江苏省苏北七市2020届高三数学二模试卷含答案

1、江苏省苏北七市2020届高三第二次调研测试数学I参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为咼.椎体的体积公式：V锥体1-Sh，其中S为锥体的底面积，h为咼.314小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上一、填空题：本大题共1已知集合 A 1,4, B a 5,7 若A B 4，则实数a的值是 2.若复数z满足 2 i ,其中i是虚数单位，则z的模是 .开皓*ii3 .在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年平均产量是 吨4. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .5. 石头

2、、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局：若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是.6. 在 ABC中，已知B 2代AC.3BC ,则A的值是 在等差数列 a* n N*中，若ai a? a4, as 3,则a?。的值是 .1#&如图，在体积为 V的圆柱。1。2中，以线段。1。2上的点O为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1,V2,则比一V2的值是V9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2 x 2 a2每1 a 0 b 0的左顶点为A，右焦点 b2，为F ,过F作x轴的垂线交双曲线

3、于点P,Q .若厶APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是._ 210在平面直角坐标系 xOy中，点P在直线y 2x上，过点P作圆C ：(x4)y28的一条切线，切点为T若PT PO，则PC的长是 .1、92、53、104、55、26、一2367、158、139、229111 若x 1,则2x的最小值是x 1 x 1解：所求 x 19 x 118(验等).x 1x 1xx12.在平面直角坐标系 xOy中，曲线y e在点P(Xo,e0)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数若点B x0,0 , PAB的面积为3，则X。的值是 .解：PA： y ex0(x xo 1),则 A(x。1,0

4、)，故 S 1 e' 3,得：x。 In 6. 213.图是第七届国际数学教育大会(ICME -7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2),其中OAAA2A2A3A7A81,则A6A7A7A8的值是解：设/ OA7aj14 .设函数f (x),易得：sin故所求log 2 x af(8 x),<2>CJA 13cos(2)sin4270 x 4,若存在实数m，使得关于x的方程f(x)4x8.m有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数 a的取值范围是设四个根分别为：X1,X2, X3,X4，不妨 X1X2X3X4数形结合知：a2, X1X4X2

5、X38, X2(2a,4)2a44a2af(X1)f(X2)222222aX1Xi2X2(8)(8X2)X2i 1X2X22a4令沁2t(2a 1,422a2)，则X:i22t2 16t128 22a 2X2i 1由题意巔知：2a144?2a 2a 1.3、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过124、解答题：本大题共 6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a (cos其中02(1) 求b a a的值；(2) 若 c 1 ,1 .且 b

6、 c / a ,求的值.,sin ), b cos ,s in 44解：()(b a) a abacos cos(4)sinsin(cos(4)12 2.22(2)b( (cos sin ),212(cossinb c ( 2 (cossin)1,2(cos2Jf2因为(b c)/a,故2sin(cossin2整理得：sir1cos22即：2 si n(4)22贝卩：sin(4)22)sin )1)(0, 2)，则:2 2)(cos sin )芯2)sincos (cos sin ) cos25故，因此:4612516. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CAABi,

7、CCi的中点.求证：（1） PQ/平面ABC ;（2）PQ 平面 ABB1A1 .证：（）取AB中点D，连结CD , PD因为P, D分别为ABp AB中点所以 PD /BB1，PD 1 BB12直三棱柱 ABC A1B1C1 中，BB1/CC1, BB1 CC1又 Q为CC1 中点，故 PD /CQ, PD CQ所以四边形PDCQ为平行四边形PQ / /CD又PQ 平面ABC , CD 平面ABC所以PQ /平面ABC ；（2）因为CA CB, D为AB中点所以， AB CD,又由（）1 知： PQ / /CD所以，AB PQ直三棱柱 ABC AB1C1中，AA1 平面ABC又CD 平面AB

8、C，故AA1 CD又 PQ / /CD，所以 AA1 PQ又 AA1 AB A, AA 平面 ABB1A1, AB 平面ABB1A1所以PQ 平面ABBA.17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，2 2（x 3）2 y21，椭圆 E：务占 1（aa b点A在圆C上，右准线与圆C相切.（1）求椭圆E的方程；（2） 设过点A的直线I与圆C相交于另一点 M，与椭圆E相交于另一点 N.当AN 直线I的方程.解:()1圆C中令y 0得：x2a4,c2或4,设椭圆E的焦距为2c由题意知:2,得：c 1,故 b2 a2因此椭圆2J 1；3AN2x4轴重合时，易得:E的方程为:（2）当I与

