第四章留数定理

1、第四章 留数定理n1 留数的概念及留数定理留数的概念及留数定理n2 利用留数定理计算复变函数的积分利用留数定理计算复变函数的积分n3 利用留数定理计算实变函数的积分利用留数定理计算实变函数的积分1.留数如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理.0d)(lzzflzzfd)(n但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线l的积分一般就不等于零.4.1 留数定理一 留数及留数定理因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=.+a-n(z-z0)-n+.+a-1(z-z0)-1+a0+a1(z-z0)+.+a

2、n(z-z0)n+.后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下a-1(z-z0)-1的一项等于2pia-1外, 其余各项积分都等于零, 所以1101( )d2d2.llf zziaziazz-01Res()( )d2Cf zf zzipn其中a-1就称为f(z)在z0的留数留数, 记作Resf(z0), 即0( )d2 Re()lf zzisf z01Res()f za-2（有限远点的）留数定理（有限远点的）留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2,.,bn外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则( )dlf zz Db1b2b3bnl1l2l3lnl12

3、Res().njjif b1( )djnjlf zz证 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有Dz0l0l求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. njjlnlllllbfizzfbfbfbfzzfizzfzzfzzfzzfn121).(Res2d)()(Res)(Res)(Resd)(21.d)(d)(d)(d)(21即l包围多个孤立奇点时：Db1b2b3bnl1l2l3lnl二. 留数的计算方法（一）可去奇点的留数：

4、对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 1 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点单极点）, 则（二） 极点的留数对于 f(z)可表示为形式 f(z)=)()(zQzP时，且 P(z),Q(z)在0z点是解析的， Q(0z)=0, )(0zQ0 P(0z)0 则有： )()(lim00zfzzzz-=00( )lim()( )zzP zzzQ z-=)()(00zQzP 2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则首先判断奇点首先判断奇点类型，若是极类型，若是极点判断其阶数点判断其阶数首先判断奇点首先判断奇点类型，若是极类型，若是极点判断其阶数点判断其阶数00101Re()1lim()( )(1)

5、!mmmzzsf zdzzf zmdz-1ch2)2e2e(2d1e.2e1elim1e) 1(lim) 1(Res2e1elim1e) 1(lim) 1 (Res121121121iizzzzzzzzfzzzzzfCzzzzzzzzz-因此1( )d2Res().lnjjf zzif b我们也可以下式 来求留数:.2e2e) 1(Res;2e2e) 1 (Res111|-zzzzzzfzzfn这比前面方法要简单些.1e)(2-zzzfz例5 计算积分 , C为正向圆周|z|=2.-Czzzd140)41414141(2d1,414)()(,423-izzzzzzzQzPC故也可以这样算例6

6、计算积分 , C为正向圆周|z|=2. -Czzzzed) 1(2.2)01 (2)1 (Res)0(Res2d) 1(e. 0) 1(limeddlim) 1(e) 1(ddlim)!12(1) 1 (Res3211221iiffizzzzzezzzzzzfCzzzzzzz-所以f(z)=.+a-n(z-z0)-n+.+a-1(z-z0)-1+a0+a1(z-z0)+.+an(z-z0)n+.( )d2 Re()jjlf zzisf b01Res()f za-0|z-z0|R010011Re()lim()( )(1)!mmmzzdsf zzzf zmdz-000Re()lim() ( )zz

7、sf zzzf z-000()Re()()P zsf zQz有限远点的留数、留数定理及留数求法有限远点的留数、留数定理及留数求法n复习复习Db1b2b3bnl1l2l3lnlbj是是l所包围的孤立奇点所包围的孤立奇点无限远点的留数、留数定理及留数求法无限远点的留数、留数定理及留数求法k -f(z);kka z Rz 1Res( )fa- -( )d2 iResf( )lf zzpRxyol外部除外部除外无其它外无其它孤立奇点孤立奇点三、在无穷远点的留数与留数定理三、在无穷远点的留数与留数定理 1 1、留数、留数 设函数设函数f( (z) )在无穷远点的邻域上解析，在无穷远点的邻域上解析， 为函

