数值分析第4章56节

1、14.5 高斯求积公式高斯求积公式2 4.5.1 一般理论一般理论 求积公式 nkkkbaxfaxxf0)(d)(含有 个待定参数22n).,1 ,0(,nkaxkk 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次. kxn 如果适当选取 有可能使求积公式具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯高斯(gauss)求积公式求积公式. ), 1 ,0(nkxk12n3 为具有一般性，研究带权积分,d)()(baxxxfi这里 为权函数，)( x类似(1.3)，求积公式为 , )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）为不依赖于 的求积系数.),1 ,0(nkak)( xf使（5.1

2、）具有 次代数精度.12n),1 ,0(nkxk为求积节点，, ),1 ,0(nkkkax及可适当选取 定义定义4 4如果求积公式(5.1)具有 次代数精度，12n则称其节点 为高斯点高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式高斯求积公式.),1 ,0(nkxk, )(d)(0nkkkbaxfaxxf（1.3）4 根据定义要使(5.1)具有 次代数精度，只要对12n),12,1 ,0()(nmxxfm.12, 1 ,0,d)(0nmxxxxankbammkk（5.2）当给定权函数 ，求出右端积分，则可由(5.2)解得 )( x).,1 ,0(nkaxkk及令(5.1)精确成立，即, )(d)(

3、)(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）5（5.4）.92131030axax 例例5 5).()(d)(110010 xfaxfaxxfx（5.3） 解解令公式(5.3)对于 准确成立，32, 1)(xxxxf;3210 aa试构造下列积分的高斯求积公式： 得 ;520000axax;72121020axax6由于 ,)()(1011001100axxaaxaxax利用(5.4)的第1式，可将第2式化为 .52)(321010axxx同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得 ;72)(5211010axxxx从上面三个式子消去 有 ,)(101axx.92)(72121010

4、axxxx7.92)5272(72;72)3252(52100100 xxxxxx进一步整理得 .9252)(72;7232)(5210101010 xxxxxxxx由此解出 ,910,2151010 xxxx从而 8.277556.0,389111.0;289949.0,821162.01010aaxx这样，形如(5.3)的高斯公式是 )821162.0(389111.0d)(10fxxfx).289949.0(277556.0f 由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 就很难求解. 2n故一般不通过解方程(5.2)求 ，), 1 ,0(nkaxkk及而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.

5、 .12, 1 ,0,d)(0nmxxxxankbammkk（5.2）).()(d)(110010 xfaxfaxxfx（5.3）9 定理定理5 5bxxxan10是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式)()()(101nnxxxxxxx与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，n)( xp)( x.0d)()()(1banxxxxp（5.5） 证明证明即插值型求积公式(5.1)的节点必要性. ,)(nhxp设,)()(121nnhxxp则, )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）10.d)()(d)()(babaxxxqxxxf（5.6）.0d)()()(1banxxx

6、xp（5.5）nxxx,10是高斯点，因此，如果. )()()()()(011nkknkkbanxxpadxxxxp因),1 ,0(0)(1nkxkn即有故(5.5)成立. 精确成立，)()()(1xxpxfn 则求积公式(5.1)对于 充分性. 用 除 ，)(1xn )( xf记商为),( xp余式为),( xq即 , )()()()(1xqxxpxfn其中 . nhxqxp)(),(,)(12nhxf对于由(5.5)可得 , )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）.0d)()()(1banxxxxp（5.5）11由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 是精确的，nhxq)(

7、. )(d)()(0nkkkbaxqaxxxq即 再注意到),1 ,0(0)(1nkxkn), 1 ,0()()(nkxfxqkk知从而由(5.6)有babaxxxqxxxfd)()(d)()(. )(0nkkkxfa.d)()(d)()(babaxxxqxxxf（5.6）.0d)()()(1banxxxxp（5.5）12可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为高斯点. 12n),1 ,0(nkxk 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点. ,ba)( x1n 有了求积节点 ，再利用),1 ,0(nkxknkbammkkxxxx