9、x2a 4, AM与题意不符，舍去;当I与x轴不重合时,my 2,则:AM2 m1x my 22 23x 4y 1228 6m3m2412m42即 N(8 26m ,2)3m 4 3m 412m故ANI 8 6m22(3m4 2)由题意知:23mm213m2412 m(3m"m4)212 m Vm2 13m24m 1则|方程为：x y 20;综上，直线|的方程为：x y 20.18. （本小题满分16分）某公园有一块边长为 3百米的正三角形 ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植花卉方案是：先建造一条直道 DE将厶ABC分成面积之比为2:1的两部分（点D , E分别在边

10、AB, AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM （如图）设AD x , DE y1 , AMy2 （单位：百米）.（）分别求y1 , y2关于x的函数关系式;（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.解：（）由题意知：Ssde1 ADAEsin60°3 xAE 33AE 6242x由 AD 3, AE 3得：x 2,3在厶 ADE中，由余弦定理得： DE 2 AD2 AE 2 2AD AE cos/DAE即: y2 x236660 y X2366, x 2,3x x因为M为DE中点，故AD AE 2 AM2 2平方得：ADAE 2AD AE24AM8#即: x

11、2 36 6 4y；y2 1 x2 3? 6, x 2,3；x2x答：yi x2 32 6， x 2,3 ； y2*366，x 2,3；(2)由()知：yi y2 、x?尊 6等 6，x (2,3)36 12,当且仅当x2 36，即xxx62,3时取等#故 y1y26a, 18 >/2钳63 26（百米）22 2答：当AD 6时，两条直道的长度之和最小，最小值为19. (本小题满分16分)设函数f(x)在xo处有极值，且f(Xo) X。，则称xo为函数f(x)的“ F点”.(1) 设函数 f(x) kx2 2lnx( k R ). 当k 1时，求函数f (x)的极值； 当函数f (x)存

12、在“ F点”，求k的值；32(2) 已知函数g(x) ax bx cx( a，b，c R，a 0 )存在两个不相等的“ F点” x,X2，且g(x) g(x2)1，求a的取值范围.#解：() f(x) x2 2ln x, x (0,), f '(x)2(x 1)(x 1)xf'(x)f (x)(0,1)10极小值(1,)故f (x)极小值f(1) 1,无极大值;22(kx 1) f'(x), x (0,)x当k 0时，f '(x)0, f (x)在定义域上递减，无极值,k 0；令 F(x)x 2ln x 1,2lnx 0,F '(x)12ln0,故 F(

13、x)在(0,)递增又 F(1)(2)由题意知： 由题意知：X1,X2为方程g(x)0,故 f(G)3ax2g'(x) g(xjx1,3ax2bxgX)21,解得:c 0的两个不相等的根为2lnX2bx cxk 1；x-i，x2c 0时，易得:则 g( 3b a(g(xj gX)c 0时,故方程0,X1,X223ax 2bxX1,29aX1xbx c 11 a2b 33a)X的两个不相等的根2b3a2,0故2b3b, c 3(cg(xj综上，a 2,0)-则c 0与方程ax21),得：b 0,21x22a10的两个不相等的根0同解，又a 02，此时,x1'2a 2,0)；12a2

14、0.（本小满分16分)解:在等比数列(1)(2)(3)1an中，已知a1 1 , a4设数列bn的前n项为Sn，且b 1 , an bn8求数列an的通项公式;证明：数列匕an是否存在等差数列的等差数列(1)因为ai所以an（2）因为an是等差数列.Cn，使得对任意；若不存在，请说明理由.1,a4bn两式相减，所以bn 1都有SnCnan ?若存在，求出所有符合题意1，所以8a4ain2 ,所以an 1bn可得bn 1anbnIbn n2 ,2ibnanan 1ibn所以2nbn12n1bn1n2，即 bn 1tnan 1an当n2时，a2b21,所以b 1222所以b2011 ,a2a112