8、数的奇为函数的奇点，将点，将 f f( (z z) )在在 的邻域上展为洛朗级数：的邻域上展为洛朗级数： z zk -f(z);kka z Rz -a-1称为称为f(z)在无穷远点的留数，记作在无穷远点的留数，记作Resf(z)=-a-1设函数设函数 f(z) 在圆环域在圆环域R|z| 内解析内解析, , l 为圆环域为圆环域内绕内绕原点的任何一条简单闭曲线原点的任何一条简单闭曲线, , 则绕无穷远点的正向积分：则绕无穷远点的正向积分：( )d?lf zz ( )d()()kkkkkklllf zza zdza zdz- -负号来源于积分方向负号来源于积分方向,与有限远点的正积分方向相反。与有

9、限远点的正积分方向相反。2 2、( (无限远点无限远点) )留数定理留数定理设函数设函数 f(z) 在圆环域在圆环域R|z| 内解析内解析, , l 为圆环域为圆环域内内绕绕原点原点的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线, , 则绕无穷远点的正向积分：则绕无穷远点的正向积分：( );kkkf za zRz- 1122()2Re( )iaiaisfppp- -( )d2 iResf( )lf zzp积分路线的方向是正的。积分路线的方向是正的。-留数定理留数定理说明：说明：)(zf z是周界处到无穷大区域上的函数。在是周界处到无穷大区域上的函数。在（1）对无穷远区域来说，对无穷远区域来说，l 的

10、正方向积分就是顺时针方向。的正方向积分就是顺时针方向。（2）1)(Re- - - asf( (与有限远点的留数相差一个负号。与有限远点的留数相差一个负号。) )（3）的邻域上解析的邻域上解析（4 4） 即使即使 点不是函数的奇点，点不是函数的奇点， 也可以不为也可以不为0 0。Resf(z)Rxyo推论：推论：如果函数如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, , 那末那末f(z)在所有各奇点在所有各奇点( (包括包括 点点) )的留数总和必等于零的留数总和必等于零. .1Res( )Res().nkkff z Dl11( )d( )d22llf zzf

11、 zzii0zkz1求留数的一种方法求留数的一种方法四四. .在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算211Resf( )=Res ( ),Res,0f zfzz -( )d2 iResf( )lf zzp1Res( )Res()0nkkff z 现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线l为半径足够大为半径足够大的正向圆周的正向圆周 : :. z证明证明,1z 设设,iireez-并设并设,1-r则则l外部除了外部除了外，外，f（z）无其它奇点）无其它奇点 xyo1/1/xyo1:.ll内内部除了部除了0外无其它奇点外无其它奇点:02:02pp -:.lz于是有于是有1Res ( ),( )d

12、2lf zf zzip -20d)(21iiieefi证明证明.d12120 - - iireirefi,1z ,iireez-,1-r1:.l:02 ;:02p p - - - 202d)(121 iiirereirefi21111d2fi -内除内除在在1:l0 外无其他奇点外无其他奇点 . .0 ,112 - - zzfRes 证毕证毕 1 （ 为正向）为正向）211Resf( )=Res ( ),Res,0f zfzz -211( )d2Res,0lf zzifzzp求积分的又一种方法求积分的又一种方法: : 在很多情况下此法更为简单在很多情况下此法更为简单. .211( )d2 iR

13、esf( )2Res,0lf zzifzzpp - ( )d2 iResf( )lf zzpl外部除了外部除了外，外，f（z）无其它奇点）无其它奇点例例7 7 计算积分计算积分 - -Czzzd14, C, C为正向圆周为正向圆周:|z|=2.:|z|=2.44341221111)1(1zzzzzzzzfz- - - - - - - - - - -解解 14- -zz在在| |z z|=2|=2的外部除的外部除外外无奇点无奇点, ,因此因此4211d2 Res( ),01Czzifzzz-因此因此0 在零点处展开的级数无负幂项，因此留数为在零点处展开的级数无负幂项，因此留数为041zz-21)

14、1(）（ - -zzz , 1z例例8 8 求求在在的留数。的留数。解：解：41 = - - - 21)1)(1()1(lim)1(Rezzzzsfz1 z2) 1)(1()( - - zzzzf时，时，的一阶极点，的一阶极点，z z=-1时是时是二阶极点。二阶极点。41) 1)(1() 1(lim) 1(Re221- - - - - - -zzzzdzdsfz0)(0)() 1() 1(Re - - resfresfresfsf有限远孤立奇点有限远孤立奇点无限远孤立奇点无限远孤立奇点洛朗展开洛朗展开留数留数留数定理留数定理单极点留数单极点留数求法求法m阶极点留阶极点留数求法数求法k -f(z

