数值分析教材

1、                                 第一章 绪论与误差                 &

2、#160;              第一节 数值分析研究对象及特点  一、数值分析课的地位:    数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支。它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。    用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:     实际问题建立数学模型研究计算方法程序设计上机计算求出结果。

3、60;例如:  某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。  为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。  采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解, 然后再整体平滑。  编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。   二、数值分析课的主要内容:   计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。   1.数值代数:      求解线性和非线性方程的解法

4、, 分直接方法和间接方法。    2.插值和数值逼近。   3.数值微分和数值积分。    4.常微分方程和偏微分方程数值解法。  三、数值分析具有的特点    1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法,即算法只能包含加、减、乘、除和逻辑运算,这些运算是计算机能直接处理的运算。   2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。   3. 要有好的计算复杂性。

5、时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。   4. 要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外还要通过数值试验证明是行之有效的。  四、对算法所要考虑的问题:   1. 计算速度   1 例如：求解一个20阶线性方程组,用加减消元法需3000次乘法运算,而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。   2. 存储量。 大型问题有必要考虑。   3. 数值稳定性。在

6、大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与数值稳定性算法有关。   例 一元二次方程 其精确解为               如用求根公式:    以及字长为8位的计算器求解有：                      

7、;  则:, 那么: 的值与精确解有天壤之别。若改用:  因此, 算法的选用很重要。  五、学习本课程应注意的问题   (1) 要注意掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。   (2) 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。   (3) 要做一定数量的理论分析与计算练习。            &#

8、160;     第二节 绝对误差、相对误差和有效数字    一、误差的来源    数值计算,概括地讲是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”。因此,在计算过程中,误差是不可避免。引起误差的因素很多,主要有以下几种：    1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑, 必然要进行必要的简化, 这就带来了与实际问题的误差。    2.观测误差: 在数学模型中,往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等,这些

9、参量显然也包含误差。这种由观测产生误差称为观测误差。    3.截断误差: 在数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。    4.舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。    二、绝对误差、相对误差和有效数字数值分析主要讨论截断误差。观测误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。     1.误差和误差限 

10、;   设是精确值x的一个近似值, 称是近似值的绝对误差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。误差是无法计算的, 但可估计出它的一个上界。即, 称是近似值的误差限,其精确值的范围 也可表示成    2.相对误差和相对误差限    误差限的大小还不能完全表示即似值的好坏，例如有两个量      x = 10±1， y = 1000±5 则     虽然比大四倍，但是比要小得多，这说明近似

11、y的程度比近似x的程度要好得多。所以,除考虑误差的大小外，还应考虑准确值x本身的大小。为此我们引入相对误差：称           为近似值的相对误差, 记作。相对误差是个相对数, 是无量纲的, r 也可正可负。相对误差的估计, 称为相对误差限, 即:实际计算中, x是未知的, 用来代替。两者的差为:    3. 有效数字    定义: 如果近似值的误差限是某一数位的半个单位, 从该位起向左到最前面第一个非零数字共有n位, 就说有n位有

12、效数字，它可表示其中(i=1,n)是0到9中的一个数字，,m为整数，且例如 =3.1415926535 ,3.14有三位有效数字,误差限=0.005; 3.1416有五位有效数字, 误差限为0.00005。又如0.003529是四位有效数字, 误差限为, 0.00352900是六位有效数字,前者的误差限为 。定理1: 设近似值有n位有效数字,则其相对误差限 . 反之，若近似值的相对误差限为则至少有n位有效数字。证明:因为：故 所以 反之，由故至少有n位有效数字。本定理说明，有效数字越多，相对误差越小。    例1 重力加速度常数,&#

13、160;两者均有三位有效数字. , , 后者的绝对误差大。而由定理1, 相对误差分别为:       两者相等, 与量纲的选取无关。例2 预使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字。解 设取n位有效数字，由于=4.4, 由定理1        只要n=4, 就有例3 用四位浮点数计算 。 解:结果只有一位有效数字, 有效数字大量损失, 造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。  结果仍然有四位

14、有效数字这说明了算法设计的重要性。                         第三节 数值计算中误差的传播    1.四则运算中误差的传播 四则运算误差限的公式:           这是因为,   &#

