概率论何书元编著答案习题一解答

1、2 .1002 .100件产品中有件产品中有3 3件次品，从中任取两件，件次品，从中任取两件， A“至少有一件次品至少有一件次品”， A“两件都是合格品两件都是合格品”求至少有一件次品的概率。求至少有一件次品的概率。解解 令令0594. 01)(1)(2100297 CCAPAP42522)(35231314 CCCAP42516913)(352334 CCBP解解 令令 A“3“3张牌同花色张牌同花色” ” B“3“3张牌相互不同花色张牌相互不同花色”3.3.从一副扑克牌的从一副扑克牌的5252张中无放回地任取张中无放回地任取3 3张，张，求这求这3 3张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。

2、张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。解解 令令 A“3“3张牌互不同号张牌互不同号” ” B“3“3张牌同号张牌同号”4.4.从一副扑克牌的从一副扑克牌的5252张中有放回地任取张中有放回地任取3 3张，张，求这求这3 3张牌互不同号的概率和同号的概率。张牌互不同号的概率和同号的概率。16913252)(318521452152 CCCAP169152)(31414152 CCCBP现在无放回地试开房门，计算现在无放回地试开房门，计算5.5.钥匙串上的钥匙串上的5 5把钥匙中只有一把可以开房门，把钥匙中只有一把可以开房门，（1 1）第三次打开房门的概率。）第三次打开房门的概率。（2 2）三次

3、内打开房门的概率。）三次内打开房门的概率。（3 3）如果）如果5 5把中有把中有2 2把可以打开房门，求三次内把可以打开房门，求三次内打开房门的概率。打开房门的概率。解解 （1 1） 51345134 p iAi, 3 , 2 , 1 i51)( iAP（2 2）令）令“第第次打开房门次打开房门”， 则则，且，且 321,AAA互斥，则互斥，则53515151 p（3 3）因为）因为 ,52)(1 AP,1034523)(2 AP,51102345223)(3 AP1095110352 p6. 6. 有有1515名新研究生随机选择名新研究生随机选择3 3个专业，每个专业个专业，每个专业5 5人

4、，人，计算如果这计算如果这1515名学生中有名学生中有3 3名女生，名女生，（1 1）每个专业各得一名女生的概率）每个专业各得一名女生的概率 （2 2）3 3名女生分在同一专业的概率名女生分在同一专业的概率 解解 (1)(1) 9125! 5 ! 5 ! 5!15/! 4 ! 4 ! 4!12 p(2)(2) 916! 5 ! 5 ! 5!15/! 5 ! 5 ! 2!12 p7.7.直径为直径为1 1的硬币随机地落在打有方格的平面上，的硬币随机地落在打有方格的平面上， 问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的概率小于概率小于0.01.0.01. 解

5、解 假设方格的边长为假设方格的边长为, x硬币的圆心落在方格内硬币的圆心落在方格内是等可能的，则圆心落在如图小方格是等可能的，则圆心落在如图小方格 A中时，硬币中时，硬币 不与网格相交不与网格相交,01. 0)1()(22 xxAP,101xx 910 x1 , 0,ZYX,ZYX中任取三点中任取三点求线段求线段能构成三角形的概率。能构成三角形的概率。解法一（三维）解法一（三维） 两边和大于第三边。两边和大于第三边。构成三角形的充要条件是：构成三角形的充要条件是：1,0),( zyxzyx1)( m,),(xzyyzxzyxzyxA 如图相当于立方体如图相当于立方体 切去三个角，切去三个角，

6、每个角的体积为每个角的体积为 ,6112131 216131)( Am21)( AP解法二解法二 不妨假设不妨假设 , 10 zyx则则 10),( zyxyx,),( ),(zyxyxyxA 212141)(22 zzAPzyx yx zz9. 9. 已知已知2424小时内有两条船相互独立且随机的到达小时内有两条船相互独立且随机的到达码头，它们的停靠时间分别是码头，它们的停靠时间分别是3 3和和4 4小时，如果小时，如果码头码头只能容纳一只船，求后到的船需要等待的概率。只能容纳一只船，求后到的船需要等待的概率。解解 设设 yx,分别是两只船到达码头的时间，则分别是两只船到达码头的时间，则24

7、,0),( yxyx34),( xyyxyxA或或115231124)2021(2124)()(2222 mAmp 也是也是上事件域。上事件域。 F, F10. 10. 设对每个实数设对每个实数是是上事件域，证上事件域，证证明证明 令令 , FF 只需证只需证 F满足事件域满足事件域的三个性质的三个性质（1 1） F ,FF （2 2） FFA 对对 FA , FA ,FFA （3 3） FFAj FAj , FAjj1 ,FFAjj 1所以所以 FF 也是也是 上事件域。上事件域。n, 3 , 2层层),(PF F#,# （1 1）写出相应的概率空间）写出相应的概率空间，给出，给出A)(AP

