求轨迹方程的方法

1、§ 2.1曲线与方程典例剖析一*知识点一直接法求曲线的方程已知线段AB的长度为10,它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动， 则AB的中点P的轨迹方程是.解析 设点P的坐标为(x , y),贝U A点坐标为(2x,0) , B点坐标为(0,2y).由 两点间的距离公式可得(2x) 2 + (2y) 2= 10,即(2x) 2 + (2y) 2= 100,整理、化简得x2+ y2= 25.答案 x2 + y2= 25知识点二代入法求曲线的方程八二已知 ABC的两顶点A、B的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y = x2+ 3上运动，求 ABC重心的轨迹方程.分析 由重心坐

2、标公式，可知 ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标 表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y= x2 + 3上运动，故重心与C相关联.因 此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 y二x2+ 3即可.解 设G(x, y)为所求轨迹上任一点，顶点 C的坐标为(x ', y')，则由重 心坐标公式，得0+ 6+ x'30+ 0+ y'3x '= 3x 6, y'= 3y.顶点 C(x', y')在曲线 y = x2+ 3 上, 3y= (3x 6)2+ 3, 整理，得 y = 3(x 2)2+ 1,2故所求轨迹方程

3、为y=3(x 2) + 1.知识点三定义法求曲线的方程八设A(1,0) , B( 1,0)，若动点M满足kM/2k m尸一1,求动点M的轨 迹方程.解 如图所示，设动点M的坐标为(x , y) 由题意知：MALMB.又因为原点0是AB的中点，1所以，|M0|=, |AB|=1，所以，动点M在以0（0,0）为圆心，|MO|为半径的 2圆上.根据圆的方程的定义知：方程为 x2+y2=1.又因为动点M不能与点A，B重合，所以，x工土 1， 所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1 （x工土 1）.知识点四参数法求曲线的方程八；"已知定点P（a，b）不在坐标轴上，动直线I过点P,并分别交x轴，

4、y轴于点A，B,分别过A，B作x轴，y轴的垂线交于点M求动点M的轨迹方程.解 设M（x，y），并设I : y b= k（x a），由题意知k存在，且 0，则得A（a b，0），B（0，b ak），又AM BM分别是x轴，y轴的垂线，得 M（a匚，b kkak）.f bx = a，即k'消去参数k，y = b ak，得 xy ay bx= 0.所以动点M的轨迹方程是xy ay bx= 0.知识点五交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是（x, y） = 0和f2（x，y） = 0,它们的交点是 P（xo，yo），证明：f 1（x , y） +入f 2（x , y） = 0的曲线也经过P点（

5、入 R），并求经 过两条曲线x2+ y2 + 3x y = 0和3x2 + 3y2+ y= 0的交点的直线方程.解 T P（x°, y°）是两曲线的交点， f 1（x0, y°） = 0, f2（x0, y°） = 0,二f 1（x0, y。）+ 入 f 2（x0, y。）= 0.即方程f 1（x, y） +入以x, y） = 0的曲线经过P点.x2+ y2 + 3x y = 0,3x + 3y + y=0, 33得 9x 4y= 0.即过两曲线的交点的直线方程为 9x 4y= 0.考点赏析1. (福建高考)如图，已知点F( 1,0 )，直线l:x=-1

6、,P 为平面上的动点，过P作 直线I的垂线，垂足为点Q且QP 2 QF =fp 2 FQ .求动点P的轨迹C的方程解方法设点P(x，由PQ dF= Fp2 FQ 得：（x + 1,0）2（2，- y） = （x 1，y）2（ 2，y）， 化简得c： y = 4x.方法二 由 Qte QF= Fp2 FQ得：(Pb(附 PF)=0， pF pF»2( pQpF)=o， pQ弗-弗=o， | pQ = ipF.所以点P的轨迹C是抛物线， 由题意，轨迹C的方程为： y2 = 4x.2. (陕西高考)如图所示，A(2, 1)三动点 D, E，M满足 AD =t AB BE = t BC，B（

