SECTION2一阶微分方程Word版

1、2 一阶微分方程一、一阶微分方程解的存在和唯一性 一阶微分方程的一般形式是 如果在所考虑的区域上，那末根据隐函数存在定理（第五章 3，四，2），解出得或者写成对称形式 解的存在和唯一性定理 给定微分方程及初始值. 设在闭区域：上连续，那末方程至少存在一个解，它在处取值，同时在包含的某一区间上确定且连续（此定理称为柯西存在定理）. 如果在内对变数还满足李普希茨条件，即存在正数，使得对于内的任意两值 和 ，下面不等式成立：那末这个解还是唯一的.二、可积类型及其通解 （表中c为任意常数）方 程 类 型解法要点与通解表达式 1变量可分离方程 f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy=0 分

2、离变量，两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分. 2. 齐次方程 一般假设则变量可分离，属类型1 令代入原方程，得新未知函数u关于自变量x的方程： xdu = F(u) udx再按类型1求解.2 / 12 3线性方程方 程 类 型 先求出所对应的齐次线性方程 解法要点与通解表达式 当q(x) 0, 称为齐次线性方程，当, 称为非齐次线性方程的通解 再利用常数变易法(本章3,二,2),令算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得4伯努利方程 利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程，再按类型3求解.5全（恰当）微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0式中M，N满足方程可写成 M(x

3、,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)=0式中dU是全（恰当）微分.6可将y解出的方程 y=F(x,p)式中 把方程两边对x求导数，得或 如果能求出此方程的通解或, 那末原方程可解.拉格朗日方程 y = xf1(p) + f2(p)式中是已知可微函数克莱罗方程 y = xp+F(p)式中是已知可微函数方 程 类 型 可化为x的线性方程 再按类型3求解 化为方程令, 即p =c，代入原方程.解法要点与通解表达式 (见2,三)7.可将x解出的方程 x = F(y, p)式中 方程两边对x求导数,利用如果可求出这个方程的通解 那末原方程可解.8.不显含未知函数的方程 引入适当参数t，化原方程为

4、9.不显含自变量的方程 引入参数t，化原方程为10能化为变量可分离或齐次方程的方程方 程 类 型（a）令z = ax + by + c，化原方程为类型1（b）若行列式引进新变量式中,满足方程组解法要点与通解表达式则原方程化成齐次方程(类型2):若=0, b10, 则令z = a1x + b1 y + c1 ；若=0, b20, 则令z = a2x + b2 y + c2,于是原方程化为类型1.11.黎卡提方程 如果已知原方程有一个特解y=y1(x), 作变换可把原方程化为线性方程(类型3)：或用变换y = y1(x) + u 化为伯努利方程(类型4):再分别按类型3和类型4求解.12. 含积分

5、因子的方程M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0式中但存在(x, y)满足(x, y)称为原方程的积分因子找出积分因子(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表.找积分因子的方法条 件积分因子(x, y)条 件积分因子(x, y)xM+yN=0xM+yN0条 件积分因子(x, y)条 件形为 m(x)n(y)积分因子(x, y)M,N是同次的齐次式M(x, y) = yM1 (xy)N(x, y) = xN1(xy) 存在适合的常数m和n(用比较系数法确定)即M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数 xmyn 三、奇解及其求法 微分方程的奇解 微分

6、方程的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线，即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的. c-判别曲线法 设一阶微分方程的通解为，其中c是任意常数，把c看成参数.从下面方程组中消去c而得到的所有曲线，都称为曲线族的c-判别曲线，其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验. 例 求一阶微分方程的通解和奇解. 解 把方程写成令y=p.方程两边对p求导，得于是有即代入原方程，得通解从中消去c，得c-判别曲线y=x和.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解，所以不是奇解，而是奇解. p-判别曲线法 对于一阶微分方程，令，那末方程的奇解一定包含在下面方程组消去p 后得到的曲线（称为p -判别曲线）中.至于p -判别曲线是否是奇解，也需要实际检验.