数字信号处理--第二章3ppt课件

1、( )( )x nIZT X zz反变换反变换: 从从X(z)中还原出原序列中还原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z实质：求实质：求X(z)幂级数展开式幂级数展开式z反变换的求解方法：反变换的求解方法：,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR 根据复变函数理论，若函数根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域在环状区域 内解析，则在此区域内内解析，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即可展开成罗朗级数，即围线积分法留数法）围线积分法留数法）11( )2nncCX z zdzj0, 1, 2,n ( ) ( )( )nnX zZT x

2、nx n zRe zIm jz0 xRxRC11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj利用留数定理求围线积分利用留数定理求围线积分( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z l若若F(z)在围线在围线c上连续，在上连续，在c内有内有K个极点个极点zk，1( )( )nF zX z z令留数的计算公式留数的计算公式kkzzNkNNzzzFzzdzdNzFs)()()!1(1)(Re11阶）极点的多重（是NzFzk)(的单（一）阶极点是)(zFzkkkzzkzzzFzzzFs)()()(Re2( ) 1/44(4)(1/4)zX zz

3、zz例1：，求其z反变换211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：Re zIm jz0C41/411( )4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415nRe zIm jz0C41/411( )(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点cz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz

4、其中：Re zIm jz0C41/44( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415n244( )(1)(2)1515nnx nu nun 2( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换解： 收敛域是圆的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在处收敛( )x n是右边序列( )( )00 x nx nn是一个因果序列，即，Re zIm jz0C41/410( )c(4)(1/4)0( )0nznF zz zx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得0n 当时1( )(4)(1/4)nzF zzz

5、144cz 在围线 内有一阶极点， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n考虑：考虑：n=0,1时，时，F(z)在围线在围线c外也无极点，外也无极点，为何为何( )0 x n 211( ) 1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111( )2(1)(1)ncax nzdzjazaz解：221111(1)( )(1)(1)()() cX(z)nnaazF zzazaza zaza其

6、中：为收敛域内闭合围线1( ),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111) 2) 3) zazaaza11) za收敛域是圆的外部 lim( )0zX z又，( )( )00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1( )F zczaa在围线 内有一阶极点，1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa( )() ( )nnx naau nRe zIm jz0C1aa2) za0n 当时( )F zc在围线 内无极点( )0 x

7、 n 故0n 当时( )0F zcnz 在 内有- 阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z ()nnnnaaaa ( )() (1)nnx naaun Re zIm jz0C1aa0n 当时( )F zcza在 内有一阶极点( )Re ( )nz ax ns F za0n 当时( )0F zczanz在 内有一阶极点和- 阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )nz ax ns F za ( )( )(1)nnnx na u na una 13) azaRe zI

8、m jz0C1aa12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )( )KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求对各部分分式求z反变换：反变换：部分分式展开法部分分式展开法X(z)是是z的有理分式，可分解成部分分式：的有理分式，可分解成部分分式：01( )( )( )1MiiiNiiib zB zX zA za z11011( )11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z( )Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：izzkzzXsC)(Rerk, 1 1125( ) 23

9、16zX zzzz例：，求z反变换 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzzRe zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun ( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列级数的系数就是序列x(

10、n)幂级数展开法长除法）幂级数展开法长除法）把把X(z)展开成幂级数展开成幂级数xzRxzR 根据收敛域判断根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的的性质，在展开成相应的z的幂级数的幂级数 X(z)的的x(n) 将将X(z) 分子分母分子分母 展成展成z的的 按按z的的 因果序列因果序列 负幂级数负幂级数 降幂排列降幂排列 左边序列左边序列 正幂级数正幂级数 升幂排列升幂排列1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz( )( )nnX zx n z11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n1

11、1112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z解：由解：由Roc判定判定x(n)是是因果序列，用长除法因果序列，用长除法展成展成z的负幂级数的负幂级数11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由解：由Roc判定判定x(n)是是左边序列，用长除法左边序列，用长除法展成展成z的正幂级数的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z