7、0，-1），C（-2, 1）；DM =t DE，t 0，1.(1) 求动直线DE斜率的变化范围；(2) 求动点M的轨迹方程.解(1)设 D(xd，yD)，E(Xe, yE)，M(x，y)由 AD =t AB BE =t BC，知（Xd -2，yD -1） = t （-2，-2）Xd= 2t + 2， yD= 2t + 1.同理（Xe_2t，yE= 2t 1.3-1 2t._yE yD_2t 1 （ 2t + 1）.Ik DEDE- XE XD 2t （ 2t + 2） t 0,1，二 kDE 1,1.（2）v tDE- tDE，（x+ 2t 2，y + 2t 1）-1（ 2t + 2t 2,2

8、1 1 + 2t 1）#2=t( 2,41 2) = ( 2t, 4t 2t). x= 2(1 2t),y= (1 2t)2.2 y =扌，即 x2=4y.-1 0,1, x = 2(1 2t) 2,2.所求轨迹方程为x2= 4y, x 2,2主训练#1. 如果命题“坐标满足方程f(x, y) = 0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是()A. 坐标满足f(x, y)二0的点都不在曲线C上B. 曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x, y) = 0C. 坐标满足方程f(x, y) = 0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D. 至少有一个不在曲线 C上的点，其坐标满足f(x, y

9、) = 0答案 D解析 对于命题“坐标满足方程f(x, y)二0的点都在曲线C上”的否定是 “坐标满足方程f (x, y) = 0的点不都在曲线C上”，即至少有一个不在曲线 C 上的点，它的坐标满足方程f(x, y) = 0.2. A ABC中，若B C的坐标分别是(一2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3, 则A点的轨迹方程是()A. x2 + y2= 3B. x2+ y2= 4C. x2 + y2= 9(y工0)D. x2 + y2= 9(xm0)答案 C解析易知B C中点D即为原点O,所以|OA = 3,所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因 ABC中, A B C三点不共

10、线，所以y工0.所以选C.3 .已知A 1,0) ,B(2,4) , ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A. 4x 3y 16= 0 或 4x 3y + 16 = 0B. 4x 3y 16= 0 或 4x 3y + 24 = 0C. 4x 3y + 16= 0 或 4x 3y + 24 = 0D. 4x 3y + 16= 0 或 4x 3y 24 = 0答案 B解析由两点式，得直线AB的方程是y 0 = x+14 0= 2+ 1,即 4x 3y + 4 = 0,线段AB的长度 | AB| =V(2 + 1)2+ 42 = 5.设 C 的坐标为(x, y)，则*353|4x 3y 土

11、410, 即卩 4x 3y 16= 0 或 4x 3y + 24= 0.4. 在下列图中方程表示图中曲线的是()ABClgA+lg)'=OD答案 C解析 对于A,方程x 2 1C. y= 3x 1D. x = 6y - 答案 A解析 设点M的坐标为(x°,y。)，因为点A(0， 1)，点M分PA所成的比为2 : 1,1所以P点的坐标为(3xo,3yo+ 2)，代入曲线y= 2x2+1得yo= 6x0§,即点M的轨+y2=1表示一个完整的圆.对于B,X2 _y2=(x+y)(x y)=0 , 它表示两条相交直线对于 D,由lgx+lgy=0知xy=1, x>0且

12、y>0.5. 设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B 两点，点Q与点P关于y轴对称，0为坐标原点，若BP =2pa，且0Q_2 AB = 1,则P点的轨迹方程是()A. 3x2+|y2= 1(x>0, y>0)B.2 3 23x -2y 二 1(x>0,y>0)3 22Cqx 3y = 1(x>0, y>0)3 22Dx + 3y = 1(x>0, y>0)答案 D(3y解析 如图所示，若P(x, y)，则Aqx, 0 , B(0,3 y),ab 2x, 3y , 於，3y ,臨(x, y),yQ (-料)*-0

