高三数学线性规划

1、专 题 六3420()230 (032)351.xyxyxyxyxyxyzxy就是变量 、 满足的一组条件，一般表现为不等式 组 ，如如果约束条件对应的不等式均为一次，则又可称为线性约束条件就是欲求最大值或最小值所涉及的变量 、 的解析式，如果目标函数是关于两个变量、 的一次解析式，则目标函数又可称为线性目标函约束条件：目：数，如标函数34()35()()zxyxy就是在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题如在线性约束条件 下求函数的最大值或最小值问题可行解就是满足线性约束条件 的解 ， ，它是由约束条件构二元线性规划成的集合的一问题：个元素56()由所有可行解组成的区域称为可行

2、域，也是约束条件中各个不等式解集的交集，在坐标系中表现为各个不等式所示的平面区域的公共部分可行域可能是封闭的多边形，也可能是一侧开放的无限大的平面区可域最优解就是使目标函数取得最大值或最小值的可行解，可行解可能只有一个，也有可能有无数个 当一边界所在直线的斜率与线性目标函数对应的直线斜率相等时 ，最优解一般是在边界上或顶点行域：上取得2220210011()416525A. B. C. D.525416xyxyxyyzxy 设 ， 满足约束条件，则的最小值是 例1：考点考点1 求线性约束条件下的非线性目标函数问题求线性约束条件下的非线性目标函数问题1,1所求最小值实质上求平面区域内的点到点的距

3、离的最小值的平方，解答时首先根据约束条件画出平面区域，然后观察点与平面区域的位置关系，进而求得分析：最小值2222221,121| 12 1 1|0(1)(1)12411.5APPxyxyxy 如图所示，由平面区域的形状易知区域内的点到点的最小距离就是点 到直线的距解离，即，即，析：故选 123求非线性目标函数的最值问题主要题型有： 求与平面区域相关的距离最值；求与平面区域相关的斜率最值； 求与指数函数、对数函数为目标函数的最值问题解答时同样要分析非线性目标函数与平面区域的位置关系，进而确定它【思维启迪】们的最值0022011yx yxyxyyux 实数 ， 满足不等式组，求的取变试题值范围1

4、1yx因为表达式与斜率的坐标公式类似，因此可转化为斜率问题分析：来解决()1()11,10,02,21,0111.331PAOPxyyuxyxOABkuk 满足已知不等式组的可行域如图所示，视 ，为坐标平面可行域内的点，则表示动点 ，与定点连线的斜率，由条件求得各交点的坐标，由斜率公式得，所以解析：100%50%30%10%101.8制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多

5、少万元，才能使可能的盈例2：利最大？考点考点2 应用线性规划解决实际问题应用线性规划解决实际问题根据已知的数据建立不等式约束条件和目标函数，然后通过作出平面区域和平行直线确定目标函数分析：的最值100.30.11.8.000.5()xyxyxyxyzxy设投资人分别用 、 万元投资甲、乙两个项目由题意知，目标函数为，上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示含边界，即为解析：可行域000.500.510100.30.11.80.30.11.84.1 40.5 67 ()46466lxylxyzzRMzMxyxyxyxyxzxyyz 作直线 ：，并作平行于直线 的一组直线系，其中有一条直线经过可

6、行域上的点时， 最大，这里点是直线与直线的交点解方程故投资人组，用 万元得此投资时万元所以当，时， 取甲项目，万元投资乙得最大值项目，才1.8能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大()f xymm线性规划在实际应用中较为广泛，利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：根据题意，建立数学模型，作出可行域；设所求的目标函数，；平行移动目标函数对应的直线方程确【思定 的最大维启迪】值或最小值222180 m18 m54015 m35010006008000 某人有楼房一幢，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为，可住游客 名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为

7、，可住游客 名变试题，每名游客每天住宿费元装修大房间每间需要元，装修小房间每间需元如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？20015018151806560100060080005340.0,0, ,0,0, ,xyzzxyxyxyxyxyxyxyx yxyx yZZ设隔出大、小房间分别为 间、 间，收益为 元，则，其中 ， 满解：足：析 20015020 60()770,121,102,93,84,65,5zxyAzxyzz如图所示，由图解法易得过点，时，目标函数 取得最大值但 ，必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数 取得最大值的整点

8、显然目标函数 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值这些整点有：，逐一验证， max0,123,8200 0150 12 200 3 150 8 1800()6,37,18,020011238510 .18002zzxy 可得取整点或时，元，分别代入所以要获得最大收益元，有两种方案：只隔出间隔出注：如果把装修费用考虑在内小房，则间大房间 间，选择第一种小房间 间方案好1,12()12()A1,0 B 0,1 C 0,2 D1,2OAxyM xyxyOA OM 已知 是坐标原点，点，若点，为平面区域上的一个动点，则的取值范围是 备选例题:A MOA OM 利

9、用 、 点的坐标转化数量积为线性目标函数，然后利用求线性目标函数的最值方分析：法求解0minmax.01,11 1 00,20 220,2OA OMxyzxylxyzzzzOA OM 作出可行域，如图所示，设，作 ：，易知过点时 有最小值，；过点时 有最大值，所以的取值范围是解析：解答线性规划交汇问题时必须清楚交汇的是什么知识？是通过什么形式交汇的？然后利用相关的知识将问题转化为线性规划问题，再求线性目标函【思维启迪】数的最值 ()()0,00,11,0“”()1画线 直线定界 ：画出约束条件中对应的直线，注意边界的虚实；定侧 特殊点定侧 ：根据“同侧同号，异侧异号”，常取特殊点、；求 交 半

10、平面定域 ：作各平面区域个不等式所的画法示的半（1）平面区（2）（3）：的公共部分 1322ll作图：即根据约束条件画出可行域及目标函数所表示的平行直线系中的任一条 ；找点：即平移直线 ，确定最优解所对应点的位置；求最值：即将最优解点的坐标代入线性目标函数求出最值由于解答是在图上完成的，所以作图应尽可能的准解答线性规划问确，操作尽可能题的步骤：的规范 ()1234563()xyzf xy解线性规划根据题意，设出变量 、 ；找出线性约束条件；确定线性目标函数， ；画出可行域 即各约束条件所表示区域的公共区域 ；确定最优解，得出应用问答案；题的一回般思扣实路及步骤：际问题 ()“”“1”4“”网格

11、布点法：通过直接作图找出格点 整点，对靠近边界上的点是否符合题义，可直接代入，作出合理的取舍要求尽可能准确地作出网格线和线性区域整点调整法：可行域内的 最优解 不一定是整点， 整点调整法 的思路是：将可行域中与位于 最优解 两侧的靠近边界的整点全部列出求线性规划问题中的，一一代入目标函数整数解，再取主要有两种其中的最优方法（2）整点解5“”解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图必须尽可能的准确，图上操作尽可能的规范若图上的最优点并不明显易分辨时，可将几个最有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查， 验明正身23 A17 1.(201B 14 C 5 ) D 31xyzxy若变量 ， 满足约束条件，则的最小全国大纲值为卷632111235.xyxyxxyzxy 约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当，时，目标函数有解最小值为析： 1219810767224501350 A 4650 2.(20 11)Az 某运输公司有名驾驶员和名工人，有 辆载重量为吨的甲型卡车和 辆载重量为 吨的乙型卡车某天需运往 地至少吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配 名工人，运送一次可得利润元；派用的每辆乙型卡车需配 名工人，运送一次可得利润元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为元四川卷 B 4700C 4900D 5000元元 元12219.