求轨迹方程的常用方法

1、高二（上）求轨迹方程的常用方法姓名（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛 物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹 方程。2. 直译法：如果动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x, y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动匚P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x, y与该参数t的函数关系x=

2、 f （t）,y= g （t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x, y ）= 0。4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P （x, y），用（x, y）表示 出相关点P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5:交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

3、一：用定义法求轨迹方程例1:已知心ABC的顶点A, B的坐标分别为（-4 , 0）, （4, 0）, C为动点，且满足5sin B si nAsi nC,求点C的轨迹。4【变式】：已知圆.：-4 - ,的圆心为M,圆.I? - . I的圆心为 M, 动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：条线段两个端点 A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a , AM=b , 求AB中点M的轨迹方程？【变式】：动点P (x,y)到两定点A (- 3,0)和B( 3,0)的距离的比等于 2 (即J-PA- 2 ),|PB|求动点P的轨迹方程?三：用参数

4、法求轨迹方程求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的此类方法主要在于设置合适的参数, 取值范围。例3.过点P (2, 4)作两条互相垂直的直线I i, 12，若I i交x轴于A点，I 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例4点B是椭圆冷 2=1上的动点，A2a,0)为定点，求线段AB的中点M的a b【变式】如图所示，已知 P(4, 0)是圆x2+y2=36内的一点,APB=90 °，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程A、B是圆上两动点，且满足/轨迹方程。五、用交轨法求轨迹方程2 2例5.已知椭圆 笃+爲=1(a>b>o)的两个顶点为

5、 A(a,0), A2(a,0),与y轴平行的直 a b线交椭圆于 Pi、P2，求AiPi与AP2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程2例6.已知椭圆 y2 =1，2(1 1 (1) 求过点P 1，丄i且被P平分的弦所在直线的方程;<2 2丿(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过A 2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;练习1.在AABC中，B, C坐标分别为(-3 , 0), (3, 0),且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是.2两条直线x-my-1=0与mx+y-1=0的交点的轨迹方程是_.2 23已知圆的方程为(x-1) +y=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的

6、中点 M的轨迹方程是 2 24当参数m随意变化时，则抛物线y = x +(2m + 1)x + m -1的顶点的轨迹方程为 5：点M到点F( 4,0)的距离比它到直线x + 5 = 0的距离小1，则点M的轨迹方程为 6：求与两定点0(。1，0、A(3, 0 )距离的比为1: 2的点的轨迹方程为 2A、B两点，动点C7抛物线y =4x的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于在抛物线上，求 ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F ( 1, 0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线y = x2 - 4x 6交于A、B两点，求线段 AB的中点M的轨迹

7、方 程。高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例1:已知MBC的顶点 A, B的坐标分别为（-4 , 0） , （ 4, 0） , C为动点，且满足5sin B si nAsi nC,求点C的轨迹。455【解析】由 sin B sin A sin C,可知 b a c = 10，即 | AC | | BC | = 10，满足椭 442 2圆的定义。令椭圆方程为 务与=1，则a' = 5, c= 4= b' = 3，则轨迹方程为a b2 2x y =1（ x =二5），图形为椭圆（不含左，右顶点）。259【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离

8、等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式1 : 1:已知圆（盟+ 4尸亠，=石的圆心为m,圆Q 4严+八1的圆心为M, 动 圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得：工丨， -二丨1。| PMi | -5 -I PM3 I -b I PMl I -1PM31-4。动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支，c=4, a=2, b2=12。故所求轨迹方程为 '-2:一动圆与圆 O x2 y2 = 1外切，而与圆 C

9、： x2y2-6x8 = 0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支MO 匸 R+1【解答令动圆半径为R,则有1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。 故选DbJMC |=R-1二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2: 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求 AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为（x, y）由平几的中线定理：在直角三1 1角形 AOB 中，OM= AB 2a 二 a,2 2：22 2 2 2. x y =a,x y =aM点的轨迹是以 O为圆心，a为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM=AB

10、这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下2列几种情况：1) 代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2) 列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。3) 运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4) 借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的

