江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)

1、江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)99时间：120分钟总分：150分99、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。99已知集合A 31,2,5 ,x 2B xR °，则 A B3,1,2C 1,2,51,2991 2i1 i，且cos 4，则侧棱与4A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3等差数列 an中，a§a1020则a11 2a9的值为A-20B-10C10D24(x2)7的展开式中xx的系数为A-280B280C-210D2105攒尖是古代中国建筑中屋顶的

2、一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、已知i为虚数单位，复数，则复数Z在复平面上的对应点位于2z三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主 要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 底面外接圆半径的比为992 1515996已知抛物线y26x的焦点为F ,过点F的直线交抛物线于 A , B两点，且|FA| |FB| 12，则|AB|y .2和函数f X2sin的图象相交，E , F为两个相邻的交点，若EF998执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为A，若从集合A中任

3、取一个元素a，则满足函数99f(x) 2x2 ax 2021在区间2,)内单调递增的概率为92CD9已知A B、C、D四点都在表面积为100 n的球O的表面上，若BC= 4.3，/ BAC= 120°,则球 O内接三棱锥A- BCD的体积的最大值为326410已知圆C:16 ,过点M的轨迹的长度为11F列大小关系正确的是1283A 22'3 2.32B2353.521ln2ln22log 5 3 log8 5已知定义在R上的函数yf(x2)3是奇函数,(2,)时，心 x df (x) 3ln(x 1)0的解集为A (2,) B (1,0) (e,) C(0,2) U(e,(1

4、,0山(2,)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x 013若x 2y 0 ,则z x 3y的最大值是x y 3 014向量a , b满足|a | 1, |b| 2 , a与b的夹角为120，则| 2a b | 2 215已知双曲线C ： 2y 1, (a 0,b 0),点P(xd , y0)是直线bx ay 2a 0上任意一点，若圆a b(x x。)2 (y y。)2 2与双曲线c的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为定义：若数列tn满tn 1 tn足f(tn)f (tn),则称该数列为函数 f(X)的“切线一零点数列”已知函数f(x) x2px q有两个零点-1,2，数列

5、 禺 为函数f(X)的“切线零点数列”，设数列an满足a1anXn 2Xn 1 ,数列an的前n项22和为 Sn，则 S2020 =1721题为必考题，每个试题考生都必三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17.（本小题满分12分）已知函数f（X）sin xcos(x ) cos2 x（1 ）当X ,0时，求出函数f（x）的最大值，并写出对应的 X的值；1（2）ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c，若f（A） -，be 4，求a的最小值218.（本小题满分12分）已知，如图四棱锥P

6、 ABCD中，PA AB AD 2 ,ABCD为平行四边形，ABC -3PA(1)证明：平面 AEF 平面PAD;平面ABCD , E,M分别是BC,PD中点，点F在棱PC上(2)若二面角19.本小题满分12分P AF E的余弦值为，求直线AM与平面AEF所成角的正弦值5面对环境污染,党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识,为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车为了鼓励市卡自动锁定，限制借车，用

7、户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡,民租用公共自行车出行， 同时督促市民尽快还车， 方便更多的市民使用， 公共自行车按每车每次的租用时间进行 扣分缴费，具体扣分标准如下:租用时间不超过1小时，免费;租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分;租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分;租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分;租车时间超过 4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣 2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过 2

8、小时的概率分别是,;租用时间为2小时以上且不超过 3小时的概率分别是,（1 ）求甲比乙所扣积分多的概率;20 (本小题满分12分)2 2 _ 1已知椭圆c：§ y21(a b 0)经过点P 3,-，a b2且离心率e -2(1)求椭圆C的方程;(2)已知斜率存在的直线I与椭圆相交于 A, B两点，点4 3Q,0总满足 AQO BQO，证明：直线I过定3占八、21 (本小题满分12分)1已知函数 f (x) x alnx,(a R)x(1 )讨论函数f (x)的单调性；(2 )已知函数g(x) x2 f (x) 2l nx ax，其中f (x)是f (x)的导函数，若函数g(x)有两个

