新课标创新人教A数学必修 一元二次不等式及其解法

1、第1课时一元二次不等式的解法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P76P78，回答下列问题：(1)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费标准为：用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元，若用户一次上网时间不超过17小时，请问：假设一次上网x小时(0<x17，xN*)，两公司收取的费用各是多少？提示：公司A收取的费用为1.5x(元)，公司B收取的费用为1.71.61.7(x1)×0.1(元)一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费

2、用？提示：选择公司A的上网费用少，即1.5x，整理得x25x0，只要求得满足x25x0的解集，就得到了问题的答案在中得到的不等式x25x0是一个关于x的一元二次不等式，那么一元二次不等式有什么特点？提示：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2.(2)画出二次函数yx25x的图象，如图所示，思考下列问题：不等式x25x0的解集是什么？不等式x25x>0的解集是什么？提示：(1)x|0x5；(2)x|x>5或x<0(3)根据上述问题，你认为怎样确定一元二次不等式ax2bxc>0与ax2bxc<0(a>0)的解集呢？提示：可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系

3、，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集2归纳总结，核心必记(1)一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(2)二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系b24ac>00<0yax2bxc(a>0)的图象ax2bxc0(a>0)的根x1，x2x0没有实数根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x>x2或x<x1Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x2问题思考(1)若ax2bxc0，a0恒成立(或解集为R)，则a、b、c满足的条

4、件是什么？提示：借助函数f(x)ax2bxc的图象可知，条件为b24ac0，且a>0(2)一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)的解集，就是二次函数yax2bxc(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合ax2bxc<0(a>0)的解集，就是二次函数yax2bxc(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点1一元二次不等式的定义是：；2二次函数、二次方程、二次不等式之间有什么关系？思考1当a>0时，若方程ax2bxc0有两个不等实根，且<，则不等式a

5、x2bxc>0的解集是什么？名师指津：借助函数f(x)ax2bxc的图象可知，不等式的解集为x|x<或x>思考2若思考1中的a<0，则不等式ax2bxc>0的解集是什么？名师指津：解集为x|<x<思考3若一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac<0，则ax2bxc>0的解集是什么？名师指津：当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为.讲一讲1解下列不等式：(链接教材P78例1、例2)(1)2x27x3>0；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x5>0；(5)2x23x2<0.

6、尝试解答(1)因为724×2×325>0，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(3)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x10<0，(6)2404<0，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x2>0，因为94×2×27<0，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x2

7、3x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并练一练1解下列不等式：(1)x25x6>0；(2)x27x>6；(3)(2x)(x3)<0；(4)4(2x22x1)>x(4x)解：(1)x25x60的两根为x11，x26.结合二次函数yx25x6的图象知，原不等式的解集为x|x<1或x>6(2)原不等式可化为x27x6<0.解方程x27x60得，x11，x26.结合二次函数yx27x6的图象知，原不等式的解集为x|1<x<6(3)原不等式可化为(

8、x2)(x3)>0.方程(x2)(x3)0两根为2和3.结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为x|x<3或x>2(4)由原不等式得8x28x4>4xx2.原不等式等价于9x212x4>0.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图象知，原不等式的解集为.讲一讲1解关于x的不等式：ax2(a1)x1<0(aR)尝试解答原不等式可化为：(ax1)(x1)<0，当a0时，x<1；当a>0时，(x1)<0.<x<1；当a1时，x1；当1<a<0时，(x1)>0，x>

9、;或x<1；当a<1时，<1，x>1或x<，综上所述，原不等式的解集是：当a0时，x|x<1；当a>0时，；当a1时，x|x1；当1<a<0时，.当a<1时，.解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集练一练2解关于x的不等式x2(1a)xa<0.解：方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a，函数yx2(1a)xa的图象开口向上，则当a<1时，原

10、不等式解集为x|a<x<1；当a1时，原不等式解集为；当a>1时，原不等式解集为x|1<x<a思考1设一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分别为x|x<x1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，则x1x2，x1x2为何值？名师指津：x1x2，x1x2.思考2由思考1的结论可知，不等式ax2bxc>0(a>0)的解集的端点与对应方程ax2bxc0的两根之间有什么关系？名师指津：不等式解集的端点值是相应方程的根讲一讲3已知关于x的不等式x2axb<0的

