第6章误差理论

1、第六章 测量误差理论 内容提要第一节第一节 测量误差概述测量误差概述第二节第二节 精度评定的标准精度评定的标准第三节第三节 误差传播定律误差传播定律第一节第一节 测量误差概述测量误差概述一、测量误差的定义一、测量误差的定义任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测量的真值，并正大小的数值，这一数值就称为该观测量的真值，并以以X表示。设对某量观测表示。设对某量观测n次，其观测值为次，其观测值为L1，L2，Ln，则真误差则真误差i定义如下：定义如下：XLii（i=1,2,3, ,ni=1,2,3, ,n）二、测量误

2、差的来源二、测量误差的来源 ( (一一) )人为因素人为因素 观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，在仪器的对中、整平、照准、读数等方面都会限性，在仪器的对中、整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术熟练程度也会对观测产生误差。同时，观测者的技术熟练程度也会对观测结果产生一定影响。结果产生一定影响。 ( (二二) )仪器因素仪器因素 测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面不可能十分完善，致使测量结果产生误差。方面不可能十分完善，致使测量结果产生误差。 ( (三三)

3、 )外界条件的影响外界条件的影响观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气折光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。折光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。 观测条件:人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。 观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。 粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。三、测量误差的分类例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改

4、正 水准仪视准轴误差i 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差c 操作时抵消(盘左盘右取平均)1.系统误差-在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值、符号上都保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。测量误差按性质分为：系统误差和偶然误差2 2.偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差 。 例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内

5、角之和差，三角形各内角之和l不等于其真值不等于其真值180。用用X表示真值，则表示真值，则l与与X的差值的差值称为真误差（即偶然误差），即称为真误差（即偶然误差），即Xl 四、四、 偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。观测次数越多，这种规律性越明显。 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形的内角之和，个三角形的内角之和，得到得到3583

6、58个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误差，也即真误偶然误差，也即真误差差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i进行分析。分析结果进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。明显。用频率直方图表示的偶然误差统计用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近近,对称于对称于y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在频率直方图

7、中，每一条形的面积表示误差出现在该该区间的频率区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍表现出偶然误差的普遍规律规律 误差统计直方图 0limnn n 21偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； (有界性有界性)（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；）绝对值较小的误差比绝对值

8、较大的误差出现的概率大； (趋向性趋向性) （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同(对称性对称性)（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数测次数n n的无限增大而趋于零，的无限增大而趋于零， (抵偿性抵偿性)即即式中式中 偶然误差的代数和，偶然误差的代数和，偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限无限缩小缩小( (d d 0)0)时，各矩形的时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，顶边就连

9、成一条光滑的曲线，这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分高斯误差分布曲线布曲线”。所以偶然误差具所以偶然误差具有正态分布的特性。有正态分布的特性。误差统计直方图 在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为了鉴定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的了鉴定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的标准。在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量标准。在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。成果的精度。中误差中误差 相对中误差相对中误差 极限误差极限误差 第二节第二节 精度评定的标准精度评定的标准一、中误

10、差一、中误差 设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为1，2，n。则观测值的中误差m为： nm 式中式中 真误差的平方和真误差的平方和，22221n 例例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：误差分别为： 甲组：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙组：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 试计算甲、乙两组各自的观测精度。试计算甲、乙两组各自的观测精度。解: 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 10130811271022222

11、22222 乙乙m6 . 3 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 m m1 1小于小于m m2 2, ,说明第一组观测值的误差分布比较集中，说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：较离散，其精度较低：m m1 1= = 2.72.7 是第一组观测值的中误差；是第一组观测值的中误差； m m2 2= = 3.63.6 是第二组观测值的中误差。是第二组观测值的中误差。mDDmmK1 二、相对中误差二、相对中误差测量工作中，有时仅用中误差还不能完全表达观测结果的精测量工作中，有时仅用中误差还