15、160; 故         2.基本运算(对函数)中的误差估计    设数值计算中求得的解与参量x有关，记为 y=f(x), 即y是x的函数。设是x的近似值,相应的解(函数)的近似值。其解的绝对误差    , 误差限记作，如果f(x)是可微的, 则：    取绝对值得：    假定f'(x )与f"(x )的比值不大, 可忽略() 的高阶项, 于是  

16、60;  和 其解的相对误差为     于是    一般地，设数值计算中求得的解与参量有关,记为y=f(), 即y是多元函数,若分别是 ,的近似值, 类似地有：    于是                     例4 已侧得某场地长的值为=110m, 宽d的值为=80m, 已知 |l-|0.2m, |d-|

17、0.1m, 试求面积s=ld的绝对误差限和相对误差限。解 s=ld, , 所以            3.算法的数值稳定性。    一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。在大量计算中, 舍入误差的积累还是能控制,这与算法有关。    例5 一元二次方程 其精确解为    

18、60;    。如用求根公式:     以及字长为8位的计算器求解有：             那么: 的值与精确解有天壤之别。若改用:    因此, 算法的选用很重要。                   &

19、#160;    第四节 数值计算中应注意的问题     1. 避免两个相近的数相减    两个相近的数相减,有效数字会大大损失。前面一个例子已说明问题,这里再举一例:           如用四位有效数字计算:          结果只有一位有效数字; 如改为:    

20、;      有四位有效数字。新算法避免了两个相近数的相减。    2. 避免大数吃小数的现象    例如: a=1010 ,b=10, c=-a ,|a+c|<<b用八位计算机进行计算:         (a+b)+c = (1010 +10)-1010 1010 -1010 = 0b被大数吃掉了。如按(a+c)+b=0+b=b,b 就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题。 &#

21、160;  3. 避免分母的绝对值远小于分子的绝对值    由公式         故当|x2* |<<|x1* |, 舍入误差可能会增大。    4. 要简化计算，减少运算次数，提高效率    例如计算ln2，若用公式        -1<x1取x=1, 前n项部分和来计算ln2的近似值，截断误差为。如果利用级数 &#

22、160;      -1<x<1.来计算，当时，代入上面的展开式得        取前5项之和作为近似值，参数的截断误差为        显然，第二算法比第一算法有效。    又如计算多项式的值:  ,每取akxk有k次乘法运算,因此计算Pn(x)共需  次乘法和n次加法运算。    如将Pn(x)写成: 

23、      Pn(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0用秦九韶算法:u0=an, uk=uk-1x + an-k,k=1,2,n 。最终Pn(x)=un,共需 n次乘法和n次加法运算。一般地要注意,能在循环外计算,就不要放在循环内计算。    5. 选用数值稳定性的算法    例:In=e-1xnexdx ,n=0,1,2,用分部积分公式得递推式:      In=1-nIn-1,I0=1-e-1用四位有效数字计算

24、:      I0=0.6321 ,I1=1-I0=0.3679 ,I2=1-2I1=0.2642      I3=1-3I2=0.2074 ,I4=1-4I3=0.1704       I5=1-5I4=0.1480 ,I6=1-6I5=0.1120       I7=1-7I6=0.2160 ,I8=1-8I7=-0.7280  可以估计出: 

25、     故: 0.0460<I7<0.1250 , 0.0409<I8<0.1111于是I7与I8精确值已经面目全非,一位有效数字也没有。这是由于如果I0有误差e=0.5×10-4,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算过程分别乘以2,3,7,8到时已经变成了8!e , 误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。如果递推式改为,由I7=0.1124,逐步计算I6 ,I5 ,直到I0=0.6321。计算结果有四位有效数字,如果I7有误差e, 其传播到I0所引起的误差仅为。故该算法是稳定的。  

26、;                                  绪论与误差    1 误差和误差限          x*-*x x*+*或 x

27、 = x* ±*    *误差限    2 相对误差和相对误差限              3 有效数字    1) 有效数字        x*=±10m(a1+a2×10-1+ + an×10-n+1)其中ai(i=1,n)是0到9中的一个数字，a10,m为整数，且 