15、所以d 1bn1对任意n N*恒成立，即数列an 1an由（2）可知bn_n 12bn1n 1 n2 ,ann2 ,bnan所以bn是公差为1的等差数列;(3)121 1 n 1 n所以Snan 1bn 1 H HF，即 Sn2 2 2 2n 1 n n 1 Tn-n 1-n0，22 2因为Sn 1Sn所以Sn 1>Sn，当且仅当n 1时，等号成立，且易知若存在等差数列Cn符合题意，则S1< c1< a1，即C1若d 0,当n> 2时,ldld >2，即Sn< 0< an ,1,1 ,设 CnCn 11,1 ，公差为d ,13#S WSn+1，不符题意

16、;所以 Cn 1>1ai> Cn 1，或 Cn+1<1&恒成立,#C10 时,Cn0，所以 Sn< Cn< an，即Cn0符合题意,当C1> 0时,1戸r取 n> log2 ，则an 1< C1cn 1，不符题意,C1当C1< 0时,当n>-时,C1n> n28所以SnG> Ci2n12n 211，则f2n2n3_，2n 11,2 时，f所以当n3时，f n<0，所以f14#2*n51< 0 n N ，即 SnCn> G TT 1 >0，2 2所以Sn> Cn，即C1< 0不符合

17、题意,#综上，当且仅当Cn0时，满足题意.#江苏省苏北七市2020届高三第二次调研测试数学H （附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题.，并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2 :矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵A的逆矩阵A若曲线2xCi :1在矩阵A对应的变换作用下得到4154#另一曲线C2,求曲线C2的方程21 （A）.解：由题意可知 AA010 2a 0 b 0b 00 2a所以 1 ，解得b 1,a2a 1丄，所以矩阵A24#4#设曲线G上的一点P x, y在矩阵A对应的变换

18、作用下得到点R X1,y1 ,01xyxy 禺yX1则11所以1，即一0yxy1-x y1x2y1222因为点P在曲线G上，2x 所以2y1，所以y22X11,4即曲线C2的方程为x2 y21.4#4#B.选修4-4 :坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线 C的方程为 r（r 0），直线丨的方程为cos 2 .设直线l与曲线C相交于A,B两点，且AB 2、7，求r的值.4#解：以极点为坐标原点，以极轴为 x轴非负半轴，建立平面直角坐标系,因为曲线C的方程为 r，所以2 r2，即x2r>0 ,所以曲线C是以原点为圆心，以r为半径的圆,直线I的方程为 cos-,/2，所

19、以 cosncos4sinsin2,整理得 cos sin因为x cos , ysin所以直线I的方程为x圆心0到直线I的距离所以AB 2汀2 d22汀222、7，解得r3.C.选修4-5 :不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x, y,z满足2 2 2x y z2 Z 22x 1 y 1 z2证明:-1 xy1 y2z1 z22.1解：由题意可知，x1 z22xx212yy2 12zz212y2 12z2 12 因为¥ x2x212 x 2 x2涯1 x2 1，当且仅当x 、2 时，等号成立,2同理# - y 12a2y2y_> 2、2y2 ?21 y 1 ' z

20、1当且仅当y,2时，等号成立,2a/2x所以4今仝xx21yy2 1当且仅当x y z 4i 时，等号成立.x 117【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）小丽在同一城市开的 2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是 丄，且是2否休假互不影响若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为 X ,求X的分布列和数学期望解：（1）设发生调剂现象为事件A，4111则 P Ac2-；

21、28（2）由题意可知，随机变量 X的可能取值为0,1,2，PX1441c、，1110，P X 1C4216 24PX2111P X 1 P X 016所以随机变量X的分布列为X012P丄丄51648随机变量X的数学期望E X 0丄1 -2 1113.1641681823.（本小题满分10分）.我们称n（n N*）兀有序实数组x1, x2, , xn为n维向量,nXii 1为该向量的范数.已知n维向量aX1, X2, ,Xn，其中Xi1,0,1 ,i1,2, n.记范数为奇数的n维向量a的个数为An ,这An个向量的范数之和为Bn .（1）求A2和B2的值;（2）当n为偶数时，求An, Bn（用n表示）.23.解：（1）当n 2时，范数为奇数的2维向量有a10,1a20, 1 a31,0 a41,0，所以 A24, B211114 ;（2）当n 2k k N 时，范数为奇数的2k维向量aX1,X2,.,X2k的个数为A2k，因