11、解集为x|1<x<2，求关于x的不等式bx2ax1>0的解集思路点拨由根与系数的关系及不等式与方程根的关系求出a，b，解不等式尝试解答x2axb<0的解集为x|1<x<2，1，2是x2axb0的两根由根与系数的关系得得代入所求不等式，得2x23x1>0.由2x23x1>0(2x1)(x1)>0x<或x>1.bx2ax1>0的解集为(1，)三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次

12、函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：练一练3若不等式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa<0的解集解：法一：由ax2bxc0的解集为知a<0.又×2<0，则c>0.又，2为方程ax2bxc0的两个根，.又，ba，ca.不等式变为x2xa<0，即2ax25ax3a>0.又a<0，2x25x3<0，所求不等式的解集为.法二：由已知得a<0且2，×2知c>0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1·x2，其中，x13，x2，不等式cx2bxa<0(c&g

13、t;0)的解集为.课堂归纳·感悟提升1本节课的重点一元二次不等式的解法及三个“二次”关系的应用难点是解含参数的一元二次不等式，也是本节的易错点2本节课要重点掌握的规律方法(1)解一元二次不等式的常见方法图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：()化不等式为标准形式：ax2bxc>0(a>0)，或ax2bxc<0(a>0)；()求方程ax2bxc0(a>0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；()由图象得出不等式的解集代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m<n时，若(x

14、m)(xn)>0，则可得x>n或x<m；若(xm)(xn)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间(2)含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a0.关于不等式对应的方程根的讨论：二根(>0)，一根(0)，无根(<0)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1x2，x1<x2.即时达标对点练题组1一元二次不等式的解法1不等式9x26x10的解集是(

15、)A.B.C D.解析：选D不等式可化为(3x1)20，因此只有x，即解集为，故选D.2若0<t<1，则不等式(xt)<0的解集为_解析：0<t<1，>1，所以(xt)<0的解集为.答案：3不等式x(3x)x(x2)1的解集是_解析：原不等式即为3xx2x22x1，可化为2x2x10，由于判别式7<0，所以方程2x2x10无实数根，因此原不等式的解集是.答案：4解下列不等式：(1)23x2x2>0；(2)x(3x)x(x2)1；(3)x22x3>0.解：(1)原不等式可化为2x23x2<0，(2x1)(x2)<0，故原不等

16、式的解集是.(2)原不等式可化为2x2x10.(2x1)(x1)0，故原不等式的解集为.(3)(2)24×38<0，故原不等式的解集是R.题组2解含参数的一元二次不等式5解关于x的不等式x2xa(a1)>0.解：原不等式可以化为：(xa1)(xa)>0，当a>(a1)即a>时，原不等式的解集为；当a(a1)即a时，由>0，得原不等式的解集为.当a<(a1)即a<时，原不等式的解集为.6解关于x的不等式：ax222xax(a<0)解：原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a<0，(x1)0.当2<

17、;a<0时，x1；当a2时，x1；当a<2时，1x.综上所述，当2<a<0时，解集为；当a2时，解集为；当a<2时，解集为.题组3三个“二次”之间的关系问题7已知不等式ax23x2>0的解集为，则a，b的值等于()Aa1，b2Ba2，b1Ca1，b2 Da2，b1解析：选C因为不等式ax23x2>0的解集为，所以方程ax23x20的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1b，b，所以a1，b2.8若不等式ax2bx2<0的解集是，则ab的值为()A14B10C10D14解析：选D由已知得，ax2bx20的解为，解得ab14.9已知ax22xc

18、>0的解集为，试求a，c的值，并解不等式cx22xa>0.解：由ax22xc>0的解集是，知a<0，且方程ax22xc0的两根为x1，x2，由根与系数的关系知解得a12，c2.此时，cx22xa>0，即2x22x12<0，其解集为.能力提升综合练1不等式x2|x|2<0的解集是()A.B.C. D.解析：选A令t|x|，则原不等式可化为t2t2<0，即(t2)(t1)<0.t|x|0，t2<0，t<2.|x|<2，得2<x<2.2当a<0时，不等式42x2axa2<0的解集为()A. B. C. D