28、;       |e*|=|x*-x|=0.5×10m-n+1    2) 设近似值x*=±0.a1a2 an ×10m, 有n位有效数字, a10,则其相对误差限. 反之，若近似值的相对误差限为        则x*至少有n位有效数字。    4 数值计算中误差的传播    1) 四则运算中误差的传播    

29、;    ,            2) 基本运算(对函数)中的误差估计       e(f(x*) = f(x) - f(x*), 误差限记作(f(x*)，如果f(x)是可微的, 则：      若f(x*)与f(x*)的比值不大, 可忽略(x*) 的高阶项,       (f(x*)|f(x*)

30、|(x*)和      e(f(x*)f(x* )e(x*) 相对误差为                 习 题 一    1. 按四舍五入原则，求下列各数的具有四位有效数字的近似值：      168.957, 3.00045, 73.2250, 0.00152632 解   

31、    169.0, 3.000, 73.23, 0.001526    2. 设下列各数均未经过四舍五入后的道的近似值，试求各数的绝对误差限和相对误差限。      a=3580, b=0.00476, c=2958×10-2, d=0.1430×10-2 解        a= 3580 = 0.3580×104, 绝对误差限: 104-4=0.5, 相对误差限 10-4&

32、#160;     b= 0.00476 = 0.476×10-2绝对误差限: 10-2-3= 0.5×10-5, 相对误差限 10-3+1=0.00125      c=2958×10-2= 0.2958×102绝对误差限: 102-4= 0.5×10-2, 相对误差限10-4+1=0.00025      d=0.1430×10-2 绝对误差限: 10-2-4=0.5×10

33、-6, 相对误差限 10-4+1=0.0005    3. 已知a=1.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b,a×b有几位有效数字。解        e(a+b)=e(a)+e(b)<0.00005+0.0005=0.00055 2有效数字      e(a×b)=e(a)b+ae(b)=0.00005×0.978+1.2031×0.0005   

34、;          0.000049+0.0006=0.00064 2 有效数字    4. 设 x>0, x的相对误差为, 求lnx的绝对误差。解       e (lnx) = e(x) = er(x) = .     5. 求的近似值x*, 使其相对误差不超过0.1%。解        

35、0;  1.414 = 0.1414×101    6. 要使的近似值小于0.1%的相对误差，要取几位有效数字。解      只要 er(x*)<0.008      4.472     7. 正方形的边长约100cm,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1cm2?解      e(x2)* = 2x*e(x*)<1, e(x*)&l

36、t;1/200=0.005      8. 计算球体的体积，为使其相对误差限为1%，设测量半径R, 相对误差最大为多少？解             9. 设s=gt , 假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，试证当t增大时，s的绝对误差增大而相对误差却减少。解             10. 已知12.961有五位有效数字，试求

37、方程x2- 26x + 1 = 0的两个根及它们的误差限和相对误差限。解        x1,2= 13±      x1=13+13+12.961=25.961=0.259612      e(x1)<×102-5=×10-3 , er(x1)<10-5+1= 10-4      x2=13-=1/(13+)0.038519=0.38

38、519×10-1       e(x1)<×10-1-5=×10-6 , er(x1)<10-5+1= 10-4    11. 已知27.983有五位有效数字，试求方程x2- 66x + 1 = 0的两个根, 使它们至少有四位有效数字。解       x1,2= 28±      x1=28+28+27.983=55.983  

39、;     x2=28-=1/(28+)0.01786=0.1786×10-1    12. 设求证：    1) In= 1 -nIn-1 (n=0,1,2,)    2) 利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减少。解          In= 1-nIn-1=1-n1-(n-1)In-2=-(n-1)In-2=(-1)n(n-1)!I0误差扩

40、大(n-1)!倍。     I0= (1-I1)= (1-I2)=(1-I3)=(1-In)误差缩小n!倍。             第二章 解线性方程组的直接方法    在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵(例如，阶数不超过150),另一种是大型性（即稀疏矩阵矩阵阶数较高且零元素较多）。关于线方程组的数值解法一般有