8、a0d)(对 成立，nm,1 ,0).,1 ,0(nkak解此方程则得 的线性方程.naaa,10则得到一组关于求积系数13 下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项. 利用 在节点 的埃尔米特插值)( xf),1 ,0(nkxk,12nh., 1 , 0),()(),()(1212nkxfxhxfxhkknkkn于是 ).()!22()()(21)22(12xnfhxfnnn 也可直接由 的插值多项式求出求积系数 nxxx,10).,1 ,0(nkak即 , )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）14两端乘 ，并由 到 积分，则得 )( xab.d)()(d)()(12frxxxh

9、xxxfinbanba（5.7）其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 12nnkkknxfaifr0)(由于,0)()(21xxn.d)()()!22()(21)22(bannnxxxnffr（5.8）.d)()()!22()(21)22(bannxxxnf由积分中值定理得(5.1)的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有, )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）15 定理定理6 6 证明证明,)(0nkjjjkjkxxxxxl它是 次多项式，n因而 是 次多项式，)(2xlkn2. )(d)()(0022niikibakxlaxxxl注意到,)(kiikxl),1

10、,0(nkak高斯求积公式(5.1)的求积系数 全是正的. 考察 故高斯求积公式(5.1)对于它能准确成立，即有 ,ka上式右端实际上即等于从而有 16由本定理及定理2，则得下列推论. 推论推论 定理定理7 7.d)()()(lim0bankkknxxxfxfa.0d)()(2bakkxxxla定理得证. 高斯求积公式(5.1)是稳定的. 即,)(bacxf设则高斯求积公式(5.1)收敛，, )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）, )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）17 4.5.2 高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式 在高斯求积公式(5.1)中，,1

11、, 1由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，1 ,1勒让德多项式 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. )(p1xn形如(5.9)的高斯公式称为高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式. 区间为则得公式 , 1)(x若取权函数. )(d)(011nkkkxfaxxf（5.9）, )(d)()(0nkkkbaxfaxxxf（5.1）18，)0(d)(011faxxf令它对 准确成立，即可定出 1)(xf.20a 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式)0(21d)(11fxxf是中矩形公式. 若取 的零点 作为节点构造求积公式 xx )(p100 x 再取 的两个零点 构造求积公式 )

12、13(21)(p22xx31),31()31(d)(1011fafaxxf19令它对 都准确成立，有 xxf, 1)(.03131;21010aaaa由此解出, 110 aa).31()31(d)(11ffxxf三点高斯-勒让德公式的形式是 ).515(95)0(98)515(95d)(11fffxxf表4-7列出了高斯-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数. 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 20568888904786287023692690000000005384693090617980465214520347854803399810086113630388888890555555600

13、00000007745967020000000157735030100000002000000000.axnkk7-表421 由(5.8)式，,1 , 1d)(p)!22()(1121)22(xxnffrnnn这里 是最高项系数为1的勒让德多项式. )(p1xn 由第3章(2.6)及(2.7) .)1(dd)!2(!)(p2nnnnxxnnx.122;,0d)(p)(p11nmnnmxxxmn公式(5.9)的余项 .d)()()!22()(21)22(bannnxxxnffr（5.8）. )(d)(011nkkkxfaxxf（5.9）22得).1 , 1()()!22)(32()!1(2)22

14、(3432nnnfnnnfr（5.10）当 时，有 1n).(1351)4(1ffr它比区间 上辛普森公式的余项 1 ,1)(901)4(1ffr还小，且比辛普森公式少算一个函数值. 当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，1 ,1,ba只要做变换 23,22batabx可将 化为 , ,ba1 ,1.d222d)(11tbatabfabxxfba（5.11）对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式. 这时 24 例例6 6用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算 3n.dcos202xxxi 解解先将区间 化为 ，2,01 ,11123.d)1(4cos)1(4ttti根据表4-7中 的节点