9、极值点,x2 ,且x, X2 e,求g(x() g(X2)的取值范围(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 (本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，直线|的参数方程为x t (t为参数)以坐标原点为极点,y 4 2t以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为1 COS2(1)求直线I的普通方程和曲线 C的直角坐标方程;(2)设点P在直线I上，点Q在曲线C上，求PQ的最小值23 (本小题满分10分)已知函数f (x) 2x 1 4x 5的最小值为M(1 )求 M ;(2)若正实数a，b，c满足a b c 2M，求：(a

10、 1)2 (b 2)2 (c 3)2的最小值高三数学（理科）参考答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 D 2 D 3 A 4 A 5 A 6 C 7B 8 B 9 C 10 B 11 D12 D【解析】因为函数 f（x 2）3是定义在R上的奇函数，所以函数f（X）的图像关于点（2,3 ）中心对称，且f(2)3，当 x (2,）时，x 24 (x 2)22 (x 2)L 20，当且仅当X 3x 2时取等号，故f （X）0，函数f （x）在（2,）上单调递增，因为函数f （X）的图像关于点（2,3 )中心对称,所以函数f（x）在

11、R上单调递增，不等式f(x)3 ln(x1)0可化为f(x) 3 0 或 f(x) ln(x 1)0 或 ln(x3 01) 0，f(x) ln(x1)0，即0x 2x 0，解得2，f(x) 3ln(x 1)0，即0o'解得0，故不等式的解集为(1,0)U(2,二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13 -11423151,216. 3 220203【解析】f(x)pxq有两个零点2,-f(x) (x1)(x 2)x2f (x)2x1由题意得xn2XnXn2Xn12xn 1Xn 12Xn 11X2222人1 x； 2 2Xn 1X2 4XnX： 2Xn 1人 2Xn1/ an

12、Xnan 1 In斗12Xn 112lnxn 2-一1 2an 又 a 3，数列 anXnI是首项为公比为的等比数列， an 3 2n 1 ,2000、3 (1 2)S202020203 23三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.解：（1）函数f (x) sin xcos(x2cos x1 sin x(空cosx2 2】si nx)22cos x3 . sin xcosx21 . 2 sin x2cos2x、3 . sin xcosx21 2 cos

13、x21 .31( sin2x cos2x)2 221sin (2x)2 62|时，即当x6时'函数f(x)511' x ,0，所以 一 2x6 6 61 sin(2x )1，当 2x -6 6|时，即当x6时'函数f(x)53取最大值；4(2)由题意1f(A) -sin(2A 舌)1，化简得 sin(2A-)2 6 2A (0,),2A 6|时，即当x6时'函数f(x)5|时，即当x6时'函数f(x)52A -6在 ABC中，根据余弦定理，得 a2 b2 b2 c222bccos (b c)33bc18.2c 4,知 bc - c 4，即 a224.当b

14、c 2时，a取最小值为12分(1)证明:PA 平面ABCDPAAEAB AD,且ABCD为平行四边形，ABC 3 ，ABC为等边三角形,|时，即当x6时'函数f(x)5E为BC中点， AE BCAD/BC, AE ADPA ADAE 平面PAD平面AEF平面PAD(2)解：以A为原点，AE, AD,AP所在直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系,则 P(0,0,2), E( .3,0,0),C( ,3,1,0), M (0,1,1)，PC ( -3,1, 2)设 PF PC, (01)，则 F( .3 , ,2 2 )5分 设平面PAF即平面PAC的法向量为n , AP (0,0,

15、1) , AC C，3,1,0) 由 n-i ? AP 0 , m ? AC 0 ,可取 m (1, 、3,0)甲f-f设平面 AEF 的法向量为 n2 , AE ( 3,0,0) , AF (、3 , ,22 )由 n2 ? AE 0 , n2 ? AF 0 ,可取 n2(0,2 - 2,)23(1)壬，解得5| cos m, n2 | 1? n2 1gll 口2丨2J4(1)23(1)23(1)n2(0, 1,2), AM(0,1,1),设 AM与平面AEF所成角为，则sin| cos AM , n2| AM ?n2 | | 1012分19.解：(1)根据题意,2分别记“甲扣分为0分、1分

16、、2分、3分”为事件A,A2,A3,A4，它们彼此互斥，且P(A) 0.4,P(A2)0.4,P(A) 0.1 , P(A4)0.1 ,分别记"乙扣分为 0分、1分、2分、3分”为事件B1, B2 , B3, B4 ,它们彼此互斥，且P(B)0.3 , P(B2) 0.5 ,P(B3)0.1, P(B4)0.1，由题知，事件 A,A2,A3,a与事件23(1)23(1)B , B2 , B3 , B4相互独立，记甲比乙所扣积分多为事件M，则 MA2B1A3B1A3B24B1A4B2A4 B3 ,23(1)23(1)0.40.3 0.10.30.10.50.10.30.1 0.5 0.