41、两类：    1.直接法:经过有限步算术运算，可求得方程组精确解 (若计算过程中没有舍入误差) 的方法。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。这类方法是解低阶稠密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵方程组（例如，大型带状方程组）的有效方法。    2.迭代法: 用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存贮单元较少程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵

42、方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法(见第三章）。                            第一节 高斯消去法     一、高斯消去法的基本思想    例1. 解方程组：    

43、60;           解 方程组矩阵形式为:AX=b,其中:             第一步，消元过程：对增广矩阵进行消元   即得方程组   第二步, 回代过程:             此方法就是高斯消去法。 

44、   二、高斯顺序消去法的计算流程及公式设有线性方程组：                        (2.1) 或写成矩阵的形式:            简记为Ax=b      

45、60;   记初始方程组AX=b 为A(1)X=b(1)。    1) 第一次消元(k=1),即消去第2到第n个方程中的x1 ,假定 0, 目标是:                    第i个方程-第1个方程 ,这时=0,i=2,3,m, 而其它系数和右端有:        &

46、#160;       2) 第k次消元(k=1,2,s=min(m-1,n), 设上述第一步，第k步消元过程计算已经完成，即以计算好与(2.1)等价的方程组：     简记为：A(k)x=b(k) , 若0 第i个方程-第k个方程             A(k+1)x = b(k+1)A(k+1)与b(k+1)元素的计算公式为：      &#

47、160;       3) 继续上述过程，且设a 0(k=1,2,s）,直到完成第s步 消元计算。最后得到与原方程组等价的方程组                    A(s+1)x = b(s+1)其中A(s+1)为上梯形。特别当m=n时，与原方程组等价的方程组         

48、0;           A(s)x = b(s),即：           由(2.1)约化为(2.3)的过程称为消元过程。如果ARn×n是非奇异矩阵，且0(k=1,2,n),求解(2.3) 得到求解公式：          (2.3)的求解过程(2.4)称为回代过程。综上可得：定理1

49、设Ax=b,其中 ARn×n 。    1) 如果0 (k=1,2,n), 则可通过高斯消去法将Ax=b约化为等价的三角形方程组(2.3), 且计算公式为：    a) 消元计算(k=1,2,n-1)            b) 回代计算            2) 如果A为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法（即交换两行的初等变换)

50、将方程组Ax=b约化为(2.3)。    定理2: 高斯消去法能进行到底的充要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零。（证明略）可以证明, 阶顺序主子式不为零的充要条件是0。这说明了高斯顺序消元法的缺点, 特殊地a11=0, 方程组未必无解, 但高斯顺序消元法的第一步就无法进行。这就需要用下一节的列主元消去法。    三、矩阵的三角分解设(2.1)的系数矩阵ARn×n 的各顺序主子式均不为零。由于对实矩阵的初等行变换相当于用初等矩阵左乘A, 对(2.1)实行第一次消元后，这时A(1) 化为A(2) = L1 A(1) , b

51、(1)化为b(2)= L1b(1), 其中                   一般地第k次消元后，A(k)化为A(k+1)= LkA(k) , b(k)化为b(k+1) = Lk b(k) , 其中                   重复这些过程，最后得到

52、：           将上三角矩阵A(n)记为U, 由(2.5)得到                    其中          为单位下三角矩阵。    定理3（矩阵的LU分解）设A为n阶矩阵，

53、如果A的顺序主子式Di 0,(i=1,2,n-1) , 则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。    证明：存在性已显然，下面仅证唯一性。设A=LU=L1U1, 其中L,L1为单位下三角矩阵,U和U1 为上三角矩阵。由于存在，故         L-1L1 = U上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵，从而上式两边必须等于单位矩阵，故 U=U1 , L=L1 .    例2：解方程组    &

54、#160;           解 用LU分解在求解。      令 Ly=b,Ux=y, 求得y和x见上图。                         第二节 高斯主元素消去法   

55、  问题的提出：由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现=0的情况, 这时消去法将无法进行；即使主元素0，但很小时，用其作除数,会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散, 最后也使得计算解不可靠。     引例 求解方程组             用4位浮点数进行计算。   解： 方法1 用高斯消去法求解。         