15、);kka z Rz 00k -f(z)() ;0kka z zz zR -01Res()f za-010011Re( )lim()( )(1)!mmmzzdsf zzzf zmdz-000Re()lim() ( )zzsf zzzf z-000()Re()()P zsf zQz2Resf( )=Res ( ),11Res,0f zfzz -1Res( )fa- -( )d2 iResf( )lf zzp( )d2 Re()jjlf zzisf bbj是是l所包围的孤立奇点所包围的孤立奇点l外部除外部除外无其它孤立奇点外无其它孤立奇点有限远孤立奇点有限远孤立奇点无限远孤立奇点无限远孤立奇点留数

16、的关系留数的关系1Res( )Res()0nkkff z 2112Res,0ifzzp( )dlf zz l外部除外部除外无其它孤立奇点外无其它孤立奇点2 Re()jjisf bbj是是l所包围的孤立奇点所包围的孤立奇点4.2 4.2 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用设将实变函数的定积分转化为复变函数的路径积分。设将实变函数的定积分转化为复变函数的路径积分。主要手段：主要手段：一、形如一、形如 的积分的积分 d20)sin,(cosR思想方法思想方法 :封闭路线的积分封闭路线的积分 . .把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作两个重要工作:1)

17、 1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 2) 被积函数的转化被积函数的转化被积函数的分母在被积函数的分母在 0 0 2 2内不为零内不为零形如形如 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei- - - ,2iz-z-1 )(21cos iiee- - ,21- - zz当当 历经变程历经变程2,0时时, , 20d)sin,(cos R1 z的的 正方向（逆时针）绕行一周正方向（逆时针）绕行一周. .z z 沿单位圆周沿单位圆周 20d)sin,(cos R2p2px() )yo1 1xyo1( )dzf zz d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd2

18、1,21122 - - 1( )dzf zzz的有理函数的有理函数 , , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 . .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. . .),(Res21 nkkzzfi - - - - - 1|2122d22112zizzpzzpzzI解 由于由于00p p1, 1, 被积函数的分母在被积函数的分母在 内不为零内不为零, , 因而积分是有意义的因而积分是有意义的. . 由于由于例例1 1 计算计算 的值。的值。) 10(dcos212cos202-pppIp20 因此因此2222cos2

19、iieezz- - - - 1|1|24d)(d)(1(21zzzzfzpzpzizz在被积函数的三个极点在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周中只有前两个在圆周| |z|=1|=1内内, , 其中其中z=0 0为二阶极点为二阶极点, , z=p为一阶极点为一阶极点. . - - - )(1(21ddlim)0(Res2420pzpzizzzzfz2222224322021)(2)21)(1(4)(limippzpppzzippzzzzpppzzz - - - - - - - - - - - - 010011Re()lim()( )(1)!mmmzzdsf zzzf zmdz

20、-1( )d2Res().njjlf zzif b,21)0(Res22ippf - - )1(21)(1(21)(lim)(Res22424pipppzpzizzpzpfpz- - - - - - - 222242212)1(21212pppippippiI- - - - - - 因此因此做题步骤做题步骤 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei- - - ,2iz-z-1 )(21cos iiee- - ,21- - zzn将实积分 化为回路上的复积分1( )dzf zz 20d)sin,(cos Rn找新函数f（z）在 单位圆 内的奇点1z 1( )d2Res

21、().njjlf zzif bn由有限远点留数定理 - - 1121)/(zzzizdzp20cos1xdxI1)(0例例2 2 计算计算解：解： xdxI20cos11)(0 1222zzz dzi 有两根有两根 是是)(zf的两个单极点的两个单极点022 zzz2111 - - z2211 - - - ； 课本课本73页例一页例一1)1 (1)1)(1 (11111221-z在圆内在圆内 111111222-z10 在圆外在圆外)(Re1 zsfzzz 21112|)2(1- - - - zz 2111|221- - - - 2121- - 22201212122cos1iixdxI- -

