糖水浓度与数学发现的系列活动课

1、“糖水浓度与数学发现”的系列活动课文惠州人教师：同学们，今天我们来上一节甜甜的活动课请看，这里摆着一缸清水、一瓶红糖，还有大大小小的一批玻璃杯当我将红糖放入水中时，就得出糖水糖水有浓度，计算公式为浓度溶质溶液下面，我们以糖水浓度的生活常识为背景，设计了5个活动，组成一个由浅入深、由表及里、由现象到本质、由猜想到论证的系列希望大家在理解每个设计的思维情境的基础上，进行大胆的数学探索，并从整体上去领悟和积累数学活动的经验1活动1等比定理的发现（教师把糖放进一个大玻璃杯内，添上水得出一大杯糖水，然后随意分倒在3个小杯中，记每一杯糖水的浓度为、，这里、（1，2，3）为正数）（点评：为方便学生思考，先做

2、了些数据的准备，以降低难度）教师：我这3小杯糖水的浓度有什么关系?学生（众）：相等教师：对，应有     现在，我把这3小杯糖水全都倒进一个空的大玻璃杯中，那么，混合后的糖水浓度与原先3小杯糖水的浓度有什么关系?学生（众）：相等教师：对，是相等我们把大杯倒成小杯又合成大杯，好像是重复或循环，其实这里有数学道理大家能根据这一显而易见的生活常识，提炼出一个数学命题吗?（点评：思维情境的创设已经完成，学生思维的闸门也已打开）学生1：混合后的糖水浓度为（）（）     它与原先的3小杯糖水浓度相等，故有等式（）（）   &

3、#160; 这就是等比定理：若则教师：很好，从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，之间有质的区别把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗?不是！但舍去了糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等比定理，这就成为数学了现在我问，作为“糖水情境”中的、与作为“等比定理”的、有区别吗?（点评：完成从模型到模式的过渡后，立即对模式作深化认识）学生2：“糖水情境”中的、只能为正数，并且0而作为“等比定理”的、不需要这么多的限制，有就够了教师：是的，“等比定理”中的、既允许，又允许取负数而在范围扩大的同时也增加了一

4、个新风险：分母为零这是我们在使用等比定理时要特别注意的问题（参见练习1第2题）对于学生1的回答，我还有一个问题要弄清，你为什么说式是混合后糖水的浓度（点评：对粗糙的模型提炼作更精细的思考）学生1：因为是3杯糖水中糖的总和，是3杯糖水的总和，据浓度公式可得出式教师：理由说完了?还有补充吗?其他同学还有补充吗?学生3：不一定是糖的总和教师：为什么?学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如21克糖水中有6克糖，其浓度可约分为27教师：如此说来，当浓度没有约分时，式表示了混合糖水的浓度，那么，有约分时，式还是浓度值吗?学生4：还是!教师：为什么?此时已经不是糖的总和，也不是糖水的总和了

5、学生4：虽然此时式不是浓度定义的直接列式，但在数值上与定义式相等原因是，我们有等比定理作理论依据教师：非常好这样我们就经历了两个相辅相成的阶段：首先由直观情境提炼出数学结论，然后，又用数学结论去解释客观事实现在我还要问，根据上面的讨论，你能对式作出一些补充，从而导致新的数学发现吗?（点评：继续对粗糙的模型提炼作发散性的思考）学生5：若设3小杯糖水的浓度分别约去了、，则可得混合后的浓度为（）（）     从而有命题：若0，0，且，则（）（）     学生6：若设3小杯糖水的质量分别为、，则可得混合后的浓度为（）（）（）（）  

6、   从而有命题：若0，0，且，则（1（）（）（）（）     教师：这样，我们通过3杯浓度相等的糖水，认识了等比定理的各种形式下来还有两个问题需要明白，其一，杯数可以任意增加；其二，如何给出严格的证明（回去再做，留作练习）（点评：巩固性的练习不太难，留做课后作业）练习11已知0，且，那么（1）当0时，有；（2）当0时，有；（3）当0时，有2已知、为互不相等的实数，且（）（）（）求（参见文1例1，文2例1）2活动2真分数不等式的发现教师：在幼儿园的时候我们就知道，给糖水加糖能使糖水变甜，给菜汤添盐能使菜汤变咸请大家把这一生活常识用数学式表达出来