56、                                      其中         计算解为:     &

57、#160;   显然计算解 是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。    方法2 交换行，避免绝对值小的主元做除数。               得计算解为：         x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)T x*.这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时,小主元可能产生麻烦,故应避免采用绝对值小的

58、主元素a 。对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低价矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性, 这就是全主元素消去法, 在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法。 本节主要介绍列主元消去法,并假定(2.1)的ARn×n为非奇异的。   1. 列主元素消去法设方程组（2.1）的增广矩阵为：                   首

59、先在A的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如:          |ai1,1|= max |ai1|0， 1in 然后交换B的第一行与第i1 行，经第一次消元计算得         (A|b)(A(2)|b(2) )  重复上述过程,设已完成第k-1步的选主元素,交换两行及消元计算，(A|b)约化为:          

60、0;  (2.2)其中A(k) 的元素仍记为aij ，b(k) 的元素仍记为bi 。第k步选主元素(在A(k) 右下角方阵的第一列内选)，即确定ik ，使              交换(A(k) |b(k) ) 第k行与ik 列的元素，再进行消元计算,最后将原方程组化为(k=1，2，n-1):             

61、;     回代求解             2. 高斯-若当消去法高斯消去法始终是消去对角线下方的元素,现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当(GaussJordan)消去法。通过选主元，消元等过程最终化为：                 说明：用高斯-

62、若当方法将A约化为单位矩阵,计算解就在常数位置得到,因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大,但用高斯若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。    定理4（高斯-若当法求逆矩阵）设A为非奇异矩阵，C=(A|In ), 如果对C应用高斯若当方法化为（In|T），则A-1=T 。    例4 用高斯-若当方法求 的逆矩阵以及的解。解：               

63、60;                             第三节 矩阵三角分解法    1 直接三角分解法    将高斯消去法改写为紧凑形式,可以直接从矩阵A的元素得到计算L,U元素的递推公式,而不需任何中间步骤,这就是所谓直接三角分解法。一旦实现了矩阵LU分解，

64、那么求解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组  Ly=b,求y;        Ux=y,求x.设A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU, L为单位下三角阵,U为上三角阵,即：    由(3.1)有:     a1i =U1i (i=1,2,n),得U的第1行元素;     ai1 =Li1 U11 ，Li1 =ai1 /U11 (i=2, ,n),得L的第1列元素.设已经定出U的第1行到第r-1行元

65、素与L的第1列到第r-1列元素。由(3.1),利用矩阵乘法(注意当rk时,Lrk =0),有         故        又由(3.1)有     总结上述讨论，得到用直接三角分解法解Ax=b（要求A的所有顺序主子式都不为零）的计算公式。    u1i =a1i (i=1,2,n), li1 =ai1 /u11 (i=2,3,n),计算U的第r行，L的第r列元素(i=2,

66、3,n)。    (2)    (3)求解Ly=b，Ux=y的计算公式；   (4)   (5) 例5 用直接三角分解法解 解:用分解公式        求解        矩阵A的分解公式(3.2),(3.3)又称为杜利特尔(Doolittle)分解。   2. 追赶法在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导方程等

67、，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组：   简记为Ax=f 。其中，当|i-j|>1时，aij =0,且：       (a) |b1 |>|c1 |0       (b) |bi |ai |+|ci |,ai ,ci 0 (i=2,3,n-1)       (c) |bn |>|an |0 下面利用矩阵的直接分解发来推到接单对角线方程组(3.12)的计算公式。

68、 设A=LU ,其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。即：         其中li ,ui ,di 为待定系数。比较(3.13)两边得：    由(3.14)得到：    这样就确定了li ，ui ，di , 实现了A的LU分解。求解Ax=f等价于解两个三角方程组：    （1）Ly=f,求y; （2）Ux=y,求x从而得到解三对角线方程组的追赶法公式：      

69、0;   1. 计算Li ,ui 的递推公式：                            2. 解 Ly=f 3. 解Ux=y   计算系数L1 L2 Ln-1 及 y1 y2 yn 的过程称为追的过程,计算方程组的解xn xn-1 &x1 

