 0(舍去).当 x (0,

15、20)时，V' (x)>0;当 x (20,30)时，V' (x)<0.所以当x= 20时，V(x)有极大值也是最大值.即AB的长度为20米时仓库的库容最大.19. 解 因为 f' (x) = 2x+ 1，所以 f' (1) = 3,所以直线“的方程为y= 3(x 1),即 y = 3x 3.设直线12过曲线上点 B(b, b2+ b 2),因为 f' (b)= 2b+ 1,y= (2 b + 1)x b2 2.所以直线12的方程为y (b2+ b 2) = (2b + 1)(x b)，即2又 h 丄 S，所以 3(2b+ 1) = 1,所以

16、 b = 3,31 22所以直线12的方程为y= 3x石.3 9即 3x+ 9y+ 22 = 0.y= 3x x= a = 解得 3(2)解方程组122 ，可得ly= 3x 丁ly= 5因为直线i1> 12与x轴的交点坐标分别为(1,0)、誓, 所以所求三角形的面积为S=x 1+ 22312512 .2V20. 解由 V= n h,得 h = . n设盖的单位面积造价为a,则储油罐的造价 M = a n2+ 2a 2rh + 4a n2=5a n4aV+，M ' = 10a n 4aV，令 M = 0，解得 r =-经验证，当r = 3'今时，函数取得极小值，也是最小值,

17、5 n此时,21.解 f'，储油罐的造价最省.2(x) = 3 ax b.(1)由题意得f' 2 = 12a b =f 2 = 8a 2b+ 4= 3'<3故所求函数的解析式为f(x) = -x- 4x+ 4.3(2)由(1)可得 f (x) = x2-4= (x- 2)(x+ 2), 令 f' (x) = 0,得 x = 2 或 x = 2.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+ g)f' (x) +0一0+f(x)z2814一 3才284因此，当x= 2时，f(x)有极大值28,当x

18、= 2时，f(x)有极小值3,33所以函数f(x)= -x3 4X+ 4的图象大致如右图所示.3若f(x) = k有3个不同的根，则直线 y= k与函数f(x)的图象有3个交点，所以一 条詈.22.解(1)当 a = 1 时，f(x) = x3 |x2+ 1 , f(2) = 3.f' (x) = 3x2 3x, f' (2) = 6,所以曲 线y= f(x)在点(2 , f(2)处的切线方程为 y 3 = 6(x 2),即 y = 6x 9.2(2)f' (x) = 3ax 3x= 3x(ax 1).1令 f' (x) = 0,解得 x = 0 或 x=.a以下分两种情况讨论：1 1若0<aw 2,.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：a 2x(-1, 0)0(0, 1f' (x)+0一f(x)极大值1 1当x 1, 1】时，f -齐0f(x)>0等价于即.1 -5+ af2>