13、_广 3) >3AB= i r，3y , OQ= 1 ,. §x2+ 3y2= 1(x>0, y>0),即为点P轨迹方程.6. 设动点P是曲线y二2x2 + 1上任意一点，定点A(0 , 1)，点M分PA所成 的比为2 ： 1,则点M的轨迹方程是()2 1 2 1A. y= 6x -B. y = 3x + -332 1迹方程是y= 6x - 3.7 点P(a , b)是单位圆上的动点，贝U Q(a + b , ab)的轨迹方程是答案 x2 2y- 1 = 0x = a+ b,222解析 设Qx, y)则丿因为a + b = 1,即(a+ b) - 2ab= 1.所以

14、y= ab.x 2y = 1.所以点Q的轨迹方程是x 2y 1 = 0.y8平面上有三个点 A 2, y) , B(0 , 2) , C(x, y)若ab丄bc，则动点C 的轨迹方程为答案 y2 = 8x解析 AB = |x, 3y ,(0 , %) ( 2, y) = (2，舟),一y ybc = (x , y) (0 , 2) = (x , 2)-因为AB丄BC ,所以AB 2 BC ,所以(2, 2)2( x ,屯=0,即y2= 8x.所以动点C的轨迹方程为y2= 8x.9过点P(2,4)作两条互相垂直的直线丨1、丨2.若丨1交x轴于A点，丨2交y轴 于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程

15、.解方法一设点M的坐标为(x , y). M为线段AB的中点, A的坐标为(2 x, 0) , B的坐标为(0,2 y).丨1丄12 ,且I 1、丨2过点P(2,4),PAX PB, kPA2 kPB= 1.而 kPA=4 02x(x 工1)，kPB4 2y2 0，11(XM 1).整理,得 x + 2y 5= 0(x工 1).当x= 1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4), .线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+ 2y 5 = 0.设M的坐标为(x , y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y) Ji丄12，二 2|PM|=|AB|.而|PM|=、(x _2)

16、1.1曲线与方程对点讲练知识点一曲线的方程与方程的曲线 (y -4)2 ,|AB|=、(2 x)2(2 y)2 , 2 . (x 2) 2 (y 4)2-二.4x2 4y2化简，得x+2y5=0,为所求轨迹方程方法三 TI 1丄12, OALOBOA、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M |MP|=|MO|，点M的轨迹为线段0P的中垂线.4 _ 0 kOP= = 2，OP的中点坐标为(1,2)，2 -01点 M的轨迹方程是 y -2= -_(x -1)，x+2y5=0.2方法四 设点M的坐标为(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)， PAL PB 即 PA 丄 PB， PA 2 PB =0.

17、 ( 2x-2，-4 )2 (-2，2y-4) =0即-2 (2x-2 ) -4 (2y-4) =0化简得：x+2y-5=0.10.设F( 1, 0),点M在x轴上，点P在y轴上，且mN =2mp， 当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程.设 M (a,0 ) ,P(0,b),动点 N (x,y ),贝U mn = (x-a,y ) , MP =(-a,b),PF= (1 , - b).因为 施 2ltp pFl pF,x a= 2a,2所以彳且a b2二0.上述方程组消去a, b,y = 2b,得y2= 4x.所以动点N的轨迹方程为y2= 4,连结PM.PM 丄 PF .讲练学案部分 J

18、：如果曲线C上的点的坐标满足方程 F(X, y) = 0,则下列说法正确的是()A. 曲线C的方程是F(x, y) = 0B. 方程F(x, y) = 0的曲线是CC. 坐标不满足方程F(x, y) = 0的点都不在曲线C上D. 坐标满足方程F(x, y) = 0的点都在曲线C上答案 C解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点 M(x, y)是曲线C上的点，则M 点的坐标适合方程F(x, y) = 0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x, y) = 0,贝U M点不在曲线C上”，此即说法C.x=ia 1特值方法：作如上图所示的曲线C,考查C与方程F(x , y)=x2 -1=0的关系

19、， 显然A、B、D中的说法全不正确.【反思感悟】“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以 这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而 毫无遗漏.设方程f (x, y) = 0的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f (x,y) = 0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是()A. 坐标满足f (x, y) = 0的点都不在曲线C上B. 曲线C上的点的坐标都不满足f(x, y) = 0C. 坐标满足f (x, y) = 0的点有些在C上，有些不在曲线上D. 一定有不在曲线

