利用基本图形解决圆的几个问题

1、利用基本图形解决圆的几个问题松岙镇初中 孙林岳 内容提要：初中数学的知初识内容中，圆的基本性质、圆与直线的位置关系，圆与圆的位置关系及其这几个方面知识结合三角函数、相似三角形、函数等知识应用是重点也是难点。下面就对本人在教学实践中所得到的经验给予总结。初中圆知识的复习基本可以分为四块：1、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。2、答案不唯一性的讨论。3、变化中寻找不变的量或关系。4、圆在综合题中的应用。以上这四块知识应该分块系统地进行复习，并且在复习中注意题目的演变和应用。再配合相应的练习，效果应该会更加的好。关键词：圆 基本图形 不唯一性 变化正文 初中数学的知识内容中，圆的基本性质、圆与直线

2、的位置关系，圆与圆的位置关系及其这几个方面知识结合三角函数、相似三角形、函数等知识应用是重点也是难点。特别是九年级的数学教师，考虑最多的肯定是如何系统有效地复习这部分知识。下面就对本人在教学实践中所得到的经验给予总结。初中圆知识的复习基本可以分为四块：1、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。2、答案不唯一性的讨论。3、变化中寻找不变的量或关系。4、圆在综合题中的应用。 一、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。 圆的基本知识主要可以分为：关于圆的定理，圆与点、线、其他圆位置关系两大块。 关于圆的基本定理可以从圆的两个主要性质中得到。1、圆的轴对称性对称轴为直径所在的直线。根据这个性质可以方便的得

3、到垂径定理。2、圆的旋转不变性圆以圆心为旋转中心旋转任意角度能和原来的圆重合。由这个性质也可以容易的得到圆心角定理。再由圆心角定理推出圆周角定理。关于这几个定理的叙述和证明同学们都应该已经熟练地掌握。 圆与点、线、其他圆位置关系。这三种位置关系的关键就是分别讨论点与圆心之间的距离和半径的比较、圆心与直线的距离和半径的比较、圆心和圆心之间的圆心距和两圆半径关系的比较。结合在一起复习，就有对比性，学生容易掌握。（一）ABPO（二）ABPCO（四）ABDPC（五）CBPDA（六）EAOPF（三） 圆的基本图形主要就是对上面几个性质常规的应用，能够在一些复杂的图形中分析并找到经常应用的几个常规图形对于

4、学生解题思路的形成和解题的速度都有很大的帮助。关于圆的基本图形有很多，下面几个图是我个人认为比较重要的。 上组图是单圆系列图。图（一）是典型的垂径定理应用的图，都应该非常熟练的掌握。后面五个图是一个系列的问题，可以用一个系统的方法来记忆。图（二），从圆外一点P做O的两条切线PA、PB，易证PAOPBO，从而得到PA=PB。而当PB这条线以P为旋转中心向圆内旋转与圆有两个交点时可变为图（三），图（四）这两个图形，图（三）中，因为PAO=EAF=Rt，可证GHPEFOAPAF=OAE=OEA，所以PAFPEA，可得PA×PA=PF×PE。图（四）也可以证明PACPBA，证明的过

5、程可借助图（三）这个特殊情况，如图所示，根据上面图（三）的结论已知PAF=E，又因为E=H，所以GAF=H，所以GAFGHA，所以GA×GA=GF×GH，即在图（四）中有结论PA×PA=PC×PB。再当图（四）中的PA这条线也以P为旋转中心往圆内旋转与圆有两个交点时，就变成了图（五）这个基本图形，从图中信息不难得到PBC=PDA，PAC=PDB，PCA=PBD，于是可证PBCPDA、PACPDB，根据任意一对三角形相似都可以得到PA×PB=PC×PD。图（六）则是圆外点P跑到圆内时引出的两条弦，只要连接AC、BD，易的APCDPB，从