19、解析：选A不等式化为(6xa)(7xa)<0，a<0，>，故选A.3不等式f(x)ax2xc>0的解集为，则函数yf(x)的图象为下列中的()解析：选B由根与系数的关系知211，2，a1，c2.f(x)x2x2.f(x)x2x2，故选B.4已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()A.B.C.D.解析：选D由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即1<10x<x<lg 2，所以选D.5已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_解析：由题意有或解得1<x<0

20、或0x<1.所求x的取值范围为(1，1)答案：(1，1)6设0<b<1a.若关于x的不等式(xb)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为_解析：原不等式转化为(1a)xb(1a)xb>0.当a1时，结合不等式解集形式知不符合题意；当a>1时，<x<，由题意知0<<1，要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需3<2.整理，得2a2<b3a3.结合题意b<1a，有2a2<1a，a<3，从而有1<a<3.综上可得a(1，3)答案：(1，3)7已知方程ax2bx20的两根为和2.(1

21、)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx1>0.解：(1)方程ax2bx20的两根为和2，由根与系数的关系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx1>0可变为2x23x1>0，即2x23x1<0，解得<x<1.不等式ax2bx1>0的解集为.8已知不等式ax23x6>4的解集为.(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc<0.解：(1)因为不等式ax23x6>4即ax23x2>0的解集为x|x<1或x>b，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b>1，a>0.由根与系

22、数的关系，得解得(2)由(1)知不等式ax2(acb)xbc<0可化为x2(2c)x2c<0，即(x2)(xc)<0.当c>2时，不等式(x2)(xc)<0的解集为x|2<x<c；当c<2时，不等式(x2)(xc)<0的解集为x|c<x<2；当c2时，不等式(x2)(xc)<0的解集为.第2课时一元二次不等式的应用(习题课)思考1求解形如>a的分式不等式，能否利用解分式方程的方法去分母？为什么？应该怎样解？名师指津：一般不能采取去分母的方法，因为不清楚分母h(x)是否大于0，如果能判断出h(x)大于0或者小于0，完全

23、可以采取去分母的方法一般解法是移项、通分化成标准型>0(<0)或0(0)，再等价成整式不等式来解思考2形如>0，<0，0，0的分式不等式，等价变形成怎样的整式不等式？名师指津：分别等价变形为f(x)·g(x)>0；f(x)·g(x)<0；讲一讲1解下列不等式：(1)<0；(2)2.尝试解答(1)由<0，得>0，此不等式等价于(x2)(x1)>0，原不等式的解集为x|x<2或x>1(2)法一：移项得20，左边通分并化简有0，即0，它的同解不等式为x<2或x5.原不等式的解集为x|x<2或x5法

24、二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x<2，原不等式的解集为x|x<2或x5(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解练一练1解下列不等式：(1)0；(2)>1.解：(1)原不等式等价于即2x<3.原不等式的解集为x|2x<3(2)原不等式可化为1>0，即<0.等价于(3x2)(4x3)<0，<x<.原不等式的解集为.思考1不等式ax2bxc

25、>0的解是全体实数的条件是什么？名师指津：当a0时，b0，c>0；当a0时，思考2不等式ax2bxc<0的解是全体实数的条件是什么？名师指津：当a0时，b0，c<0；当a0时，讲一讲2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1，3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围尝试解答(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，显然1<0.若m0，4<m<0.4<m0，即m的取值范围是(4，0(2)法一：要使f(x)<m5在x1，3上恒成立，就要使mm6<0在x1，3上

26、恒成立令g(x)mm6，x1，3当m>0时，g(x)是增函数，g(x)maxg(3)7m6<0，0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m6<0，得m<6.m<0.综上所述，m<，即m的取值范围是.法二：当x1，3时，f(x)<m5恒成立，即当x1，3时，m(x2x1)6<0恒成立x2x1>0，又m(x2x1)6<0，m<.函数y在1，3上的最小值为，只需m<即可m的取值范围是.一元二次不等式恒成立的类型及解法设f(x)ax2bxc(a0)(1)f(x)

