河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题 Word版含解析

1、.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家

2、长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学理试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学本卷须知：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

3、稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题1复数z=-3-4ii在复平面内对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2全集U=R，M=x|-x22x那么CUM= A x-2<x<0 B x-2x0C xx<-2或x>0 D xx-2或x03某地某所高中2019年的高考考生人数是2019年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2019年和2019年的高考情况，得到如下柱状图：2019年高考数据统计 2019年高考数据统计那么以下结论正确的选项是A 与2019年相比，20

4、19年一本达线人数减少B 与2019年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C 与2019年相比，2019年艺体达线人数一样D 与2019年相比，2019年不上线的人数有所增加4等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10=100，那么a7的值为A 11 B 12 C 13 D 145fx是定义在R上的奇函数，假设x>0时，fx=xlnx，那么x<0时，fx=A xlnx B xln-x C -xlnx D -xln-x6椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0和直线l:x4+y3=1，假设过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，那么椭圆C的离心率为A 45 B 3

5、5 C 34 D 157如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=2EO，那么ED=A 13AD-23AB B 23AD+13AB C 23AD-13AB D 13AD+23AB8某几何体的三视图如下图，那么此几何体A 有四个两两全等的面B 有两对互相全等的面C 只有一对互相全等的面D 所有面均不全等9赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为?周碑算经?一书作序时，介绍了“勾股圆方图，亦称“赵爽弦图以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的.类比“赵爽弦图，可类似地构造如下图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等

6、边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF=2，假设在大等边三角形中随机取一点，那么此点取自小等边亚角形的概率是A 413 B 21313 C 926 D 3132610函数fx=-ex,x0,lnx,x>0e为自然对数的底数，假设关于x的方程fx+a=0有两个不相等的实根，那么a的取值范围是A a>-1 B -1<a<1 C 0<a1 D a<111双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，假设F1MF2=45°，那么双曲线的渐近线方程为A y=&

7、#177;2x B y=±3x C y=±x D y=±2x12如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，那么sin的最大值为A 22 B 255 C 265 D 266二、填空题13实数x，y满足约束条件x-y+10,2x+y-40,y0,，那么z=x-2y的最小值为_.14数列an，假设数列3n-1an的前n项和Tn=15×6n-15，那么

8、a5的值为_.15由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，那么这样的不同数字代码共有_个.16函数fx=-sin3x+x-2<2的图像关于直线x=2对称，当x-1,2时，fx的最大值为_.三、解答题17如图，在ABC中，P是BC边上的一点，APC=60°，AB=23，AP+PB=4.1求BP的长；2假设AC=534，求cosACP的值.18在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ADE折起，使点A到达点P的位置，如图2. 如图1 如图21证明：平面BCP平面CEP；2假设平面DEP平面BCED，求直线DP与平面BC

9、P所成角的正弦值。19某高校为了对2019年录取的大一理工科新生有针对性地进展教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2019年高考的数学分数进展分析，研究发现这40名新生的数学分数x在100,150内，且其频率y满足y=10a-n20其中10nx<10n+1，nN*. 1求a的值；2请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；3将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分的人数为随机变量，求的数学期望.20抛物线E:x2

10、=2pyp>0的焦点为F，A2,y0是E上一点，且AF=2.1求E的方程；2设点B是上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.21函数fx=eax-x-1aR.1当a=1时，求证：fx0；2讨论函数fx的零点的个数。22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin+2acosa>0；直线l的参数方程为x=-2+22t,y=22tt为参数，直线l与曲线C分别交于M，N两点.1写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；2假设点P的极坐标为2,，PM+PN=52，求a

11、的值.23函数fx=x-2.1求不等式fx+1<xfx+3的解集；2假设函数gx=log2fx+3+fx-2a的值域为R，务实数a的取值范围.:第 7 页2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学理试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，那么答案可求【详解】复数z=-3-4ii=4-3i.对应的点为4,-3，位于第四象限.应选D.【点睛】此题考察复数代数形式的乘法运算，考察了复数的代数表示法及其几何意义，是根底题2C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案【详解】全集U=R，M=x|x22x=x|0

