第8章-梁的应力及强度

1、1建筑力学建筑力学 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力 横力弯曲横力弯曲 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁2建筑力学建筑力学11.1 11.1 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力3弯矩图弯矩图建筑力学建筑力学剪力图剪力图LaaFF纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲FFFa(+)aaFaF(+)(-)-FaaF4建筑力学建筑力学纯弯曲：纯弯曲：梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力，即：梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力，即： 。换句话说，纯弯曲时横截面上有正应。换句话说，纯弯曲时横截面上

2、有正应 力而无剪应力。力而无剪应力。0, 0sFM0, 0sFM横力弯曲：横力弯曲：梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力，即：梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力，即： 。v 研究方法研究方法采用实验法研究梁纯弯曲时截面上的正应力。采用实验法研究梁纯弯曲时截面上的正应力。5建筑力学建筑力学MM实验前提实验前提: :( (a) )小变形小变形, ,在弹性变形范围内在弹性变形范围内( (b) )满足平面弯曲条件满足平面弯曲条件( (c) )纯弯曲纯弯曲( (d) )纵向纤维间无挤压纵向纤维间无挤压6建筑力学建筑力学实验观察实验观察: :现象二：凹边缩短，凸边伸长。现象二：凹边缩短，凸边伸长。现

3、象一：横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。现象一：横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。MM 梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。某一轴旋转了一个角度。7建筑力学建筑力学中性层中性层中性轴中性轴MM中性层：中性层：杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩 短的层面。短的层面。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。8建筑力学建筑力学v 几何方面几何方

4、面MMxbbd oo oo d bb dy yy ddd)(从图上可得：从图上可得：上式表明横截面上任意一点的纵向线应变随着该点在横截面上位置的变化。上式表明横截面上任意一点的纵向线应变随着该点在横截面上位置的变化。应变分布规律：纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。应变分布规律：纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。9建筑力学建筑力学v 物理方面物理方面根据虎克定理得：根据虎克定理得：yEE 上式表明横截面上各点应力的变化规律。对于指定截面而言，上式表明横截面上各点应力的变化规律。对于指定截面而言，E、为常数，所以横截面上任意一点的正应力与该点到中性为常数，所以横截面上任

5、意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，且距中性轴同一距离上各点的正应力均相等。轴的距离成正比，且距中性轴同一距离上各点的正应力均相等。MyzOx10建筑力学建筑力学v 静力方面静力方面yzxOMzyFNMMz 横截面的法向内力元素横截面的法向内力元素dA构成了空间平行力系，这一力构成了空间平行力系，这一力系简化，得到三个内力分量：系简化，得到三个内力分量：0zAANSEdAEydAF0 xF0yM0yzAAyIEdAEyzdAzMMMzMdAyEdAEyydAyMAAAz211建筑力学建筑力学zEIM 由上式可得：由上式可得：zEIM1 上式是描述上式是描述弯曲变形的最基本公式弯曲变形的最

6、基本公式，其中，其中EIz为抗弯刚度，为抗弯刚度，抗弯刚度越大，梁变形的曲率越小，表明梁越不易变形。抗弯刚度越大，梁变形的曲率越小，表明梁越不易变形。zIMy 此式为计算梁在纯弯曲变形时横截面上任意一点的正应力此式为计算梁在纯弯曲变形时横截面上任意一点的正应力公式。其中公式。其中M为横截面上的弯矩，为横截面上的弯矩，y为所求点到中性轴的距为所求点到中性轴的距离，离，Iz为整个截面对中性轴的惯性矩。为整个截面对中性轴的惯性矩。正应力的符号根据弯正应力的符号根据弯曲变形来判定：曲变形来判定：以中性层为界，变形后凸边的纤维受拉，以中性层为界，变形后凸边的纤维受拉，为正值，是拉应力；凹边的纤维受压，为

7、正值，是拉应力；凹边的纤维受压，为负值，是压应力。为负值，是压应力。12建筑力学建筑力学从上式表明：最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。从上式表明：最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。zIMymaxmax若令若令maxyIWzzzWMmax 此式为计算横截面最大正应力公式，此式为计算横截面最大正应力公式，Wz为抗弯截面系数，为抗弯截面系数，是截面的几何性质之一，单位为是截面的几何性质之一，单位为m3。矩形截面：矩形截面：圆形截面：圆形截面：62bhWz323dWz环形截面：环形截面：)1 (3243DWz13建筑力学建筑力学11.2 11.2 横力弯曲横力弯曲 梁的正应力强度条

8、件梁的正应力强度条件纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁。的梁。zIMy前提：前提：细长梁，即梁的跨高比细长梁，即梁的跨高比L/h5时，其误差不大。时，其误差不大。全梁最大正应力为：全梁最大正应力为：zIyMmaxmaxmaxzWMmaxmax或或弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWM（2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定截面的尺寸；确定截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3）求许可载荷求许

9、可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,ZWmaxzWM14例例求图中简支梁跨中截面上求图中简支梁跨中截面上a、b、c三点处的正应力。三点处的正应力。3mq=4kN/m3012050180abcyz解解：梁的剪力图和弯矩图如图所示。跨中截面上的弯矩最大，：梁的剪力图和弯矩图如图所示。跨中截面上的弯矩最大，Mmax=4.5 kNm 。剪力图剪力图6kN6kN弯矩图弯矩图4.5 kNm矩形截面的惯性矩为：矩形截面的惯性矩为：4533310832. 51218012012mmmmbhIz15a点处的正应力为：点处的正应力为：MPaPaIMyzaa94. 610832. 51090105

10、. 4533b点处的正应力为：点处的正应力为：MPaPaIMyzbb86. 310832. 51050105 . 4533c点处的正应力为：点处的正应力为：MPaPaIMyzcc94. 610832. 51090105 . 453316建筑力学建筑力学11.3 11.3 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM 在外荷载一定的情况下，要降低梁截面上的，就必须增大在外荷载一定的情况下，要降低梁截面上的，就必须增大Wz。因此，在材料用量。因此，在材料用量(截面面积截面面积A)一定的情况下，应使其抗一定的情况下，应使其抗弯截面系数

11、弯截面系数Wz与其面积与其面积A之比尽可能的大。之比尽可能的大。（1 1）矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截）矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。面更合理。1 1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：v 选择合理截面选择合理截面17建筑力学建筑力学z（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。18建筑力学建筑力学2 2、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,例如例如T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉边拉边压边压边zzI

12、MyIMy21maxmax21yy即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。宜采用中性轴为非对称轴的截面。宜采用中性轴为非对称轴的截面。19建筑力学建筑力学1 1、载荷尽量靠近支座：、载荷尽量靠近支座：LABF0.5L图M(+)0.25FLLABF0.8L图M(+)0.16FL（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。值。maxM20建筑力学建筑力学2 2、将集中力分解为分力或均布力。、将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L图M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L图M0.125FL21建筑力学建筑力学22建筑力学建筑力学23建筑力学建筑力学3 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小减小跨度，减小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L图M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL图M0.125FL(+)24建筑力学建筑力学v 变截面梁变截面梁 为了发挥材料的潜能，节约材料并减轻梁的自重，可将为了发挥材料的潜能，节约材料并减轻梁的自重，可将梁的横截面设计成变