20、上的点，其坐标满足 f(x, y) = 0 答案 D解析“坐标满足方程f(x, y) = 0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x, y)二0的点不都在曲线C上”是正确的，这意味着一定有这样的 点(xo, yo)，虽然f(xo, yo) = 0,但(xo, yo) ?C,即一定有不在曲线上的点，其坐 标满足f (x, y) = 0.故应选D知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过P(o，- 1)且平行于x轴的直线I的方程是|y| = 1吗？为什 么？(2)设A(2,0) , B(0,2)，能否说线段 AB的方程是x + y 2= 0?为什么？解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的

21、直线I的方程为y = 1，因而在 直线I上的点的坐标都满足|y| = 1,但是以|y| = 1这个方程的解为坐标的点不会 都在直线I上.所表示曲线的一部分.所以|y|=1由方程x+y _2=0知， 当 x=4 时，y= -2.故点(4 , - 2)的坐标是方程x+y -2=0的一个解，但点(4 , - 2)不在线段 AB上. x+y 一2=0不是线段AB的方程.【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验 点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.F列命题是否正确？若不正确，说明原因. 过点A(2,0)平行于y轴的直线I的方程是|x| = 2; 到两坐

22、标轴距离相等的点的轨迹方程是y = x.解9错误.因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线I上，直线I只是方 程|x|=2所表示的图形的一部分.错误.因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 I1和I2，直线I1 上的点的坐标都是方程y=x的解，但是直线I2上的点(除原点)的坐标不是方程 y=x的解.故y=x不是所求的轨迹方程.知识点三证明方程是曲线的方程OjZA 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=± k.证明如图所示，设M(x。，y°)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为| y°|， 与y轴的距离为|x0|，所

23、以| x 0 | 2 | y o|=k，即(x0，y0)是方程xy=± k的解.(2)设点M1的坐标(x i，yi)是方程xy= ± k的解，贝U xiyi=± k，即| x i| 2 | y i|=k.而| xi|、| yi|正是点Mi到纵轴、横轴的距离，因此点 M1到这两条直线的距 离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由(2)可知，xy=± k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.【反思感悟】要证某轨迹的方程为f(x , y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点 M(x0, y0)的坐标都是f(x , y)=0的

24、解，也要证明方程 的任一解(xi , yi)对应的点都在轨迹上.变盍迁移3点M的轨迹已知两点 A(0,1) , B(1,0)，且 |MA = 2|MB，求证:)工 口仏-T 21 2 8方程为 x - I + y+;i=：I 3丿I 3丿9证明 设点M的坐标为(x , y),由两点间距离公式，得 |MA = (x 0)2+ (y 1)|MB = (x 1)2+ (y 0)2又| MA = 2| MB ,- (x 0)2+ (y 1)2=2 .(x 1)2+ (y 0)2.两边平方，并整理得 3x2 + 3y2+ 2y 8x + 3 = 0 ,日4(8_即x -丨+ y+二丨=二 i 3丿i 3

25、.丿94即卜-4丿+ $+3尸9-2 2即 3X1 + 3yi-8X1 + 2yi+ 3= 0,I MA| = (Xi 0)2 + (yi- 1)2 = x1 + y2-2yi+ 1=fqXi + y i + 3xi + 3y i 8xi + 3 + 1=2 (Xi 1)2+ (yi 0)2= 2|MB| 即点M(xi, yi)在符合条件的曲线上. 综上可知：点M的轨迹方程为L訂+ V匕所以轨迹上的每一点的坐标都是方程的解； 设M的坐标(Xi , yi)是方程的解，r2=839'课堂小结：1.称曲线C的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C) 必须具备两个条件:(1