70、;的过程称为赶的过程。                    第四节 平方根法    1. 平方根法    所谓平方根法,就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法。设A为对称矩阵，且A的所有顺序主子式均不为零，由本章定理3知，A可唯一分解为如(3.1)的形式 A = LU为了利用A的对称性，将U再分解为:

71、60;    其中D为对角阵，U0 为单位上三角阵，于是A=LU=LDU0 (4.1)     由分解的唯一性即得：         U0 = LT 代入(4.1)得到对称矩阵A的分解式A = LDLT 。总结上述讨论有    定理5(对称阵的三角分解定理) 设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均不为零，则A可唯一分解为：       

72、  A = LDLT , (4,2)其中L为单位下三角阵，D为对角阵。 将D写成, LD1 换成L得 ：    定理6（对称正定矩阵的三角分解或Cholesky分解）如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵L使         A = LLT , (4.3)当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。 下面我们用直接分解方法来确定计算L的递推公式。因为       其中Lii 0（i

73、=1，2,n）。由矩阵乘法及Ljk =0（当jk时），得         于是得到解对称正定方程组Ax=b的平方根法计算公式：对于 j=1,2,n    求解Ax=b，即求解两个三角形方程组：   (1)Ly = b, 求y; (2) LT x = y, 求x.    例3.用平方根法求解方程组:  解 对于j=1,2,3    解Ly=b得：   

74、60;   2. 改进的平方根法(LDLT 法)由定理5的分解公式(4.2)         由此可得到如下的计算公式           例4.用改进平方根法求解方程组: 解：运行过程见右图。结果如下     (1) Ly = b, 求y; (2) Dz = y,求z; (3) LT x = z, 求x. 即    (1) L

75、y = b, 求y; (2) L Tx = D-1 y, 求x.               第五节 向量和矩阵的范数    一、向量的范数     定义1 设x=(x1 ,x2 ,xn )n ,y=(y1 ,y2 ,yn )n Rn (或Cn )。将实数       (或复数), 称为向量x,y的数量积。将非负实数 

76、     或      称为向量x的欧氏范数。 对向量x,y的数量积有：     1. (x,y)=(x,y).为实数(或(x,y)=(x,y),为复数);    2. (x,y)=(y,x)(x,y)=(,);    3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);    4. (Cauchy-Schwarz不等式)   

77、   (5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。对向量x的欧氏范数有：     1. x2 0, x2 =0当且仅当x=0时成立;    2. x2 =|x2 ，任意的R(或C),    3. x+y2 x2 +y2 (三角不等式)， (5.2)注 (5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2 0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得   即得(5.2)。定义

78、2(向量的范数) 如果向量xRn (或Cn )的某个实值函数N(x)=x, 满足条件：   (1) x0(x=0当且仅当x=0)(正定条件)，   (2)  x=|·x，任意的R(或C),   (3)   x+yx+y(三角不等式)，则称N(x)是Rn (或Cn )上的一个向量范数(或模)。 由(3)可推出不等式:  (4)| x-y |x-y。下面我们给出几种常用的向量范数。   1. 向量的-范数(最大范数)：   (5.

79、3)   2. 向量的1-范数：      3. 向量的2-范数：             (5.4)   4. 向量的p-范数：       (5.5)    例6 计算向量x=(1,-2,3)T 的各种范数。解：     定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=x为R

80、n 上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2 ,xn 的连续函数。证明 设其中ei =(0,1,0,0)T, .只须证明当xy时N(x)N(y)即成。事实上            即     |N(x)-N(y)|cx-y 0 (当xy时),其中           定理7 (向量范数的等价性)设xs ,xt , 为Rn 上向量的任意两种范

81、数，则存在常数c1 ,c2 0，使得对一切xRn 有         c1 xs xt c 2xs (5.6) 证明略    二、矩阵的范数   类似向量的范数的定义，我们将向量范数概念推广到矩阵，给出矩阵范数的定义。    定义4(矩阵的范数) 如果矩阵ARn×n 的某个非负的实值函数N(A)=A,满足条件  (1) A0(A=0 A=0) (正定条件)  (2)  cA=|c|