17、10.10.29 -6 分(2)根据题的可能取值为：0,1 , 2,3, 4, 5, 6,则P(0)0.4 0.30.12 :P(1)0.40.50.40.30.32,P(2)0.4 0.10.30.10.4 0.50.27 ,P(3)0.40.10.30.10.40.1 0.5 0.10.16 ,P(4)0.4 0.10.5 0.1P(5)0.10.10.10.10.02P(6) 0.10.10.01;9分所以的分布列为：所以 P(M) P(A)P(B1) P(Ab)P(B) P(Ab)P(B2)0.1 0.1 0.1 ,P(A4)P(B1) P(A4)P(B2)P(A4)P(B3)的数学期

18、望:E(20解:(1)所以e2b2a又椭圆联立方程组可得0123456P2 0.27 3 0.16 4 0.15 0.02 6 0.011.9 12 分)0 0.12 1 0.32椭圆C:32X2a，即2 2a 4bb 0的离心率e 22 y b21(a b0)经过点13,，代入椭圆方程可得231了乔1，32a2a14b24b21，解得a24,b223(1)23(1)所以椭圆C的方程为(2)设直线 I 的方程为 y kx m, A(xyj, B(x2, y2)2x 21联立方程组 4 y 1消去y得(1 4k2)x2 8kmx 4m240y kx m16(4k2 m21)0,即 m2 4k2

19、1 ,33434343Xx333333434343Xx33338kmXiX21 4k2 , X1X24 m2 41 4k233434343Xx333333434343Xx3333因为 AQO BQO，所以 kAQ kpQ 0kky1y2kx1 mkx?m0AQBQ434”34343 9分X13X2X1X2333即(kx1m)( x24.34.34.38 33 )(kx2 m)(x1)2kx1x23(m3k)(x1X2)m 03得 2k(4m24)8km(4儿、mk)8 3m(1 4k2)0 10分33化简得m . 3k，直线I的方程为y k(x .3)所以，直线I恒过定点.3,0 12分另解：

20、当I的斜率为0时，满足 AQO BQO当I的斜率不为0时，不妨设直线|的方程为x tyn(t 0) , A %,% B X2,y?联立方程组2y214消去 x 得 t2 4 y2 2nty n2 4 0x ty n所以2n t2 4t2 4 n2 4 0,即 n2 t2 4，y1y22ntt24,y1y2n2 4t2 433434343Xx3333因为 AQO BQO，所以 kAQ kpQ 033434343Xx333333434343Xx3333y2 x43所以 kAQ IBQy20X2X233434343Xx33330又 x1ty1 n, x2ty2n ,所以可得y1X24.3y2 xi&

21、#165; y ty2n y tyin -干 yi y2 0即 2tyi y4、. 3yiy210分0t所以,n 3，直线I的方程为Xty00恒过定点,3,02i解：(i)if (x)的定义域为(0,)，而f (x) i xax2 ax i .2 ，XX2分令 h(x)2 xax i 0，则当a0时，f (x)在(0,)单调递增；当2 a4 0即0 a 2时f(x)在(0,)单调递增；a0当a2时,x2 ax i 0 有两根 Xi - - , X2 、a24综上可知，直线I12分2 2a ： a 4 a a 4a :- a 4 a a 4所以f(x)增区间(0,)，(2，)减区间(2，2综上所述:当a 2时，f(x)在(0,)单调递增，当a 2时，f(x)在(0, ), ( ,)上单调递增，在2 2_4)上单调递减。5分(2)g(x)x2 f (x)2ln x axx2 2ax 2Inx i，则g(x)的定义域为(0,),g(x)2x22a -2(x2 axi)若g(x)有两个极值点Xi,X2，且X, X2 eXX则方程2 Xax i0的判别式2 a彳i40,且 x