8、（2 2）用）用表示这两个人到达不同的楼层，计算表示这两个人到达不同的楼层，计算解解 （1 1）用）用 ., 3 , 2,njibaji 2) 1(#nF 是是子集的全体，则子集的全体，则 jiba层第二人去层第二人去ij第一人去第一人去层，则层，则2)1(2# nF,FB #)(BBP对对定义定义（2 2）表示两个人到达不同楼层，表示两个人到达不同楼层，A,11)1(1)(2 nnnAP12111)( nnnAPA表示两个人到达相同楼层表示两个人到达相同楼层 12. 12. 两个人下棋，每局获胜者得一分，累计多于两个人下棋，每局获胜者得一分，累计多于 对手两分者获胜，设甲每局获胜的概率为对手

9、两分者获胜，设甲每局获胜的概率为 , p求甲求甲 最终获胜的概率。最终获胜的概率。解（解（1 1）乙胜）乙胜a2 a局，甲要胜局，甲要胜局才算最终获胜，局才算最终获胜， 所以下棋的总盘数是所以下棋的总盘数是 , 22 a为偶数。为偶数。（2 2）甲要最终获胜，最后要两局连胜）甲要最终获胜，最后要两局连胜设下棋的盘数设下棋的盘数 , 22 kn最后两局甲胜，前最后两局甲胜，前 k2局局甲乙各胜甲乙各胜 k局。局。前前 k2局两盘两盘看成一个盒子，每个盒子中放入局两盘两盘看成一个盒子，每个盒子中放入 和和V,X表示甲先赢后输，表示甲先赢后输，VX表示甲先输后赢，表示甲先输后赢，种，所以种，所以k2

10、共有共有则每个盒子有则每个盒子有2 2种种, , 02)2(kkkkqppp222qpp pqp2112 02)2(kkpqp)1( qp13. 13. 甲、乙二人比赛，如果甲胜的概率甲、乙二人比赛，如果甲胜的概率 ,21 p三局两胜的比赛规则对甲有利，还是五局三胜的三局两胜的比赛规则对甲有利，还是五局三胜的 规则对甲有利？规则对甲有利？解解 设三局两胜下甲取胜的概率为设三局两胜下甲取胜的概率为 ,1p则则 322222123)1(22pppppqppp 设五局三胜下甲取胜的概率为设五局三胜下甲取胜的概率为 ,2p则则345233321015663pppqpqppp 所以所以 0)12()1(

11、32212 ppppp 即五局三胜对甲有利即五局三胜对甲有利 14. 14. 一副眼镜第一次落地摔坏的概率是一副眼镜第一次落地摔坏的概率是0.50.5，若，若 第一次没摔坏，第二次摔坏的概率是第一次没摔坏，第二次摔坏的概率是0.70.7，若第二次，若第二次 没摔坏第三次落地摔坏的概率是没摔坏第三次落地摔坏的概率是0.90.9，求该眼镜落地，求该眼镜落地 三次没有摔坏的概率。三次没有摔坏的概率。 iA眼镜第眼镜第 次落地没有摔坏，次落地没有摔坏，解解 令令 i3 , 2 , 1 i)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 015. 01 . 07 . 05 . 0 15.15

12、.甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用 其中的一根火柴，设每盒火柴中有其中的一根火柴，设每盒火柴中有 n根火柴，求遇到根火柴，求遇到 一盒空而另外一盒剩下一盒空而另外一盒剩下 r根火柴的概率。根火柴的概率。解解 吸烟一次看做一次试验，重复了吸烟一次看做一次试验，重复了 rn 2次，次， 两盒火柴有差别，则两盒火柴有差别，则rnnnrnCp )21()21(22注注 此题改为两盒火柴无差别，此题改为两盒火柴无差别， rnnnrnCp )21()21(216.16.一枚深水炸弹击沉、击伤和不能击中一艘潜水艇一枚深水炸弹击沉、击伤和不能击中一艘潜水艇

13、的概率。的概率。21,31,61的概率分别是的概率分别是和和设击伤该艘潜水艇两次也设击伤该艘潜水艇两次也使该潜水艇沉没，求用使该潜水艇沉没，求用4 4枚深水炸弹击沉该艘潜水艇枚深水炸弹击沉该艘潜水艇解解 令令 A潜水艇未被击中潜水艇未被击中 （四枚全不中或三枚不中且一枚击伤）（四枚全不中或三枚不中且一枚击伤）1296133613)21()61()61()(23344 CAP129612831296131)( APk17. 17. 设一辆出租车一天内穿过设一辆出租车一天内穿过个路口的概率是个路口的概率是, pm为为求这辆出租车一天内遇到求这辆出租车一天内遇到个红灯的概率。个红灯的概率。 ),2