22、 - - 例例3 计算计算).0(sind02 axax解解 - - 00222cos1dsindxaxxax - - 022cos12d21xax,2tx 令令 - - 202cos1d21tatizzzzazd22) 1(112112 - - .1) 12( 2d212 - - zzazzi1) 12(1221- - - - aaz极点为极点为 : d02sin xax.1) 12 (22- - a(在单位圆内在单位圆内)1) 12(1222- - aaz(在单位圆外在单位圆外) ).11212(),(Res222- - - - aazfii若有理函数若有理函数 R(x)的的分母至少比分子

23、高两次分母至少比分子高两次, , 并且并且分母在实轴上无孤立奇点，在上半平面上有有限个孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点，在上半平面上有有限个孤立奇点. .一般设一般设2,)(1111 - - - - -nmbzbzazazzRmmmnnn分析分析可先讨论可先讨论,d)( - -RRxxR最后令最后令 R即可即可 . .xxR - -d)(二、形如二、形如 的积分的积分1、分析：、分析：即即z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，时，zf（z）一致地）一致地0取一条连接区间两端的分段光滑曲线取一条连接区间两端的分段光滑曲线, , 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, , 并

24、使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. . ( (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”) )( (当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , , R(z)=R(x) - -RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) . .1 1）. . 被积函数的转化被积函数的转化: :2 2）. . 积分区域的转化积分区域的转化: :xy0R- -. .R. .这里可补线这里可补线RC( (以原点为中心以原点为中心 , , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周) )RC与与 RR,- -一起构成封闭曲线一起构成

25、封闭曲线C C , , R(z)在在C C及其及其内部内部( (除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析. .取取R适当大适当大, , 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内. .RC:( )d0;RCRf zz 根据留数定理得根据留数定理得 : : - - RCRRizzRxxR1kkzResRdd)(2)()(;0d)(: RCzzRR - - RCRRizzRxxR1kkzResRdd)(2)()(;0d)(: RCzzRR,)( - -dxxR - -RRRdxx)( - -)(2)(kzRiRResdxx2 2

26、、条件与结论：、条件与结论： 01) 1) R(z)在实轴上无奇点在实轴上无奇点; ; 2) 2) R(z) 在上半平面上存在有限个奇点外是解析的在上半平面上存在有限个奇点外是解析的; ; 3) 3) 当当z上半平面和实轴上上半平面和实轴上zf(z)一致地一致地ixxRd2)( - -R(z)在上半平面的留数之和在上半平面的留数之和结论：结论：条件：条件：例例4 计算积分计算积分), 0, 0()()(d22222bababxaxx - -)()(1)(22222bzazzR aizbzaiz )()(1222解解 在在上半平面上半平面有二级极点有二级极点,aiz .biz 一级极点一级极点,

27、)(21222babi- - )(aiResR010011Re( )lim()( )(1)!mmmzzdsf zzzf zmdz-bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab- - - )()(2aiRbiRiResRes .)(2 )2(23bababa - - - - -p p 222222322)(21)(432abbiabiaabi)(biRRes - - )()(22222bxaxxd000Re()lim() ( )zzsf zzzf z- 0)n2x(1dx例例5 5 计算计算(n为正数为正数)解：解：由于由于n为正偶数为正偶数 0)n2x(1dx是偶函数是

28、偶函数,则有则有 - - nnxdx)1(21)202x(1dx211( )(1)() ()nnnR zzzizi-复变函数复变函数 奇点是奇点是z= =i, ,为为n n 阶极点。阶极点。z=i在上半平面在上半平面课本课本75页例页例5 )()()()()(nnn1-n1-niziziz1izdzd1n1limzResR- - - - - )()(limn1n1niziz1dzd1n1 - - - - - 12n2i - - - - - - - - - - )(!122.21nnnnn i21n22n22n1nn1n2 - - - - - - - - - - 21n1)!-n22ni()!(

29、!.i2i21n2 - - - - 21)!-n22n()!( 0)n2x(1dx2n22- - - 21)!-n22n()!(三、形如三、形如 的积分的积分x xy y0R- -. .R. .1、R（x）分母的次）分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, , 同前一型同前一型: : 补线补线RCRC( )dimxR x ex-RC与与 RR,- -曲线曲线C , ,使使R(z)所有的在上半平所有的在上半平kz都包在这积分都包在这积分一起构成封闭一起构成封闭面内的极点面内的极点路线内路线内 .积分存在要求积分存在要求:2、R(z)在实轴上无孤立奇点。在实轴上无孤立奇点。( )