27、>0在R上恒成立(2)f(x)<0在R上恒成立(3)a>0时，f(x)<0在区间，上恒成立(4)a<0时，f(x)>0在区间，上恒成立(5)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)(k>f(x)恒成立kf(x)max(k>f(x)max)；kf(x)(k<f(x)恒成立kf(x)min(k<f(x)min)练一练2已知f(x)x22(a2)x4.(1)如果对一切xR，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得对任意x3，1，f(x)<0恒成立若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由

28、解：(1)由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22(a2)x40此时应满足<0，即4(a2)216<0，解得0<a<4.(2) 若对任意x3，1，f(x)<0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3，1，f(x)<0恒成立讲一讲3国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税

29、k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？(链接教材P79例4)尝试解答设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x10010k.由题意，得70(10010k)k%112，整理得k210k160，解得2k8.因此，当2k8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元解一元二次不等式应用题的四个步骤(1)认真审题，理解题意，把握题目中的关键量，找准不等关系(2)引入数学符号根据题意建立相应的不等关系(或函数关系)，把实际问题抽象成一元二次不等式问题(

30、3)解不等式(或求函数的最值)(4)回扣实际问题练一练3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解：(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a·(1002x)·(10x)(

31、0<x<10)(2)原计划税收为200a·10%20a(万元)依题意得a(1002x)·(10x)20a×83.2%，化简得x240x840，解得42x2，又因为0<x<10，所以0<x2.因此要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，x的取值范围应为(0，2课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是一元二次不等式的恒成立问题，难点是一元二次不等式的实际应用2本节课的易错点有：(1)解不等式0(或0)时，忽视g(x)0；(2)解不等式>a(或<a)时，不考虑g(x)的符号，直接去分母3本节课重点掌握的规律方法

32、(1)分式不等式的解法，见讲1；(2)不等式的恒成立问题的解法，见讲2.4有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解5解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解即时达标对点练题组1解简单的分式不等式1不等式<0的解集为()Ax|1<x<2或2<x<

33、3 Bx|1<x<3Cx|2<x<3 Dx|1<x<3解析：选A原不等式等价于解得1<x<3，且x2，故选A.2解下列不等式：(1)0；(2)>1.解：(1)0x<或x.原不等式的解集为.(2)法一：原不等式可化为或或3<x<.原不等式的解集为.法二：原不等式可化为>0>0<0(2x1)(x3)<03<x<.原不等式的解集为.题组2不等式的恒成立问题3若不等式x2mx>0的解集为R，则实数m的取值范围为()Am>2Bm<2Cm<0，或m>2 D0<m&

34、lt;2解析：选D由m24×m22m<0，可得0<m<2.4已知不等式x2ax4<0的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4B4<a<4Ca4，或a4 Da<4，或a>4解析：选A由a24×40，得a216，即4a4.5若方程x2(m3)xm0的实数解，则m的取值范围为_解析：若方程x2(m3)xm0有实数解，则(m3)24m0，解得m1或m9.答案：m|m1或m96若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的值的集合为_解析：(1)当a0时，满足题意；(2)当a0时，应满足解得0<a4.综上可知，a值的集合为a|0

35、a4答案：0，47函数f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是_解析：由已知f(x)的定义域是R.所以不等式ax23ax1>0恒成立(1)当a0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；(2)当a0时，则有0<a<.由(1)，(2)知，0a<.答案：8关于x的不等式(1m)x2mxm<x21对xR恒成立，求实数m的取值范围解：原不等式等价于mx2mxm1<0，对xR恒成立当m0时，0·x20·x1<0对xR恒成立当m0时，由题意，得m<0.综上，m的取值范围为(，0题组3一元二次不等式的实际应用9用一根长为100 m的绳子能

36、围成一个面积大于600 m2的矩形吗？_(用“能”或“不能”填空)；若“能”，当长、宽分别为_m，_m(若不能，此处不填)时，所围成的矩形的面积最大解析：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x)m，0<x<50.由题意，得x(50x)>600，即x250x600<0，解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形用S表示矩形的面积，则Sx(50x)(x25)2625(0<x<50)当x25时，S取得最大值，此时50x25，即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大答案：能252510有一桶纯农药液，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是_解析：设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x8)(x>8)升，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升依题意，得(x8)28%·x.由于x>0，因而原不等式化简为9x2150x4