6、而可得PA×PB=PC×PD。经过上述这样系统的讲解后相信大多数学生对以上的几个基本图形中存在的量之间的关系都能有所掌握。单圆系列图还有下面这两个比较重要的基本图形，相对来说比较容易，不做详细的介绍。COAPBBCAPOO1O2ABPABCDO1O2ABEFO1O2ABCDEFO1O2ABCDEFO2O1O2O1ABP（七）（九）（八）（十）（十一）（十三）（十二） 下组图为双圆系列图：O2O1ABPCDABPO1O2DC 图(七)是两个圆结合在一起比较常用的一个图形,这样的辅助线添法也可以在两圆外切,相交时使用.后面6个图也是一组系列图,可以系统的给学生讲授.图(八)是两

7、个圆外切时候,过切点P做一条直线分别交两个圆于A,B.如图连接圆心和两条半径后,容易得到AO1PBO2P,于是可知AP:BP=R1:R2.同理可证图(九)中当两圆内切时,APO1BPO2,同样有AP:BP=R1:R2.这两个图延伸后可以变成下面两个图,根据上面的结论容易得到APCBPD,AC/BD.而当两圆相交时,如图(十),有公共弦AB,过B做任意直线交两圆于C,D.再连接AC,AD.也有同样的结论AC:AD=R1:R2.该结论的证明可以借助图(十一)这个特殊情况.EF垂直AB于点B时,容易得到AE,AF都为直径,于是也有AE:AF=R1:R2.把图(十)和图(十一)结合在一起可得图(十二)

8、,从图中,根据圆周角定理可知EBC=EAC=DBF=DAF.再连接EC,DF后如图(十三),因为AE,AF都为直径,所以ACE=ADF=Rt,可以推出ACEADF,于是有AC:AD=AE:AF=R1:R2.通过以上的讲解,大家不难发现当两个圆位置变化的过程中,有些量之间的关系始终都没有发生变化,能够从变化的过程中发现不变的量或关系,这也是学生需要掌握的一项重要能力. 以上两组图形的熟练掌握,并能在实际解题中善于发现这些基本图形,对学生解题思路的形成和解题速度都有很大的帮助. 二、答案不唯一性的讨论。 在初中圆的知识中,学生比较容易犯错的还有就是碰到有两个或两个以上答案时,很多学生经常考虑的不够

9、全面,导致犯错.下面我就对一些经常可能出现多个答案的知识点进行小结.BCDAOP 在一个圆中,大家知道一段弧所对的弦只有一条,但一条弦所对弧却有两段,并且这两段弧组成这个圆.如图,已知劣弧AB所对的圆心角AOB=120度,则这条弧所对的圆周角度数为60度,只有一个答案.若已知弦AB所对的圆心角AOB=120度,则弦AB所对的圆周角为60度或120度,有两个答案.此题还可以这样问,若已知弦AB=8,圆半径R=5,求这条弦的中点到它所对弧中点的距离,则也应该有两个答案,2或8. 在圆与圆的位置关系中,若两圆没有交点,则有外离和内含两种情况.若两圆有交点,则有相切和相交两种情况.其中需要注意的是相切

10、有外切和内切之分.这也是比较容易考到的知识点.如,若已知相切两圆的圆心距为2,其中一个圆的半径为5,求另一个圆的半径.此题首先应该明白相切有外切和内切两种,但根据已知数据可知只能是内切关系,内切两圆圆心距为大圆半径减去小圆半径,但已知条件中只告诉大家一个圆的半径为5,并不知道这个是大圆还是小圆,所以答案有两个,为7或3.我们也可以讨论一下两个圆移动的问题,如图,已知小圆半径为2,大圆半径为5,此时的圆心距为9,当小圆沿连心线向右移动多少距离时,两圆相切?此类问题我们可以动起来,如图所示可知有四个答案,为2或6或12或16.AO2 O1BABO1O2PP 两个圆相交的问题也比较容易考到.若已知相

11、交两圆的公共弦AB=2,大圆半径为5,小圆半径为3,求此时两圆的圆心距为多少?这个问题应该让学生明白,虽然是两圆相交,公共弦确定,但相交情况也有两种,如图所示.这样就很容易可以根据勾股定理计算出O1P,O2P的长度,所以最后答案有两个,O1P+O2P或O1P-O2P.AABP3P4P1P2B 现在我们再来看三个作图问题.第一题,如图所示,圆中有一条弦AB,请在圆上找到一个点P,使ABP为等腰三角形.此题需要注意的是AB可以为腰也可以为底,讨论应该详细.以AB为底时,只要作出垂直AB的直径,该直径与圆的两个交点既是所求的点.可知ABP1和ABP2都是以AB为底的等腰三角形.若AB为腰,则需考虑A