7、（点评：此处，没有像活动1那样先做数据准备，意在提高要求）（教师环顾大家，首先挑选面露难色的同学，问主要困难是什么）学生7：我的困难是不知从什么地方下手既没有数字又没有字母，我拿什么去列式呢?教师：哦，“无米之炊”，那我们就找米下锅比如说，解应用题列方程式时，未知数肯定没有具体数据，那时你是怎么办的?学生7：用字母表示数，设为教师：那“糖水加糖更甜了”，你能不能也用字母来表示？学生7：设原来的糖水浓度为，加糖后的浓度为，则有    教师：对!问题的本质是一个不等式，这一点，你抓住了不足的是，式没有直接反映“浓度”与“加糖”你能不能更具体地表示出“原浓度”、“加糖后

8、的浓度”以及两个浓度间的关系，使人一看这个“没有任何汉字”的“符号”不等式，就能领会“糖水加糖更甜了”？学生7：我设克糖水里有克糖，则；加糖后的糖水更甜了，就存在0，使（）    教师：这里的表示什么?学生7：表示加糖了教师：是表示糖的质量吗?浓度与质量能够相加吗!学生7：不是增添的糖的质量，它是加糖后所引起的浓度增加量教师：那式只表示了浓度增加则糖水就更甜，还没有把浓度增加的原因添糖反映出来换句话说，当时，如何表示?学生7：我明白了，（）（），其中0为所添糖的质量由此得不等式：对0，0，有（）（）    （10）（点评：这是师生互动

9、，进行数学再发现的一个模拟下面是进一步的开放性思考，这些思考受到了活动1的启发）学生8：我更一般地考虑糖水的浓度经过了约分，因而加糖克后的浓度为（）（），由此得不等式：对0，0，0，有（）（）    （11）当1时，回到（10）式学生9：我也考虑到浓度值可能会有约分，因而设糖水的质量为，添加质量为的糖后浓度为（）（），由此得不等式：对0，0，0，有（）（）     （12）当时，回到（10）式教师：我们一口气得出了3个不等式，这是一个从具体模型到抽象模式的提炼过程，同时，也是一个根据自身知识经验主动建构的过程在我们的对话中，事实上已经

10、经历了一个“三层次解决”的思维过程第一层次，将实际问题转化为一个不等式问题：明确了这一点，就明确了问题解决的方向这是策略水平的解决第二层次，根据浓度的定义，具体表示出、来明确了这一点，就明确了问题解决的方法这是方法水平的解决第三层次，用字母表示数，得出具体的不等式，又可以细致地分为3步（以（10）式为例）：（1）用字母、表示相应的量；（2）根据浓度的定义，写出加糖前后的浓度，（）（）（3）将“更甜了”表示为不等式（）（）；在构建不等式（10）或（11）、（12）的过程中，明显借助于如下的知识：（1）浓度的定义；（2）用字母表示数的知识；（3）不等式的知识；（4）从“活动1”中获得的数学活动经验

11、也可以说，不等式（10）、（11）、（12）是在上述知识经验基础上的主动建构由于各人知识经验上的差异，因而建构出来的结果也略有不同；到具体证明时，思路就更加发散了（有分析法、作差法、放缩法、定比分点法、斜率法等不下10余种）（点评：对数学学习的思维过程进行了一种理论性的小结至于不等式（10）的证明，则留给活动3去作更多的体现事实上，（10）也就是（）（）练习21设是由正数组成的等比数列，是其前项的和，证明（）2（1995年数学高考文科题）（参见文3206例433）2已知数列是等差数列，1，145（1）求数列的通项；（2）设数列的通项（1（1）（其中0，且1），记是数列的前项的和，试比较与（13

12、）的大小，并证明你的结论（1998年数学高考理科题）（参见文4）3活动3中间不等式的发散思考教师：我这里有两杯浓度不同的糖水，一杯较淡、一杯较浓将这两杯糖水混合到第三只杯里后，所得的糖水浓度，一定比淡的浓，而又比浓的淡请根据这一生活常识写出相应的数学命题，越多越好为了叙述上的方便，我们记较淡的糖水浓度为，较浓的糖水浓度为，其中、均为正数（点评：学生在活动2中已经历了数据准备的锻炼，此处提前给出主要是为了讨论用语的统一）学生10：由刚才的假设我可以认为，在克糖水中有克糖，在克的糖水中有克糖，混合之后，得克糖水中有克糖，故得不等式（）（）    （13）学生11：我觉

