第三章变额年金2ppt课件

1、13.4、每年支付、每年支付m次的递增年金次的递增年金l假设支付n年，每年支付m次，那么总的付款次数为 m n。l如果每年支付m次，付款又是递增的，那么将会出现下述两种情况：l同一年的每次付款相同l同一年的每次付款也是递增的2每年支付每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款相同次的递增年金：同一年的每次付款相同()()211()(123)mmnnIaavvnv现值：注：见下页说明3第一年内所有付款的现值为第二年内所有付款的现值为第n年内所有付款的现值为因此该项年金的现值为： ()1ma()12mva1()1nmnva()()211()(123)mmnnIaavvnv()1nnmanvvid

2、()nnmanvi4123()()2123mmnmmmnIavvvmn vm现值：3.5、每年支付、每年支付m次，每年递增次，每年递增m次的年金次的年金5l令l在式两边同时乘以 ，则有12323nmmmvvvmn vR(12)()23231nmmmnmmvvvmnIamv1(1)mi1121(1)1 23nmmmmRivvmnv 1211111nnmmmmRivvvmn v()mnnmamn v6l上式两边同时乘以m，则有l所以 2()2()2()2()mnmmnnmnm am n vR im am n vRi()()()2()mnmmnmnanvRIami1()11mnmnRimamn v7

3、比较：比较：()()(|)|)()mnmmnmnnvIaai(|)|()mmnnnnvIaia (每年的付款是常数)(每年的付款递增)请大家写出累积值的公式。8变额年金公式小结变额年金公式小结 年金递增年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付|()nnnanvIai-=& &()nnsnIsi()nnnanvI a()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi9年金递减年金现值 累积值每年支付1次连续支付()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnna

4、Da(1)()nnnnisDs103.7、连续支付连续递增年金、连续支付连续递增年金l含义：连续支付，连续递增。l假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为d，则连续递增年金的现值为：l注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此上式中字母 I 和 a 上都有横线。0()ntnI atedt11l上式右边可用分部积分法展开： 0000exp()exp()d exp()exp()nnnnttttt dtttdt 20exp()1exp()nnnt 22exp()exp()1nnn 1 exp()exp()nnnnnanvve12l连续递增年金的终值为()(1) ()nnnnsnIsiIa13l例：一

5、项例：一项10年期的连续递增年金，在时刻年期的连续递增年金，在时刻 t 的付款比率为的付款比率为9t+6，利息力为，利息力为9，计算此项年金在时刻零的现值。，计算此项年金在时刻零的现值。 l解：可以将此项年金的现金流分解成两部分：解：可以将此项年金的现金流分解成两部分：l连续递增年金连续递增年金l连续等额年金连续等额年金l因此其现值为：因此其现值为：l其中：其中： 10109()69 28.0885926 6.593670292.36Iaa 0.0919.4174%ie 10101 (1.094174)6.5936700.09a10106.593670 10(1.094174)()28.088

6、5920.09Ia14l例：一项年金的付款期是从第例：一项年金的付款期是从第2年末至第年末至第7年末，并且在时年末，并且在时刻刻t的付款比率为的付款比率为3t-4，假设固定利息力为，假设固定利息力为6，试求此项，试求此项年金在第年金在第7年末的终值。年末的终值。l解：解： 假设此年金的付款期是从时刻假设此年金的付款期是从时刻0到第到第7年末，则其终年末，则其终值可表示为：值可表示为：l从时刻从时刻0到第到第2年末的付款累积到第年末的付款累积到第7年末的价值为：年末的价值为：l因而，本例年金的终值为：因而，本例年金的终值为：773()4Iss0.06 (7 2)0.322223()43()4Is

7、s eIss e0.377223()43()4IssIsse15l通过计算可得：l l故本例年金的终值为：22(1.061837)12.1249480.06s78.6993607()28.3226670.06Is22.1249482()2.0824670.06Is0.377220.33()43()43 28.3226674 8.699360(3 2.08246742.124948)53.21IssIssee 0.0616.1837%ie 77(1.061837)18.6993600.06s16l连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令

8、n 趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式：趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式： ()lim()nnIaIa21limnnnanv1 (1)limnnninv1 0017l例：一项连续支付的永续年金在时刻例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为的付款比率为 3t，付款从付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为时刻起并一直延续下去，年实际利率为5，则，则其现值为：其现值为：213()31260.25ln(1.05)Ia 183.8、连续支付连续递减年金、连续支付连续递减年金l连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期为连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期