12、x2，UM=x|x0或x2，应选：C【点睛】此题考察的知识点是集合的交集，并集，补集运算，纯熟掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键3D【解析】【分析】设2019年该校参加高考的人数为S，那么2019年该校参加高考的人数为1.5S.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2019年该校参加高考的人数为S，那么2019年该校参加高考的人数为1.5S.对于选项A.2019年一本达线人数为0.28S.2019年一本达线人数为0.24×1.5S=0.36S，可见一本达线人数增加了，应选项A错误；对于选项B，2019年二本达线人数为0.32S，2019年二

13、本达线人数为0.4×1.5S=0.6S，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，应选项B错误；对于选项C，2019年和2019年.艺体达线率没变，但是人数是不一样的，应选项C错误；对于选项D，2019年不上线人数为0.32S.2019年不上线人数为0.28×1.5S=0.42S.不达线人数有所增加.应选D.【点睛】此题考察了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键4C【解析】【分析】由S10=100及公差为2.代入前n项和公示，求出a1=1，得到挺喜欢上，即可求出a7的值.【详解】由S10=100及公差为2.得

14、10a1+10×10-12×2=100,a1=1.所以an=2n-1，故a7=13.应选C.【点睛】此题考察等差数列的根本量计算，属根底题.5B【解析】【分析】设x<0，那么-x>0由奇函数的性质f-x=-fx，求出x<0函数fx的解析式，【详解】设x<0，那么-x>0，所以f-x=-xln-x.又因为fx是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，所以fx=xln-x.应选B.【点睛】此题考察函数的奇偶性的综合运用，属根底题.6A【解析】【分析】直线l的斜率为-34，因为过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，bc=34，由此可求椭圆C的离心率.【

15、详解】直线l的斜率为-34，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以bc=34，又b2+c2=a234c2+c2=a22516c2=a2,，所以e=ca=45，应选A.【点睛】此题考察椭圆的离心率求法，属根底题.7C【解析】【分析】利用向量加法法那么结合图像特点运算即可.【详解】ED=EA+AD=-13AC+AD=-13AD+AB+AD=23AD-13AB.应选C.【点睛】此题考察向量的线性运算，属根底题.8B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可.【详解】几何体的直观图为四棱锥P-ABCD.如图.因为AD=AB，PA=PA，BAP=DAP=90°.

16、所以ABPADP.因为BC平面ABP，所以BCBP.同理，CDDP.因为BP=DP，CD=BC，CP=CP，所以BCPDCP.又ABP与BCP不全等.应选B.【点睛】此题考察三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在ABD中，AD=3，BD=1，ADB=120°，由余弦定理，得AB=AD2+BD2-2ADBDcos120°=13，所以DFAB=213.所以所求概率为SDEFSABC2132=413.应选A.【点睛】此题考察了几何概型的概率计算问题，是根底题10C【

17、解析】【分析】画出函数fx的图像，利用数形结合法可求a的取值范围，【详解】画出函数fx的图像如下图，假设关于x的方程fx+a=0有两个不相等的实根，那么函数fx与直线y=-a 有两个不同交点，由图可知-1-a<0，所以0<a1.应选C.【点睛】此题考察方程的根个数的求参数的范围，考察数形结合思想方法，属于中档题11A【解析】【分析】由双曲线的定义可得F1M-F2M=2a+2b-22a=2a，结合条件可得F2B=BM=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率【详解】如图，作OAF1M于点A.F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2+y2=a2相切，F

18、1MF2=45°，所以OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b.又点M在双曲线上.所以F1M-F2M=2a+2b-22a=2a.整理，得b=2a.所以ba=2.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.应选A.【点睛】此题考察双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考察运算才能，属于中档题12B【解析】【分析】连结EF.可证平行四边形EFGH即为截面. 五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，那么MA1N即为A1M与平面A1B1

19、C1D1所成的角，所以MA1N=.进而得到sin的最大值.【详解】连结EF.因为EF平面ABCD.所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线.过点O作GHBC交CD于点G，交AB于H点，那么GHEF，连结EH，FG.那么平行四边形EFGH即为截面.那么五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，那么MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N=.因为sin=MNA1M，要使的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意.故s