12、不能完全表达观测结果的精度。还需采用另一种衡量精度的方法，这就是相对中误差或相度。还需采用另一种衡量精度的方法，这就是相对中误差或相对误差，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通常用分子为对误差，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通常用分子为1 1的分数形式表示的分数形式表示 例例 丈量两段距离，丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和和D2=30m，m2=1cm， 试计算两段距离的相对中误差。试计算两段距离的相对中误差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解m2允m3允三、极限误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称

13、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。为极限误差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。 第三节第三节 误差传播定律误差传播定律 在实际测量工作中在实际测量工作中，某些未知量往往不能直接测某些未知量往往不能直接测得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。由于直接观测值含有误差，因而它的函数计算而得。由于直接观测值含有误差，因而

14、它的函数必然要受其影响而存在误差，必然要受其影响而存在误差，阐述观测值中误差与函阐述观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。 现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。 一、线性函数一、线性函数 线性函数的一般形式为：线性函数的一般形式为：Z=k1x1k2x2knxn 式中式中x1、x2xn为独立观测值，其中误差分别为为独立观测值，其中误差分别为m1、 m2mn，k1、k2kn为常数。为常数。 设函数设函数Z的中误差为的中误差为mz，下面来推导两者中误差的关系。为下面来推导两者中误差的关系。为

15、推导简便，先以两个独立观测值进行讨论，则上式为：推导简便，先以两个独立观测值进行讨论，则上式为： Z=k1x1k2x2（）（）若若x1和和x2的真误差为的真误差为x1和和x2，则函数则函数Z必有真误差必有真误差Z即：即：222111xxkxxkZZ由上两式由上两式（）、）（）、）相减可得：相减可得：2211xkxkZ若对观测值均进行了若对观测值均进行了n次观测，可得：次观测，可得： nnxkxkZnxkxkZxkxkZ221122221121221111（）（）将上式等号两边平方求和，并处以将上式等号两边平方求和，并处以n，则得：则得：nxxkknxknxknZ21212222212122 由

16、于由于x1、x2均为独立观测值的偶然误差，因此乘积均为独立观测值的偶然误差，因此乘积x1x2也必然呈现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：也必然呈现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：021211nxxkkimn根据中误差的定义，得中误差的关系式：根据中误差的定义，得中误差的关系式：222221212mkmkmz推广之，可得线性函数中误差的关系式推广之，可得线性函数中误差的关系式22212221212nnzmkmkmkm 二、非线性函数二、非线性函数 非线性函数即一般函数，其形式为：非线性函数即一般函数，其形式为： 式中式中Xi 具有真误差具有真误差i时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产

17、生真误差z。这些真误差都是一个小值，这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。的全微分来表达。为此，求函数的全微分，以真误差为此，求函数的全微分，以真误差“”替代微分的符号替代微分的符号“d”，得：得：nxxfZ 21x,nndxxfdxxfdxxfdZ 2211nnxxfxxfxxfZ 2211nixif , 2 , 1是函数对各个变量所取得偏导数，以观测值代入所算是函数对各个变量所取得偏导数，以观测值代入所算出的数值，它们是常数，因此，上式是线性函数的真出的数值

18、，它们是常数，因此，上式是线性函数的真误差关系式，按线性函数的真误差关系可得：误差关系式，按线性函数的真误差关系可得：22222221212nnzmxfmxfmxfm 应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步：应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步： 1 1）应根据问题的性质列出函数关系式）应根据问题的性质列出函数关系式。nxxfZ 21x,2 2）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值真误）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值真误差之间的关系式。差之间的关系式。nnxxfxxfxxfZ 22113 3）写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式。）

19、写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式。22222221212nnzmxfmxfmxfm 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22 例：量得：地形图上两点间长度例：量得：地形图上两点间长度 68.5mm 0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离S及其中误差及其中误差ms：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式三三.几种常用函数的中误差应用举例几种常用函数的中误差应用举例

20、.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：函数式： 全微分：全微分： 中误差中误差式：式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：当等精度观测时： 上式可写成：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh. 非线性函数的中误差非线性函数的中误差 例1已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D的中误差。应用时应注意几点：应用时应注意几点：1. 上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。2.各项的单位要统一；3.观测值必须是独立的观测值，即函数式等号右边的各自变量