13、得所假设的糖水浓度值完全有约分的可能，更一般地应是在克糖水中有克糖，在克糖水中有克糖，混合之后，得克糖水中有克糖，故得不等式（）（）     （14）当时，便是（13）式学生12：不管所假设的糖水浓度值是否经过了约分，我设糖水的质量分别为、时，混合后糖水中的糖均为（）（），从而混合后的糖水浓度为（）（）（），故得不等式（）（）（）     （15）其中（13）是，时的特例学生13：由（15）式可以看到，中间的浓度式实质上是定比分点公式，因此可以改写为（）（）（1）   （0）     （16）我

14、还觉得，（15）虽然表达上比（13）、（14）复杂，但它的好处是，既给出了不等式，又证明了不等式学生14：我还可以把（16）改写为（1）（）·（）（1）0）    （17）但我并不认为（13）就比（16）隐晦，作一步变形，有（）（）（）（）·（）（1（），这表明（）（）内分与为定比0故有（13）式成立学生15：我认为，不作变形也能直观而简捷地说明（13）式成立取点（，），（，），（，），则是以、为邻边的平行四边形的对角线，的斜率就在、的斜率之间，这就是（13）式（点评：如果说从（13）到（17）有某种逻辑联系的话，那么“斜率”的新认识则体现了更

15、多的突破）教师：同学们的讨论令我非常感动大家不仅对“糖水情境”进行了发散性的思考，而且对所获得的结果进行了数形结合的证明这使我们经历了“实验观察直觉猜想逻辑论证”的过程，这是一个数学探究的基本过程需要指出的是，在“糖水情境”中，要求、均为正数，也有01的限制而由下面的推导可以看到，有0，0，便可保证（13）成立设有  ，（用到0）（用到0）相加，（）（），得  （）（）（用到0）（点评：作为后续话题，活动5将讨论（）（）与（12）（）（）的大小关系）练习31求满足下列条件的最小正整数：对于存在正整数，使815（）713成立（参见文5例1）2二次函数（）的图象经过点（1，0）

16、是否存在常数、使不等式（）（1）2对一切实数都成立?若存在，求出、；若不存在，说明理由3设二次函数（）（0），方程（）0的两个根、满足01当（0，）时，证明（）（1997年高考理科第（24）题第（1）问）（参见文2例4）4活动4直觉的风险教师：我这里有4杯糖水，第1杯的浓度为，第2杯的浓度为，第3杯的浓度为，第4杯的浓度为已知，    （18）现将第1、3杯混合到甲杯里，将第2、4杯混合到乙杯里试问：甲杯的浓度大还是乙杯的浓度大?学生（众）：甲杯大（点评：这是意料之中的回答，也是教师有意设置的陷阱，以引发探索与发现的悬念和动机）教师：为什么?请举手回答学生16：因

17、为第1、3杯都是浓的，所以混合之后还浓；而第2、4杯都是淡的，所以混合之后还淡教师：你说的是不是将（18）式两边相加，得（）（）（）（）学生16：这?这?这不是混合后的浓度式教师：那么，混合后的浓度应该是什么?学生16：应该是（）（）与（）（），从而有不等式（）（）（）（）    （19）教师：你能由（18）推出（19）吗?同学们都来想办法，如何由（18）推出（19）（点评：教师在引导学生，学会数学地提出问题）（18）式等价于0，且0；而（19）式等价于（）（）（）0，学生经过一段时间的演算，不能获得证明）学生17：好像还缺点条件，如果再加上，就可以证出来教师：条

18、件是不能再添了需要考虑的是，问题到底属于不会证还是不能证学生18：如果浓度用百分数表示，比如说（18）中各分母都是100，那（19）是成立的学生19：我代入数值发现这里有问题假设第1杯里有糖水100克、糖23克，第2杯里有糖水120克、糖27克，有浓度不等式2310027120又设第3杯里有糖水100克、糖155克，第4杯里有糖水80克、糖12克，有浓度不等式1551001280但是（23155）（100100）38520039200（2712）（12080）可见，命题（）（）（）（）     （20）是个假命题（点评：“正面肯定”有困难时，可转而考虑“反面否定”