11、方法是求动点轨迹的重要方法【变式2】：动点P( x,y)到两定点A(- 3,0)和B( 3, 0)的距离的比等于 2(即J-PA = 2 ),|PB|求动点P的轨迹方程？【解答】|FA|= . (x 3)2 y2,|PB|=，；(x-3)2 y2代入2 2 2 2=2= (x 3) y =4(x_3) 4y|PA| _2得(x_3)2_y2|PB寸(x-3)2 y2化简得(x-5) 2+y2=16，轨迹是以(5, 0)为圆心，4为半径的圆 三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P (2, 4 )作两条互相垂

12、直的直线 l 1, I2,若l 1交x轴于A点,l 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。* /h【解析】分析1 :从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线 丨1引Z发的，可设出丨1的斜率k作为参数，建立动点 M坐标(x, y)满乩< 足的参数方程。Z解法1 :设M(x, y),设直线1 1的方程为y 4= k (x 2),°(k 工0)1由h - 12,则直线12的方程为y - 4(x -2)k4l1与x轴交点A的坐标为(2 - - ,0),k212与y轴交点B的坐标为(0,4),k M为AB的中点，x k = 2k (k为参数)24 -yk =22k消去 k, 得

13、x + 2y 5 = 0。另外，当k = 0时，AB中点为M( , 2),满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M( 1, 2)，也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x + 2y 5 = 0。分析2:解法1中在利用kk2= 1时，需注意k、k2是否存在，故而分情形讨论，能 否避开讨论呢？只需利用厶 PAB为直角三角形的几何特性：1|MP| |AB|2解法 2:设 M( x, y),连结 MP 则 A (2x, 0) , B (0 , 2y), |1丄|2 , PAB为直角三角形1由直角三角形的性质,| MP | AB|2.(x-2)2 (y-4)2 # ；(2x)2(2y)2化简

14、，得x + 2y 5 = 0,此即M的轨迹方程。分析3:设M(x , y),由已知丨1丄丨2 ,联想到两直线垂直的充要条件： k1k2= 1,即 可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由 M为AB的中点， 易找出它们的坐标之间的联系。解法 3 :设 M (x , y) , / M为 AB 中点， A (2x , 0) , B ( 0 , 2y)。又 I 1 , I2过点 P (2 , 4),且 |1 丄l2- PA丄 PB,从而 kPA - kPB= 1 ,而kPA4 -02 2xkPB4 - 2y2 -044 2y = 一1，化简，得 X 2y 一5 =02 -2

15、x 2注意到丨1丄x轴时，I2丄y轴，此时A (2 , 0) , B (0 , 4) 中点M( 1, 2),经检验，它也满足方程 x+ 2y 5= 0 综上可知，点 M的轨迹方程为x+ 2y 5= 0。【点评】1)解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2, 3为直译法，运用了 kPA- kPB=11, | MP | AB |这些等量关系。2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角 度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O: x2 +y2= 4

16、外一点A (4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以 OM丄BC, 所以 |OM | 2 + |MA |2 = |OA | 2 ，即（x2 +y2）+（x -4 ）2 +y2 =162 2 化简得：（x - 2） + y =4由方程与方程x2 - 22 2（x- 2）+ y =42为半径的圆在圆 O解法二：“参数法”设点M的坐标为（ 由直线与圆的方程得（+y = 4得两圆的交点的横坐标为 （0< x v 1）。所以 内的部分。的轨迹是以（2,1，所以点M的轨迹方程为0）为圆心，x,y)，B1+k

17、2) x2(X1,y1)2-8k x+16k,C(X2,y2)直线 AB2- 4=0(*),的方程为y=k(x - 4),由点M为BC的中点，所以x1 x2x=-24k21 k2（1）, 又0M丄BC，所以kJx由方程（1） （2）2 2 2 1消去k得（x- 2） + y =4,又由方程（* ）的厶0得k < ,所以x v 1.3所以点M的轨迹方程为（x - 2） 2+ y2 =4 （ 0< x v 1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心, 2为半径的圆在圆 O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程x2例4点B是椭圆2a2y2 =1上的动点，A2a,0）为定点，求线段AB的中点