15、及系数值可求得 3n. )467401. 0(.467402. 0)(30ixfaikkk准确值由(5.11)有 .d222d)(11tbatabfabxxfba（5.11）25 4.5.3 高斯高斯- -切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式 若 且取权函数 ,1,1ba,11)(2xx则所建立的高斯公式为 . )(1)(0112nkkkxfadxxxf（5.12）称为高斯高斯- -切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式. 26 由于区间 上关于权函数 的正交多项式是1 ,1211x切比雪夫多项式，因此求积公式(5.12)的高斯点是 次1n切比雪夫多项式的零点，即为 ，nknkxk, 1 ,02212c

16、osnkkxfnxxxf1112),(d1)(5.12)的系数 使用时将 个节点公式改为,1nak1nn个节点，（5.13）2)12(cosnkxk于是高斯-切比雪夫求积公式写成 27由(5.9)，余项 ，)()!2(22)2(2nnfnfr 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分. （5.14）).1 , 1(. )(d)(011nkkkxfaxxf（5.9）28 例例7 7用5点( )的高斯-切比雪夫求积公式计算积分 5n.d1e112xxix 解解51cos1012e5kki由(5.14)式，误差 e!1029fr,e)(,e)()2(xnxxfxf这里当 时由公式(5.13)5n可得 .

17、977463.3.106.49nkkxfnxxxf1112),(d1)(（5.13）2)12(cosnkxk，)()!2(22)2(2nnfnfr（5.14）).1 , 1(294.6 数数 值值 微微 分分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值. 30 4.6.1 中点方法与误差分析中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式 ,)()()(hafhafaf其中 为一增量，称为步长步长. . h,)()()(hhafafaf（6.1），hhafhafaf2)()()(31 后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均.

18、但它的误差阶却由 提高到 )(ho).(2ho 较为常用的是中点公式. 为利用中点公式 hhafhafhg2)()()(计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析. 分别将 在 处做泰勒展开有 )(hafax 32 )(!5)(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432afhafhafhafhafhafhaf代入中点公式得 )(!5)(!3)()()5(42afhafhafhg 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确， 其中 . )(maxxfmhax 且,6)()(2mhhgaf（6.2）33 再考察舍入误差. 按中点公式，当 很小时，因 与 很接近，直接

19、相减会造成有效数字的严重损失. h)(haf)(haf 因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的. 例如，用中点公式求 在 处的一阶导数 xxf)(2x.222)(hhhhg取4位数字计算. 结果见表4-8(导数的准确值 ). 353553.0)2(f343000.00001.03500.0005.03535.01.03000.00005.03500.001.03564.05.03500.0001.03530.005.03660.01)()()(hghhghhgh8-表4 从表4-8中看到 的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差. 1.0h则计算 的舍入误差上界为 )(af

20、 这是因为当 及 分别有舍入误差 及 )(haf)(haf1，2,2)()()(21hhhgafaf,max21若令35它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的. h)(af 用中点公式(6.1)计算 的误差上界为 )(af ,6)(2hmhhe要使误差 最小，步长 不宜太大，也不宜太小. )(heh其最优步长应为 ./33optmh（6.1）.2)()()(hhafhafaf36 4.6.2 插值型的求导公式插值型的求导公式 对于列表函数 :)(xfy nnyyyyyxxxxx210210运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似. )(xpyn 由于多项式的求导比较容易，我们取 的值

21、作为 的近似值，这样建立的数值公式 )(xpn)(xf )()(xpxfn（6.3）统称插值型的求导公式插值型的求导公式. 37 即使 与 的值相差不多，)(xf)(xpn与导数的真值 仍然可能差别很大.)(xf 导数的近似值 )(xpn 因而在使用求导公式(6.3)时应特别注意误差的分析. 依据插值余项定理，求导公式(6.3)的余项为 )()!1()()()(1)1(xnfxpxfnnn式中 . )()(01niinxxx),(dd)!1()()1(1nnfxnx)()(xpxfn（6.3）38 但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中kx 由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ，

22、xx误差是无法预估的. 因式 变为零，这时余项公式为)(1knx).()!1()()()(1)1(knnknkxnfxpxf（6.4） 下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的. 39 1. 两点公式 设已给出两个节点 上的函数值10, xx),(),(10 xfxf).()()(101001011xfxxxxxfxxxxxp对上式两端求导，记 ，有 hxx01),()(1)(101xfxfhxp做线性插值 于是有下列求导公式： ).()(1)();()(1)(01110101xfxfhxpxfxfhxp40利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是 );(2)()(1)(010fhx