19、此处反例的寻找需要创造性，但不惟一）教师：当我们由直觉得出一个猜想时，面临着两种前途证实或证伪证实就是由已知真命题出发，经过一步步严格的逻辑论证，得出猜想成立；而要证伪，举一个反例就够了学生19的反例说明由（18）推（19）是假命题，这同时也说明，直觉是有风险的练习41某校初中三年级有4个班，甲班60人，乙班50人，丙班40人，丁班50人黄老师教甲、丙班代数，李老师教乙、丁班代数期末考试统计出4个班的代数及格率为：甲班90%，乙班92%，丙班60%，丁班62%问：两个教师谁所带的学生及格率高?（参见文628例14）2有这样一个故事，请你判断真的会发生吗?有一信息调查员，受托到三所学校初中三年级

20、去调查学生订阅数学学习报的情况，得出的结果是，三所学校男生订报的比例都比女生订报的比例高，于是他向领导汇报说：据三所学校的调查数据看，男生订报的比例比女生大领导令其将各校的男女生人数报上来，计算得出相反的结论：女生订报的比例比男生大（比如：甲校有150个男生、60人订报，有120个女生，46人订报；乙校有80个男生、50人订报，有100个女生、60人订报；丙校有120个男生、70人订报，有140个女生、80人订报）3公比不同的两个等比数列之和不是等比数列（参阅2000年高考第（20）题）5活动5数学新发现的研究教师：在活动3中我们将两杯浓淡不同的糖水混合到一起之后，得出的糖水比浓的淡又比淡的浓

21、，即有不等式：、为正数，若，则（）（）现在的新问题是：混合浓度（）（）与平均浓度（12）（）（）有一种什么样的大小关系?换句话说，在以点、为端点的线段内，取一点（）（），那么这个点在线段中点的左方还是右方?（点评：与以上4个活动情境不同，此处的直观不明显）学生20：这个问题的结论好像不太好说，会不会与浓度的具体取值有关?学生21：我估计还与溶液的质量有关若将、记为质点在数轴上的坐标，而质点的质量为、，则（）（）（）·（）·）（）     （21）这正是质点的质心直观上看，在的前提下，当时，质心在中点的右方；当时，质心在中点的左方这从（15）式也

22、可以看出来，当时，（）（）（12）（）（）当时，两式不相等（点评：（21）式又使不明显的直观明显了，因为着眼点作了转移）教师：大家对题意的初步理解表明，这是一个探索性的命题现在请奇数行的同学向后转，4个人一小组展开讨论（点评：问题的难度和发散度都比较大，教师在组织合作学习）学生22：我们小组用特值探索法发现，确如学生21所说，（12）（）（）与（）（）之间可大可小可相等，比如在113012的前提下：（1）取11，30，1，2时，有（12）（）（）133038（）（）；（2）取11，30，15，30，有（12）（）（）1330（1115）（3030）（）（）；（3）取11，30，16，32，有（

23、12）（）（）13301431（）（）在这3种情况下是等值的，1215301632，但结论却是不同的，我们感到非常有趣，不知大家是否有同样的惊讶与迷惑（点评：数据的选择用心良苦，应能激发兴趣与好奇）学生23：我们小组用作差比较法作差：（12）（）（）（）（）（）2）（2）（）（）2（）（）（）2（）（）2（）（）（）因为已知条件保证了（）0，（）（）0，所以，有3种结论：（1）当时，（12）（）（）（）（）；     （22）（2）当时，（12）（）（）（）（）；     （23）（3）当时，（12）（）（）（）（）  &#

24、160;  （24）（点评：这个方法非常成功，问题也解决得很完整）学生24：我们小组使用分析法来寻找结论成立的充分条件，假设（12）（）（）（）（）去分母、化简，只需（）（）0因为，故只需同理可得（12）（）（）（）（）的充分条件是；而（12）（）（）（）（）的充分条件是（点评：与作差法在运算上差别不大，但不如作差法紧凑）教师：3个小组分别运用不同的思考方法进行了成功的探索一开始，我们对糖水情境的结论很模糊，学生21的物理揭示提供了一个导向，学生22的验证强化了这个导向，学生23、学生24则进入到理性思考的阶段，并最终获得正确的结论这就是我们数学小发现的全过程，当中还有许多情感体验：困惑、惊讶和喜悦等等当然，这个发现过程并没有完