26、)曲线Cf(x , y)=0 的解(纯粹性)；(2)以方程f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C上(完备性).2.设曲线C的方程是f(x , y)=0, 则点P(X0, y。)在曲线C f(x 0, y 0)=0.课时作业一、选择题1. 已知曲线C的方程为x3+ x+ y 1 = 0,则下列各点中在曲线 C上的点是 ( )A. (0,0)B. ( 1,3)C (1,1)D. ( 1,1)答案 B解析点P(xo, y°)在曲线f(x,y)上? f (X0, y°) = 0.2. 已知直线I的方程是f (x, y) = 0,点Mxo, yo)不在I上，贝U方程f(x,y)

27、f(xo, yo) = 0表示的曲线是()A. 直线IB. 与I垂直的一条直线C. 与I平行的一条直线 D .与I平行的两条直线 答案 C解析 方程f (x, y) f (xo, yo) = 0表示过Mxo, yo)且和直线I平行的一条 直线.选C.3. 已知圆C的方程f(x, y) = o,点A(xo, yo)在圆外，点B(x', y')在圆上，则 f (x, y) f (xo, yo) + f(x' , y' ) = o 表示的曲线是()A. 就是圆CB. 过A点且与圆C相交的圆C. 可能不是圆D. 过A点与圆C同心的圆答案 D 解析由点B(x' ,

28、 y')在圆上知f(x', y' ) = o. 由A(xo, yo)在圆外知f (xo, yo)为不为o的常数， 点 A(xo, yo)代入方程 f (x, y) f (xo, yo) = o 成立. 所以f (x, y) f (xo, yo) = o表示的曲线过A点. 因此选D.4. 下列各组方程中表示相同曲线的是()A. y= x,1B. y = x, y 二 x2C. |y| 二 |x| , y 二 xD. |y| 二 |x| , y2二x2答案 D解析 A中y = x表示一条直线，而x= 1表示直线y = x除去(o,o)点；B中y入=x表示一条直线，而y =

29、x表示一条折线；C中|y| = | x|表示两条直线，而 y =x表示一条射线；D中| y| = | x|和y2= x2均表示两条相交直线，故选 D.5. “以方程f(x, y)二o的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的 方程是f (x, y) = o”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 B解析f(x, y)二o是曲线C的方程必须同时满足以下两个条件：以 f(x, y) = o的解为坐标的点都在曲线C上；曲线C上的点的坐标都符合方程f(x,y) =o,故选B.二、填空题 求方程|x| + |y|= 1所表示的曲线C围成的平面区域的面

30、积为 . 答案211解析12方程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形 ABCD如图)，其边长为,2 .方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为2.则a =miy = 0, 12： x + my m-2= 0.1 i与12的交点P在一个定圆上.7 .到直线4x + 3y 5 = 0的距离为1的点的轨迹方程为®>J 1B两点,P是I上满足PA 2 PB =1的点，求点P的轨迹方程.解设P点的坐标为(x，y),又由方程 x2+ 2y2= 4 得 2y2 = 4-x2,4 x2二A、B两点的坐标分别为(x.42x), (x,-字)2 ，13#(0,4 x2字-y)二

31、 1,PA 2 Pfe= 1.丁 y)2(0 ,- 2 2 2 r 2 4 xx y即 y =1 ,_+一= 163又直线I与椭圆交于两点， 2<x<2、x2 y2点P的轨迹方程为+ 3 = 1( 2<x<2).【反思感悟】直接法：根据条件、直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线定义直接确定曲线类型.已知 ABC的一边AB的长为定值4,边BC的中线AD的长为定值3,求顶点C的轨迹方程.解方法一#以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则B点坐标为(4,0).设C点坐标 为(x , y). D为BC边中点， D点坐标为(2x 4 y,x + 4 2 y 2又v |A

32、D|=3 , ()2 + ( -)2 = 92 2化简得(x+4)2+y2=36，即为C点的轨迹方程(点(2,0) , (-10,0)除外).方法二如图，作CB / OD交x轴于B'v D是BC中点，贝U 0助厶BCB的中位线 B' (-4,0)且|B ' C|=6, |AD|=3 ,故C在以B' （-4,0）为圆心，6为半径的圆上. 其方程为（x+4）2+y2=36 （y 半 0）.知识点二 代入法（相关点法）求轨迹方程已知 ABC的两顶点A、B的坐标分别为A（0,0）、B（6，0），顶点C在曲 线y= x2 + 3上运动，求 ABC重心的轨迹方程.分析 由重