82、83;A, c为实数(齐次条件)  (3)   A+BA+B) (三角不等式)  (4)    ABA·B 则称N(A)是Rn×n 上的一个矩阵范数(或模)。定义实值函数如下     (5.7)显然F(A)满足定义4，所以F(A)是Rn×n 上的一个矩阵范数，称其为A的Frobenius范数。由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论,所以希望引进一种与向量范数相关矩阵的范数，且满足范数相容条件,即对任何向量xRn 及ARn

83、5;n 都有      AxA·x (5.8)为此我们再引进一种矩阵的范数。    定义5(矩阵的算子范数) 设XRn ,ARn×n , 给出一种向量范数Xv (如v=1,2 或)，相应地定义一个矩阵的非负函数       可验证Av 满足定义4(见下面定理)，所以Av 是Rn×n 上矩阵的一个范数，称为A的算子范数。     定理8 设xv 是R 上一个向量范数，则Av 是Rn

84、5;n 上矩阵的范数，且满足相容条件          Axv Av xv (5.10)证明 由(5.9)相容性条件(5.10)是显然的. 现只验证定义4中条件(4),由(5.10),有          ABxv Av Bxv Av Bv xv当x0时，有          ABxv /xv Av Bv ,故 

85、60;    ABv = max (ABxv /xv )Av Bv               x0      定理9 设xRn , ARn×n , 则       1)       (称为A的行范数)     

86、;  2)         (称为A的列范数)       3)     (称为A的2-范数)其中max (AT A)表示AT A的最大特征值.证明 只证1)。      设i0 使得         取 则      例7 设 计算A的各

87、种范数。解             定义6 设ARn×n 的特征值为i (i=1,2,n), 称         为A的谱半径。    定理10(特征值上界) 设ARn×n , 则(A)A, 即A的谱半径不超过A的任何一个范数。证明：设是A的任一特征值，x为相应的特征向量, 则Ax=x,由(5.7)得     

88、;  |X=X=AXAX ,注意到x0 , 即得|A     定理11 如果ARn×n 为对称矩阵, 则A2 =(A) 证明留作习题(提示只需证明)    定理12 如果 B<1,则I±B为非奇异矩阵,且         (I±B) 1/(1-B), 其中·是指矩阵的算子范数.证明 用反证法. 若det(I-B)=0, 则(I-B)X=0有非零解, 即存在X00使BX0

89、=X0 , BX0/X0=1,故B1, 与假设矛盾。 又由(I-B)(I-B)-1 = I. 有      (I-B)-1 = I + B(I-B)-1 , 从而    (I±B)-1 I+B (I±B)-1 ,     (I±B)-1 1/(1-B)               

90、0;   第六节 误差分析    1. 方程组的状态与条件数考虑线性方程组    Ax = b (6.1)其中设A为非奇异矩阵，x为方程组的精确解。由于A(或b)元素是测量得到的，或者是计算的结果，在第一种情况A(或b)常带有某些观测误差，在后一种情况A(或b)又包含有舍入误差。因此我们处理的实际矩阵是A+A (或b+b),下面我们来研究据A(或b)的微小误差对解的影响。即考虑估计X-Y, 其中Y是   (A+A)Y = b+b的解。    例8 设有方程组 . 记

91、为Ax=b, 它的精确解为x=(2,0)T .现在考虑常数项的微小变化对方程组解的影响，考察方程组  也可表示为A(x+x)=b+b, 其中 b=(0,0.0001)T ,y=x+x, 它的精确解为y=x+x=(1,1)T .从这个例子看到常数项b的第2个分量只有1/1000的微小变化, 方程组的变化却很大。这样的方程组称为病态方程组。    定义7 如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起方程组Ax=b 的解的巨大变化,则称此方程组为“病态方程组”，矩阵A称为“病态”矩阵 (相对于方程组而言)，否则称方程组为“良态”

92、矩阵。以下我们研究方程组(6.1)的系数矩阵A(或b)的微小误差(扰动)对解的影响。现设A是精确的，b有误差b, 解为x+x, 则          A(x+x)=b+b => x=A-1 b,         xA-1 b. (6.2)由于         b=AxAx,所以           (6.3)于是           这样我们有下面的定理：    定理13 设A是非奇异矩阵，Ax=b0, 且A(x+x) = b+b，则