12、反变换解：解：X(z)的的Roc为环状，故为环状，故x(n)是双边序列是双边序列 极点极点z=1/4对应右边序列，极点对应右边序列，极点z=4对应左边序列对应左边序列 先把先把X(z)展成部分分式展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144z zz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(1)1515nnx nu nu n 201114154nnnnnnzz( )(

13、 )( )( )ZT ax nby naX zbY zab， 为任意常数max(,)min(,)xyxyRRRzRRR那么那么 ( )( )xxZT x nX zRzR ( )( )yyZT y nY zRzR假设假设2.5.4 z变换的性质与定理变换的性质与定理1、线性、线性 ( )( )xxZT x nX zRzR ()( )mZT x nmzX zm为任意整数xxRzR那那么么假假设设2、序列的移位、序列的移位( )( )(3)( )x nu nu nX z例：，求( ) ( )(3)X zZT u nu n解： ( ) (3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zz

14、z2210zzzz( )( )nnnnZT a x na x n z( )nnzzx nXaaxxxxzRRa Rza Ra证： ( )( )xxZT x nX zRzR( )nzZT a x nXaa为任意常数xxa Rza R那那么么假设假设3、乘以指数序列、乘以指数序列(z域尺度变换域尺度变换 )2( )( )ZT n x nZT n nx n( )( )dzZT nx ndzddX zzzdzdz 同理：同理： ( )( )xxZT x nX zRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR那么假设4、序列乘以、序列乘以n ( )( )xxZT x nX zRzR*( )(

15、)ZT x nXzxxRzR那么那么假设假设5、复序列取共扼序列、复序列取共扼序列 ( )( )xxZT x nX zRzR1 ()ZT xnXz11xxzRR那么那么假设假设6、翻褶序列、翻褶序列( )lim( )(0)zx nX zx对于因果序列，有( )lim( )(0)zx nX zx对于因果序列，有7、初值定理、初值定理8、终值定理、终值定理1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z11( )lim ( )lim(1)( )Re ( )znzxx nzX zs X z 设设x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处的极点处于单位圆以内单位圆上最多在于

16、单位圆以内单位圆上最多在z=1处可有一阶极处可有一阶极点），那么：点），那么：( ) ( )( )( )Y zZT y nX zH zmax(,)min(,)xhxhRRzRR那么( ) ( )xxX zZT x nRzR( ) ( )hhH zZT h nRzR且( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm设设y(n)为为x(n)与与h(n)的卷积和：的卷积和：9、序列的卷积和、序列的卷积和(时域卷积和时域卷积和)1LSI ( )( )(1) ( )( )nnnh nb u nabu nx na u n例：已知系统的单位抽样响应：，求系统输入的响应。( ) ( )(

17、 ) nzX zZT x nZT a u nzaza解：1( ) ( )( )(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1( )(1)nnZT b u naZT bu n( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm1 zzzaazzbzbzbzb( )( )( ) zY zX z H zzbzb( )( )* ( ) ( )( )ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba( ) ( ) ( ) ( )Y zZT y nZT x n h nxhxhR RzR R11( )2czXH v v dvjvmax,min,hhxxzzRvR

18、RR那么( ) ( )xxX zZT x nRzR( ) ( )hhH zZT h nRzR( )( )( )y nx nh n且且假设假设10、复卷积定理、复卷积定理11( ) 11X zzz 解：2111( ) (1)(1)aY zazaazaz11( )( )2czW zY v Xv dvjv2111112(1)(1)1cadvvjavavvz11aaza 1max,min,1zzava1,vva az平面极点：cva内极点，单阶( )( ), ( ),( )( ) ( )nx nu ny naaw nx n y n例：已知 1 求( )( ), ( ),( )( ) ( )nx nu ny naaw nx n y n