23、fxfhxf ).(2)()(1)(011fhxfxfhxf ).()!1()()()(1)1(knnknkxnfxpxf（6.4）41 2. 三点公式 设已给出三个节点 上的函数值，hxxhxxx2,02010做二次插值 )()()()(02010212xfxxxxxxxxxp)()()(1210120 xfxxxxxxxx),()()(2120210 xfxxxxxxxx令 上式可表示为 ,0thxx42).()1(21)()2()()2)(1(21)(21002xfttxfttxfttthxp两端对 求导，有 t，)()12()()44()()32(21)(21002xftxftxfth

24、thxp（6.5）式中撇号（）表示对变量 求导数. x43);()(4)(321)(21002xfxfxfhxp 分别取 得到三种三点公式： ,2, 1 ,0t);()(21)(2012xfxfhxp).(3)(4)(21)(21022xfxfxfhxp带余项的三点求导公式为 );(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf );(6)()(21)(2201fhxfxfhxf （6.6）44其中的公式(6.6)是中点公式， 它比其余两个三点公式少用了一个函数值. 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式： )(xf)(xpn, 2 , 1)()()()(kxp

25、xfknk，).(3)(3)(4)(21)(22102fhxfxfxfhxf 例如，将式(6.5)再对 求导一次，有 t),()(2)(1)(210202xfxfxfhthxp ).()12()()44()()32(21)(21002xftxftxfththxp45于是有 ).()(2)(1)(111212hxfxfhxfhxp 而带余项的二阶三点公式如下： ).(12)()(2)(1)()(211121kfhhxfxfhxfhxf （6.7）46 4.6.3 利用数值积分求导利用数值积分求导 微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分. 设 是一个充分光滑的函数，)(xf,

26、1 ,0nabhnk, 1, 1d)()()(1111nkxxxfxfkkxxkk，（6.8）对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式. ,),()(khaxxfxk则有47 例如，用中矩形公式(1.2)，则得 ).,(),()2(241)(2d)(11311 kkkkkxxxxhxhxxkk从而得到中点微分公式 ).(62)()()(211kkkkfhhxfxfxf 若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有 ),(90)()(4)(3d)()4(51111kkkkxxhxxxhxxkk).,(11kkkxx).2()(bafabr（1.2）, 1, 1d)()()(11

27、11nkxxxfxfkkxxkk，（6.8）48略去上式余项，并记 的近似值为 则得到辛普森数值微分公式 )()(kkxfx,km.1, 1)()(341111nkxfxfhmmmkkkkk，这是关于 的 个方程组，nmmm,101n 已知，)(nnxfm)()()()()()()()()()(41141141142331313300231221nnnhnnhhhnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfmmmm（6.9）),(00 xfm若 则可得49这是关于 的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解(见第5章5.4节). 11,nmm 如果端点导数值不知道，那么对(6.

28、9)中第1个和第 个方程可分别用 及 的中点微分公式近似，1n)(1xf )(1nxf).()(21),()(2101021xfxfhmxfxfhmnn然后求22,nmm即为 的近似值. )(,),(22nxfxf即取)()()()()()()()()()(41141141142331313300231221nnnhnnhhhnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfmmmm（6.9）50 例例8 8给定 的一张数据表(表4-9左部)，xxf)(并给定 及 的值(见表4-9). )100(f )105(f 解解.24538260.029560227.029704785.024851482.0

29、41141141144321mmmm解之得),4,3,2, 1( imi 利用辛普森数值微分公式求 在)(xf104,103,102,101x上的一阶导数. 结果见表4-9. 根据(6.9)有 5104879500302469507710105504902903300490290330198039031010440492664630049266463014889157101033049507376004950737700995049410102204975186004975185900498756210101105000000000000000101000.)(xfm)(xfx)f(xxkkkkkk