9、为 n 年，在年，在时刻时刻 t 的付款比率为的付款比率为 n- t，固定利息力为，固定利息力为d，则称此年金为，则称此年金为一项连续递减年金，其现值用符号一项连续递减年金，其现值用符号 表示。表示。l连续递减年金的现值公式：连续递减年金的现值公式： ()nDa0()()()ntnnnDant edtnaIannannnanvna(1)nnnvvnan19l例：一份例：一份10年期的年金，在时刻年期的年金，在时刻 t 的付款比率为的付款比率为 10-t，假设利息力为假设利息力为5，试计算此项年金在时刻零的现值和，试计算此项年金在时刻零的现值和在第在第10年末的终值。年末的终值。l解：解：0.0

10、515.127%ie 10101 (1.05127)7.869260.05a10107.86926()42.610.05Da10 0.0510()42.6170.25Dse现值：终值累积值）：20年金公式比较年金公式比较年金递增年金递增永续年金的现值现值累积值每年支付1次，每年递增1次每年支付m次，每年递增1次连续支付，每年递增1次连续支付，连续递增|()nnnanvIai-=& &()nnsnIsi()nnnanvIa()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi()nnnanv

11、I a()nnsnIs21()Ia21年金递减年金现值 累积值每年支付1次，递减1次连续支付，每年递减1次连续支付，连续递减()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnnaDa(1)()nnnnisDs()nnnaDa(1)()nnnnisDs22年金等额年金永续年金的现值现值 累积值每年支付1次每年支付m次连续支付1nnvai()()|1nmmnvai|1nnva(1)1nnisi()()|(1)1nmmnisi|(1)1nnis1ai()()|1mmai|1a233.9、一般连续变额现金流、一般连续变额现金流 l一般连续变额现金流的现值：假设付款时间是从时刻一般连续变额现金流的现

12、值：假设付款时间是从时刻 a 到到时刻时刻 b，在时刻，在时刻 t 的付款比率为的付款比率为rt，利息力为，利息力为 dt。时刻。时刻 t支支付的付的1在时刻在时刻 a的现值为的现值为 l从时刻从时刻 a 到时刻到时刻 b 内，所有付款在时刻内，所有付款在时刻a的现值是将所有的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分： expdtsasexpddbttsaast24例：一个连续支付的现金流例：一个连续支付的现金流支付期从时刻支付期从时刻0开始到时刻开始到时刻0.5结束结束在时刻在时刻 t 的支付率为的支付率为 利息力为利息力为

13、试计算此现金流在时刻零的现值。试计算此现金流在时刻零的现值。 解：解： 现值表达式为：现值表达式为： 103tt0.20.06tt0.500expd(103)exp(0.20.06)ddbtttsaas dttsst0.520(103)exp(0.10.06 ) dtttt25l令l则其现值为：20.10.06utt ( 0.20.06)ddutt 0.5200.520(103)exp(0.10.06 ) d50( 0.20.06)exp0.10.06dtttttttt 0.5050e duu 0.52050 exp0.10.06tt 2.68 26l非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时

14、刻为非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a 0，结束时刻为结束时刻为b，计算在，计算在0点的现值：点的现值：l方法一：计算此现金流在时刻方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从时的现值，再将此现值从时刻刻a贴现到时刻零。贴现到时刻零。l方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：零的现值： 0expddbttsast0expexpdddbttsaaassts27例：一个连续支付现金流的支付率为例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从元，支付期限从时刻时刻2到时刻到时刻6，并且具有固定的

15、利息力，并且具有固定的利息力dt = 0.05，试计算，试计算此现金流在时刻零的现值。此现金流在时刻零的现值。解：解： 改变对利息力积分的积分限，有：改变对利息力积分的积分限，有：660.052023exp0.05dd3edttstt60.0523e0.05t9.84 28l 另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值：l从时刻2到时刻零的贴现因子为：l l因此上述现金流在时刻零的现值为：l 440.2411 e1 e333310.880.05va220.10expdee0.90484ss10.88 0.904849.8429l一般连续变额现金流的终值：在时刻一般连续变额现金流的终值：在时刻t支付支付1元，将其累积元，将其累积到时刻到时刻b的终值为的终值为l为了计算从时刻为了计算从时刻a到时刻到时刻b内所有付款的终