12、,B哪个是顶点.如A为顶点,只要以A为圆心,AB为半径做弧交圆于一点,此点就是所求的点.可知ABP3为等腰三角形.同理可得BAP4也是以AB为腰的等腰三角形.所以有四个.第二题BAmAB已知线段AB=4,请在纸上按要求作出圆,有几个做几个,没有说明理由.(1)半径为3的圆;(2)半径为2的圆;(3)半径为1.5的圆.首先我们知道,如果可以作出同时过点A,B的圆,则圆心肯定在AB的中垂线m上.(1)圆的半径为3时,可知此圆的直径为6,比AB大,所以可以对称的作出两个圆,如图.(2)当圆的半径为2时,可知圆的直径为4,正好等于AB,所以直接以AB为直径作圆就可以.(3)若BAOABPO圆的半径为1

13、.5,则圆的直径为3,小于弦AB,所以不可能作出同时过AB的圆.3第三题,已知圆O的半径为1,圆上有一点为P,过P做2弦AP= ,BP= ,求APB的度数.很清楚的可以知道这两条弦相对位置关系有两种,如图所示.经计算可以知道APO=30度,BPO=45度,所以APB=75度或15度. 以上这几种答案不唯一的情况相信学生都有所接触.关键是要让学生明白考虑问题应该周到详全. 三、变化中寻找不变的量或关系。ACBPMO 变化一般是指图形中一个点或者一部分图形按照一定的规律在移动.解这一类题的关键是能够在变的过程中寻找发现一些不变的量或者关系,并应用这些量或关系来解决问题.在第一部分的前后两大组基本图

14、形中,大家也应该已经发现了这一个规律.下面我们再来看一个问题. 如图,已知点P是圆O中直径BC延长线上的一个动点,过P做圆O的切线PA切圆O于点A,连接AB,作APB的角平分线PM交AB于点M.问在点P往BC的延长线移动的过程中,AMP是否发生变化,若变化说明理由,若不变,请计算AMP的值.分析:无论P点在什么位置,PA永远与圆O相切,切点为A,所以可以连接AO,可知OAP=90度.因为BO=PO=R,PM为APB的角平分线,所以OBA=OAB,APM=BPM.又因为AOP=OBA+OAB=2OBA,AMP=OBA+MPB,AOP+APB=90度,所以AMP=45度.在P的移动过程中,这个关系

15、始终成立.所以AMP不会变,永远为45度. 诸如上题的题目也比较多,同学们拿到题只要不要被变化所吓倒,认真分析思考,寻找到一些不变的量或关系,此类题就可以引刃而解. 四、圆在综合题中的应用 圆的知识在综合题中的应用,就是要利用圆的性质规律,结合三角函数,相似三角形,函数等知识来解决综合性比较高的一些问题.下面可以看个例子. 如图所示,有一正方形ABCD,和一直径为BC的圆.BC=2cm,现在有两点E,F分别从点B,点A同时出发,点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动.设点E离开点B的时间为t s.求(1) 当t为何值时,EF/BC?(2)

16、设t大于1小于2,当t 为何值时,EF与圆相切?DAFECB(3) 当t 大于等于1小于2时,设EF与AC相交于点P,问点E,F运动时,点P的位置是否发生变化?若变化说明理由?若不变,求AP:CP的值.分析:(1)EF/BC要成立,根据题目意思,点F肯定在DC段.画出E1F1/BC如备用图一所示.可知BE1=t,CF1=4-2t.因为四边形E1BCF1为矩形,所以BE1=CF1.所以t =4-2t.解得t=4/3. (2)若E2F2切圆于点M,如备用图二所示,则根据上面的基本图形图（二）可知NMDAF2E2CBP备用二F1DAE1CB备用一BE2=ME2=t ,CF2=MF2=4-2t.过F2作AB的垂线段交AB于点N,可知NF2=BC=2cm,NE2=BE2-CF2=3t-4.E2F2=E2M+F2M=