30、dimxR x ex-( )d2Res ()kimzimxkR x exiR zep-在上半平面所有奇点的留数之和在上半平面所有奇点的留数之和( )imzR z e( )( )( )imzfzif zF z ep在上半平面的留数之和在上半平面的留数之和说明：说明：1、有些被积函数可以化为型如三的积分，如：、有些被积函数可以化为型如三的积分，如：0(cosF xmxdx）F(x)-为偶函数为偶函数0011( )( )()22imximxF x edxF x edx xx- -0011( )( )()22imximxF x edxF x edx xx- -0001( )()211( )( )22i

31、mximximximxF xeedxF x eF x edx-1( )2imxF x edx-( )1( )2( )( )imximzfzG x edxif zG z ep-同理：同理： 如果如果G(x)是奇函数是奇函数，有，有00001(x sin( )()211( )( )22imximximximxGmxdxGeedxiG x eG x edxii-）在上半平面的留数之和在上半平面的留数之和0011( )( )()22imximxG x edxG x edx xxii- -2、上两个积分应用留数定理计算时需要满足的条件：、上两个积分应用留数定理计算时需要满足的条件：1）F(x)是偶函数、

32、是偶函数、G(x)奇函数；奇函数；2） F(x)、G(x)函数在实轴上没有奇点；在上半平面上有有限奇点；函数在实轴上没有奇点；在上半平面上有有限奇点；3）当）当 时，时， F(x)、G(x)在实轴上或上半平面一致地趋于在实轴上或上半平面一致地趋于0。x 0( )(x sin( )( )imzfzGmxdxf zG z ep在上半平面的留数之和）0( )(cos( )( )imzfzF xmxdxif zF z ep在上半平面的留数之和）例例7 7 计算积分计算积分 .0, 0,d)(sin0222 amxaxmxx解解 - - xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222

33、2 212d2()imxxexxap-在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点,)()(222imzeazzzf,aiz 又又课本课本78页例页例7aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam- - )(21 .4maeam- -p p p p aieazziimz,)(Res2222xaxmxx0222 )(sin注意注意 以上积分中被积函数中的以上积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点. .222()imxxedxxa-则则0( )(x sin( )( )imzfzGmxdxf zG z ep在上半平面的留数之和）dxaxmx022co

34、s例例8 8 计算计算 解解 - - dxaxmx022cosai2eaizezfaizaisfmaimzaizaiz- - - - lim)()(lim)(Remama022ea2ai2ei221dxaxmx- - - cosaiaiz, 极点为极点为 在上半平面单极点是在上半平面单极点是ai )(课本课本78页例页例6四、实轴上有单极点的情况四、实轴上有单极点的情况1、问题的提出：、问题的提出： 对于类型二、三来说要求对于类型二、三来说要求f(z)在实轴上无奇点，但若在实轴上无奇点，但若f(z)在实轴上有奇点的函数如何积分呢？在实轴上有奇点的函数如何积分呢？从最简单情况讨论，即讨论从最简单

35、情况讨论，即讨论f(z)在实轴上有单极点情况。在实轴上有单极点情况。( )?f x dx-的单极点，则在奇点处挖去半径为的单极点，则在奇点处挖去半径为dxxf-)(a. 想绕过奇点，如对于积分想绕过奇点，如对于积分的半圆。的半圆。若在若在x=a处为处为f(z)2、分析：、分析：( )( )( )( )( )RaRlRaCCfz dzfx dxfx dxfz dzfz dz-b. 积分化为积分化为c. .当当R R,0 时，上式右端一、二项之和为所要的积分。时，上式右端一、二项之和为所要的积分。yCR-RROxa-0lim()0CP za dz-0lim()0RCP za dz-( )( )( )( )( )RaRlRaCCfz dzfx dxfx dxfz dzfz dz-可证明： - -实实轴轴上上上上半半屏屏面面)(Re)(Re)(zsfizsfi2dxxfn实轴上的奇点是单奇点yCR-RROxa-.dsin21dsin0 xxxxxx - - 例例9 9 计算积分计算积分.dsin0 xxx 分析分析 zzsin因因zzsin在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点, 0 z应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点, , 所以可取图示路线所以可取图示路线: :xxsin是偶函数，所以是偶函数，所以 -,某封闭曲线某封闭曲线课本80页例8xyoRCr