33、心坐标公式，可知 ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标 表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y= x2 + 3上运动，故重心与C相关联.因 此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 y二x2+ 3即可.解 设qx，y）为所求轨迹上任一点，顶点 C的坐标为（x'，y'），则由重 心坐标公式，得f _ 0+ 6+ x'| x=3，|x'_ 3x- 6，y_ 0+ 0+ y'y'_ 3y.y_3顶点 qx' ，y'）在曲线 y_x2+ 3 上,2 23y_ （3x 6） + 3，整理，得 y_3（x-2） + 1，

34、故所求的轨迹方程为y_ 3（x- 2）2 + 1.【反思感悟】代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代入相关动点所在曲线 的方程，从而得到所求动点的轨迹方程.此法也称相关点法.已知一条长为6的线段两端点A B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM： M_ 1 : 2,求动点 M的轨迹方程.解15（代入法）设 A（a,0）、B（0，b）、M（x、y），一方面：AB _6，二 a + b _36.1另一方面：M分AB的比为，10+ -b-x，2，b_ 3y.将式代入式化简为:i6+知识点三参数法求轨迹方程Y 已知/ A0圧n3

35、，P，Q分别是/ AOB两边上的动点，若 POQ勺面积3为8,试建立适当的坐标系，求线段 PQ中点M的轨迹方程.解16以0为原点，/ AOB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)贝谢x( x >0)3线0A的方程为y=_x( x >0)射线OB的方程为y= -3设 Pxi ,3 x 1, Q x 2 ,33#亠 1M(x，y).由题意得 x= - ( x i+x2),21又 SA POQ= |OP|2 |OQ|sin6021 223=2x 12x 22=2 ,3.32:x 12 X23X1 +x2 = 2x, 二刘-X2 = 237，X1 X2=8、3,由(x 1 +x2

36、)2 - (x 1 -X2)2=4X1X2， 消去 X1，X2 得 x2 -3y2=8 由于 X1>0，X2>0，故 x>0， 动点M的轨迹方程为X -3y2=8】3 (x>0).【反思感悟】参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、变盍迁移3直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程.过点P(1,5)作一直线交x轴于点A,过点P2(2，7)作直线RA的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上,且BM： MA= 1 : 2,求动点M的轨迹方程. 解 设P2B的直线方程为：y 7= k(x 2)，则RA的方程为：y 5= 1(x 1)，则有

37、 A(5k+ 1,0)、B(0， 2k+ 7).设 M(x,y),则由 BM： MA 1 : 2,得5k + 13，4k+ 143消去k,并整理得12x+ 15y 74= 0.动点M的轨迹方程为12x + 15y 74= 0. 课堂小结：1. 坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同2. 一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x , y),而不要设成 (X1, y1 )或(x' ,y ')等.3. 方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定,一般指将方程 f(x,y)=O化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上 的点,找回属于轨迹而遗漏的点

38、求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹 方程则不必说明.课时作业一、选择题1已知点A( 2,0) ,B(2,0) ,qo,3)，则 ABC底边AB的中线的方程是()A. x= 0B. x= 0(0 w y w 3)C. y= 0D. y= 0(0 w x w 2)答案 B解析 直接法求解，注意 ABC底边AB的中线是线段，而不是直线.所以选B.2.与点A 1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为一1的动点P的轨迹方程 是()A. x2 + y2= 1B. x2+ y2= 1(x工土 1)B. y= 71 x2D. x2+ y2= 9(x工0)答案 Byy解析 设 P(x, y)，则 kP