14、, 1 , 0( ,! kkepkk是正常数，如果各个路口是正常数，如果各个路口的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率解解 设设 kBk)2 , 1 , 0( k出租车一天穿过出租车一天穿过个路口，个路口， mAm)2 , 1 , 0( m出租车一天内遇到出租车一天内遇到个红灯，个红灯， )(mAP 则则 （mk 时概率为时概率为0 0） mkkmkBAPBP)()( mkkke! mkmkmkppmkmkke)1()!( ! mkmmkppC )1( mkmkmkmmpmkmep)1()!(1! 0!)1(!lllmmlpmep )1(!

15、pmmemep pmemp !)()2 , 1 , 0( m18. 18. 瓮瓮I I中有中有2 2个白球个白球3 3个黑球，瓮个黑球，瓮IIII中有中有4 4个白球个白球 和和1 1个黑球，瓮个黑球，瓮IIIIII有有3 3个白球和个白球和4 4个黑球，随机选一个个黑球，随机选一个 瓮并从中随机地抽取一个球，发现是白球，求瓮瓮并从中随机地抽取一个球，发现是白球，求瓮I I被被 选到的概率。选到的概率。, i解解 设设 iA3 , 2 , 1 i选中瓮选中瓮 B取白球取白球 31111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP57147331543152315231 19. 19.

16、甲乘汽车、火车的概率分别为甲乘汽车、火车的概率分别为0.60.6、0.40.4，汽车，汽车和和火车正点到达的概率分别为火车正点到达的概率分别为0.80.8、0.90.9，现在甲已经，现在甲已经 正点到达，求甲乘火车的概率。正点到达，求甲乘火车的概率。解解 设设 A甲乘汽车，甲乘汽车， B甲正点到，则甲正点到，则)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 738 . 06 . 09 . 04 . 09 . 04 . 0 1 n)0(nii i20.20.设有设有个口袋，第个口袋，第个口袋中有个口袋中有in 个白球，个白球，个红球，个红球， 先在这先在这 1 n个口袋中任意个

17、口袋中任意选定一个，然后在这袋中有放回地抽取选定一个，然后在这袋中有放回地抽取 r个球，个球， 如果这如果这r个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。 iAni, 2 , 1 , 0 解解 设设选中第选中第个口袋，个口袋，i jBjrj, 2 , 1 第第次抽红球，次抽红球， niiiABPAPBP111)|()()( nininn111 niiiABBPAPBBP12121)|()()(21)(11 nininn niirirABBBPAPBBBP12121)|()()(rnininn)(111 )()()(11111rrrrrBBPBBBPBBBP

18、nirrnirrrnnnrnnn0011)()1(1)()1(1 nirnirrnnrn001)()( A解解 设设机器良好机器良好 21.21.一台机床工作状态良好时，产品的合格率是一台机床工作状态良好时，产品的合格率是%,99机床发生故障时产品的合格率是机床发生故障时产品的合格率是 %,50设每次新开设每次新开 机器时机床处于良好状态的概率是机器时机床处于良好状态的概率是 %,95如果新开如果新开机器后生产的第一件产品是合格品，求机床处于良好机器后生产的第一件产品是合格品，求机床处于良好 状态的概率。状态的概率。 B产品合格产品合格 则则%,99)( ABP%,50)( ABP%,95)(

19、 AP%5)( AP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 50. 005. 099. 095. 099. 095. 0 974. 096559405 nnnkAnk个白球和个白球和一次取一次取个，用个，用表示这表示这个球中恰有个球中恰有个红球个红球个红球，从中个红球，从中)(kAP（1 1）计算）计算nnnkknCC202)( （2 2）证明）证明,mnmnnkknmknCCC 0（3 3）对正整数）对正整数证明证明解（解（1 1） nnknnnknnknkCCCCCAP222)()( （2 2）因为）因为nAAA,10组成完备事件组，则组成完备事件组，则 nkkAP0)(1 nkknnnCC022)(1nnnkknCC202)( m（3 3）假设口袋中有）假设口袋中有个白球，个白球，n个红球，从中一次取个红球，从中一次取n个，令个，令 kBn取到的取到的个球中有个球中有个红球，则个红球，则knBBB,10组成完备事件组组成完备事件组 nkkBP0)(1 nknmnknmknC