2.4连续型随机变量及其概率密度ppt课件

1、t13( )t23(1)( )e25(2)( )02XXX-32、， 为时间间隔，与起终点无关；解：， 所求PX=0=.， 所求PX1(查表)或=1-PX.13、14、15-“主线主线”、解题步骤！、解题步骤！t14 (2)tt(2t)e0.5tlnX-2、 解：设外出时间为 （小时），则 内接到的电话次数，由PX=0=，得2/20.3446(小时)。15 (5000,0.00015),(75)XbX解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的人数，则近似服从，由题意，所求为PX10=.,( )( )XxF xP XxXF x定义设是一个随机变量是任意实数 函数称为 的分布函数。“单调不减右连续”

2、。(2) F(x)可以表示可以表示X在任意区间的概率在任意区间的概率-完整描述统完整描述统计规律性。计规律性。复习：分布函数复习：分布函数abPXF(b)F(a)bP X(1)( ): F(x)PXxF xx是的一个普通实函数，定义域（， ）；对应法则是：确定：确定X及其分布，及其分布，A=XL：PXL= F(x) 【分布律、概率密度【分布律、概率密度f(x)】高等数学、高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数、分布律、密度函数f(x)的性质、的性质、 各种概型的规律。各种概型的规律。离散型离散型利用分布律：利用分布律：kkPX=x =p ,k1,2,.kkkkxLxLPXLPX=x pxxk

3、kxxpxXPxXPxFk)(k( xR )kkk( )(0)P XxF xF x：确定：确定X及其分布，及其分布，A=XL：PXL= F(x) 【分布律、概率密度【分布律、概率密度f(x)】高等数学、高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数、分布律、密度函数f(x)的性质、的性质、 各种概型的规律。各种概型的规律。连续型连续型利用利用f(x),F(x) LP XLf x dx( )( )d ,xF xf tt xR,f(x) 0 baP aXbf x dx如分布函数分布函数概率密度概率密度2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连连续续型型随随机

4、机变变量量均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度( ),( )( )d ,( ),.xXF xxF xf ttXf xX如果对于随机变量的分布函数存在非负函数f(x)使对于任意实数有则称为连续型随机变量 其中称为的概率密度函数 简称概率密度一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度1.定义定义21xXxP .d)(21xxfxx )()(12xFxF 2.xxfxd)(2 证明证明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 xo)(xf11S1

5、x 2x )(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP )(1aF .d)(xxfa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式04( ),( )( ).f xxF xf x若在点处连续 则有00()( )limlim( )xxF xxF xP xXxxf xxx 即：( )dP xXxxf xx若不计高阶无穷小，有PX=x.由此由此bXaP bXaP bXaP P aXb0( )()P XaP axXaF aF ax ( )dbaf xx05xx连续型随机变量 的分布函数F( )是连续函数00 x0 x lim( )lim ()( )lim( )0 xxxxxF xF xxF xf t dt

6、因为对，( )0( )()0F xxF aF ax 而连续，故时， = Lf x dx P XL 阐明阐明： 假设假设 X X 为连续型随机变量，则对任一实数为连续型随机变量，则对任一实数a a，有，有 PX=a=0PX=a=0 .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1 1, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得的的概概率率密密度度为为知知由由Xk61)2( .,0,43,22,30,

7、6)(其其它它xxxxxf得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 0,( )arcsin,1,.:(1),;(2);(3)( ).2XxaxF xABaxaaxaaA BPaXf x 设连续型随机变量的分布函数为求作业作业1 1：),(lim)(xFaFax 解解(1) F(x)延续延续:, )(lim)(xFaFax aaBAarcsin aaBAarcsin即

8、即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf (3) ., 0,122其其它它axaxa ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以二、常见的连续型随机变量二、常见的连续型随机变量1,( )0,( , ),( , ).Xaxbf xbaXa bXU a b定义设连续型随机变量具有概率密度其它则称在区间上服从均匀分布 记1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b ；，有对任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxfbadxab11

9、均匀分布的意义均匀分布的意义dXcP dcdxxf)( dcdxab1.abcd 1,( )0,axbf xba其它 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数:xo)(xF a b 11,axbf(x)ba0, else例例2 2 设电阻值设电阻值R R是一个随机变量是一个随机变量, , 均匀分布在均匀分布在900900欧欧11001100欧欧. .求求R R的概率密度及的概率密度及R R 落在落在950950欧欧10501050欧的概率欧的概率. .解解由题意由题意,R U(900,1100) ., 0,1100900),9001100(1)(其其它它rrf故有故有105

10、0950 RP. 5 . 0d20011050950 r练习：设随机变量练习：设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其它其它xxf解解3P X 则,32d3153 x2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,那么那么.32,3 bY 32132232033213233 2. 指数分布指数分布2f(x)0,f(x)dx1

11、易知（1）（ ） 其分布函数为其分布函数为 0001)(xxexFx |sXtsXP sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF / )(stsee / te ,tXP 应用与背景应用与背景指数分布的特性：无记忆性指数分布的特性：无记忆性首次发生故障的时间首次发生故障的时间-可靠性分析可靠性分析例例3 3 设某灯管寿命设某灯管寿命 X e(2000)(X e(2000)(单位单位: :小时小时) )(1)(1)任取一灯管任取一灯管, , 求能正常使用求能正常使用10001000小时以上的概率小时以上的概率. . (2) (2) 有一只灯管已经正常使用了有一只灯管已经正常使用了1

12、000 1000 小时以上小时以上, ,求还能求还能使用使用10001000小时以上的概率小时以上的概率. . . 0, 0, 0,1)(20001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e).,(,)0(,21)(22)(22NXXxexfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中

13、的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 3. 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料正态概率密度函数正态概率密度函数f(x)的性质：的性质：;)1(对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处

14、有拐点曲线在曲线在x ;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x22()21( )2x f xe;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xf正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生

15、理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、分量直径、长度、分量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 ,21)(22 xexx .,d21)(22 xtexxt 0,1,(0, ),1N标准正记为态分布时 称为密度函数的验证密度函数的验证:首先验证： 12122dxedxxx222xedx只需验证：2222222/ xxyedxedxedydyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 22202202222rdreddxerx0222re2下面验证：121222

16、dxex2221u,2xxedx令则1dueu2221查表计算：查表计算：P Xa)()(aa , 1)(2 aaXaP P Xa).(22a 1aXP )2(1 9772. 01 ( 2) 如：.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例4 4 bXP ),( bbXaP ).()( ab bXP bXaP证明证明XZZ的分布函数F(x)=xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故89 XP 5 . 09089)2(

17、1 .0228. 0 )2( 80)2( XP)5 . 080(1d )5 . 080( d99. 0 ),237. 2( 5三、标准正态分布的上三、标准正态分布的上分位点分位点zz 例如：例如：96. 1025. 0z(1.96)0.975分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连连续续型型随随机机变变量量均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 . 0 aXP若连续型随机变量若连续型随机变量 X=a 是不可能事件是不可能事件,则有则有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP假设假设 X=a 为离散型随机变量为离散型随机变量, 阐明阐明2 2）连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 习题习题3XP1 )211()213( 5 . 08413. 0 .3413. 0 1)2( XP111 XP)211()211(1 )8413. 01(5 . 01 .6587. 0 .5,0c1PX .5,01cPX 1,1c 2.c 12 kkPxd5152 .53 )(1BP200 XP)25220200( ,2119. 0 )(2BP220200 XP