39、A= x+1, kpB=芝,所以 kpA2 kpB= 2 = 1.x + 1 x 1 整理得x2+ y2= 1,又kPA kpB存在，所以x工土 1.2 2 所以所求轨迹方程为x + y = 1 ( x工土 1)，所以选B.2 '3. 设动点P是抛物线y=2x +1上任意一点，定点A( 0, - 1 )，点M分PA所 成的比为2 : 1,则点M的轨迹方程是(.y= 3x2+A. y= 6x2 3BC. y= 3x2 1D2 1.x= 6y- 3答案 A解析 设点M的坐标为（x,y），点P的坐标为（X。，y °），因点P在抛物线上,即 y°=2xo2+1,由题意-PM

40、MAPM PM =2 MA ,即(x - x o, y-y o) =2(-x, -1 -3y 2 y),所以xxoy _y°-2 x ,-2 2y,xo即y°二 3x,=3y 2,20#因此有：3y 2 = 2 9x2+1,即 y=6x2 _ 1.3A, B.若/ AP44自圆x2+ y2= 1外动点P作该圆的两条切线，切点分别为扌，则动点P的轨迹方程是()A. x2 + y2= 4B. x2+ y2= 22 2x2x2C.4+y = 1D.+y= 1答案B_解析四边形PAO助正方形，故|OP 2.5. 已知点 A(2,0)及原点 O,动点 P 满足(| PA + |PQ)

41、2(| PA |PO) = 1,则点P的轨迹方程是()A 1c1 c3 f3A. x= 4 B . x = 2C . x=4D . x = 2答案 C解析 设 P(x, y)，条件即 |PA2|PO2二 1,3故(x 2)2+y2 (x2+ y2) = 1,化简得 x = 4.二、填空题_6. 方程(x + y 1)x 1 = 0表示的曲线是.答案射线x+ y 1 = 0(x> 1)与直线x = 1解析由(x+ y 1) x 1 = 0 得：x + y 1 = 0,x 1 > 0,1或丿/x1> 0,Nx1 = 0.即 x + y 1 = 0(x> 1)，或 x= 1.

42、所以，方程表示的曲线是射线 x + y 1 = 0(x> 1)和直线x= 1.7. 已知两点M-2 ,0),2,0),点P为坐标平面内的动点，满足| MN | 2| MP |+MN 2 NP = 0 ,则动点P(x,y)的轨迹方程为. .答案 y2= 8x解析 由题意知 MN = (4,0) ,(x + 2 , y), (x 2 , y),所以| 郦=4, | 帀P“(x+ 2)2+ y2, MN NP= 4(x 2), 根据已知条件得4 (x+ 2)2+ y2 = 4(2 x)，整理，得y2= 8x, 所以点P的轨迹方程为y2= 8x.8. 两条直线ax + y+ 1 = 0和x ay

43、 1 = 0(a为参数且a± 1)的交点的轨迹 方程是.答案 x2 + y2 x + y = 0 解析 设两条直线的交点为(X。，yo).=0,=0.axo + yo+1则有 xo ayo 1求出(xo, yo)的方程即为轨迹的方程. 当a= 0时，交点为(1 , 1).当 a0 时，由 axo+ yo+ 1 = 0,y0+ 1代入_ Xo ayo 1 = 0, 彳得 Xo+ yo Xo+ yo= 0, 即交点的轨迹方程为x2 + y2 x + y = 0.同时，点(1 , 1)也适合方程x2+y2 x+ y= 0, 综上可知所求方程为x2 + y2 x + y = 0.三、解答题9

44、. 设圆C: (x 1)2+ y2= 1,过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的 轨迹方程.解 方法一 直接法：如图所示，设 OC为过O的一条弦,14(0<x < 1).P(x, y)为其中点，贝U CP丄OQ设OC中点为M2 0)，方法二 定义法：如图所示，设 OQ为过O的一条弦，P(x, y)为其中点，则111CPL OQ 即/ OPC=90，设 OC中点为 M(,0),所以 |PM|=|OC|=，所以动点22211P在以M(= , 0)为圆心，OC为直径的圆上，圆的方程为(X-) 2+y2=.-24因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(X- 1 1 2 2 1则| Mp=2I oc = 2，由两点间