18、M的b轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A B、M其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是 有规律的，显然 M的运动是由B的运动而引发的，可见 M B为相关点，故采用相关点法求 动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（xo，yo） AB中点，可得2 J2 yx0 =2x 2a0 =2y则由M为线段2X。2a即点B坐标可表为（2x - 2a, 2y）2 2又；点B（x°，y）在椭圆务1上a b2 2 2y。(2x-2a)(2y),0T =1 从而有 221,整理，得动点m的轨迹方程为 g 书邛bab【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量

19、关系【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程足/ APB=90所求的轨迹上运动【解析】： 设AB的中点为 R,坐标为(x,y)，则在Rt ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在2 2 2 2 2Rt OAR 中，|AR| =|AO| - |0R| =36 - (x +y )又 |AR|=|PR|=, &二4)2y2所以有(x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y2- 4x- 10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在设Q(x,y), R(xi,yi

20、)，因为R是PQ的中点，所以 沪二,屮0,2 2代入方程x2+y2- 4x- 10=0，得(X 4)2(y)2 _4 X 4 -10=02 2 2整理得x2+ y2=56,这就是所求的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程六、用点差法求轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为厂22xi +2y： =2,xf 2yf =2,片 x2 =2x,yi y2y,M Xi, yi , N X2, y2 ,线段 MN 的中点 R x, y，则一得 Xi X2 Xi - X2 2 yi y2 比 - y? = 0 由题意知 = x2，则上式两端同除以 -x2，有Xi

21、 X2 2 yi y2 上生=0 ,捲一 x2将代入得X 2y=0 .捲一 x2(i)将x = , y = 代入，得“ y2 _ _ i ,故所求直线方程为：2x 4y -0 .22Xi -X22ii将代入椭圆方程 x2 2y2得6y2 -6y 0 ,厶=36-4 60符合题意，442x 4y -3 =0为所求.（2 ）将匚上=2代入得所求轨迹方程为：x 40 （椭圆内部分）% _x2（3）将 肛土 二上1代入得所求轨迹方程为： x2 2y2 _2x_2y = 0.（椭圆内部分） x 一 x? x 2练习【正确解答】ABC为三角形，故A,B,C不能三点共线。轨迹方程里应除去点（5,0）（-5,

22、0）,2 2即轨迹方程为y 1（X = _5）25162两条直线x -my -1 =0与mx - y -1 =0的交点的轨迹方程是 【解答】：直接消去参数 m即得 佼轨法）：x2 y2 - x - y = 03:已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点 O作圆的弦0A，则弦的中点 M的轨迹方程是【解答】：令M点的坐标为（x, y）,则A的坐标为（2 x,2y）,代入圆的方程里面1 2 2 1 得：（x - 一）y = _（x = 0）244:当参数m随意变化时，则抛物线y2 2二x亠i 2m T x m - 1的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x, y分别用已有的参数 m来

23、表示，然后消去参数 m.便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为| x m <2丿1 5它的顶点坐标为 x - -m, y - -m2 43 消去参数m得：y = x -4故所求动点的轨迹方程为 4x-4y-3 = 0。5:点M到点F （4, 0）的距离比它到直线 x ' 5=0的距离小1,则点M的轨迹方程为【分析】：点M到点F （4, 0）的距离比它到直线 x - 5=0的距离小1,意味着点M到 点F （4, 0）的距离与它到直线 x -4=0的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M的轨 迹方程。【解答】：依题意，点M到点F （4, 0）的距离与它到直线 X二-4的距离相等。则点 M 的轨迹是以F （4, 0）为焦点、x - -4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y2二16x。6：求与两定点O Oi, 0、A3, 0距离的比为1:【分析】：设动点为P，由题意 PO二丄，则依照点|PA 22的点的轨迹方程为P在运动中所遵循的条件，可列出等量【解答】：设P x，y是所求轨迹上一点，依题意得PO 1PA 一2关系式。/ 2 + 21由两点间距离公式得："X y = _32 y22化简得：x2