20、inmax=MNA1Mmax=HNA1H=255.应选B.【点睛】此题考察了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考察线面角的求法，属中档题.13-3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得答案【详解】可行域如下图，当直线y=x2-z2经过点A时，z获得最小值.解方程组x-y+1=0,2x+y-4=0,可得点A1,2，所以zmin=-3.故填-3.【点睛】此题考察简单的线性规划，考察数形结合的解题思想方法，是中档题1416【解析】【分析】据题意，得a1+3a2+32a3+3n+1an=15×6n-15，所以当

21、n2时，a1+3a2+32a3+3n-2an-1=15×6n-1-15.两式相减，可求出当n2时，an=2n-1，由此可求a5的值.【详解】据题意，得a1+3a2+32a3+3n+1an=15×6n-15，所以当n2时，a1+3a2+32a3+3n-2an-1=15×6n-1-15.两式相减，得3n+1an=15×6n-15×6n-1=6n-1.所以当n2时，an=2n-1，故a5=16.【点睛】此题考察数列通项公式的求法，属根底题.15120【解析】【分析】10个元素进展全排列共有A1010 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全

22、排列就出现了重复，共重复了A77A33 次，得到不同的排列共有A1010A77A33种结果【详解】10个元素进展全排列共有A1010 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A77A33 次，得到不同的排列共有A1010A77A33=120种结果 故答案为120.【点睛】此题考察在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进展正常排列，后面要除以重复的次数，重复的次数是一样元素的一个全排列164【解析】【分析】据题意知，函数y=x-2的图像关于直线x=2对称，那么曲线y=sin3x+也关于直线x=2对称，可求出fx=-sin3x-6+x-2，再根据函数

23、fx=-sin3x-6+x-2的单调性可求fx的最大值.【详解】据题意知，函数y=x-2的图像关于直线x=2对称，那么曲线y=sin3x+也关于直线x=2对称，所以3×2+=k+2，kZ.所以=k-6，kZ.因为<2，所以<-6.所以fx=-sin3x-6+x-2.又y=-sin3x-6与y=x-2在区间-1,2上都为减函数，所以fxmax=f-1=4.即答案为4.【点睛】此题考察函数单调性和对称性的综合应用，属中档题.171 BP=2;2 cosACP=1-452=35.【解析】【分析】1根据余弦定理直接求BP的长；2由1知，AP=2，所以在ACP中，由正弦定理. 可得

24、sinACP=45. 再判断ACP是锐角， 可得osACP得值.【详解】1由，得APB=120° 又AB=23，AP+BP=4，在ABP中，由余弦定理，得232=BP2+4-BP2-2×BP×4-BPcos120°， 整理，得BP2-4BP+4=0.解得BP=2. 2由1知，AP=2，所以在ACP中，由正弦定理.得ACsin60°=APsinACP， 解得sinACP=2×32534=45. 因为2<534，所以AP<AC，从而ACP<APC，即ACP是锐角， 所以cosACP=1-452=35.【点睛】此题考察正弦

25、定理、余弦定理的应用.属中档题.181见解析；2直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.【解析】【分析】1在题图1中，可证DEBC ，在题图2中，BC平面CEP.进而得到BC平面CEP.从而证得平面BCP平面CEP；2可证得EP平面BCED. EPCE.那么以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.【详解】1证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点.由平面几何知识，得ACB=90°. 又因为E为AC的中点，所以DEBC 在题图2中，CEDE，PEDE，且C

26、EPE=E，所以DE平面CEP，所以BC平面CEP. 又因为BC平面BCP，所以平面BCP平面CEP.2解：因为平面DEP平面BCED，平面DEP平面BCED=DE，EP平面DEP，EPDE.所以EP平面BCED. 又因为CE平面BCED，所以EPCE.以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系在题图1中，设BC=2a，那么AB=4a，AC=23a，AE=CE=3a，DE=a.那么P0,0,3a，Da,0,0，C0,3a,0，B2a,3a,0.所以DP=-a,0,3a，BC=-2a,0,0，CP=0,-3a,3a. 设n=x,y,z为平面B

27、CP的法向量，那么nBC=0,nCP=0,，即-2ax=0,-3ay+3az=0.令y=1，那么z=1.所以n=0,1,1. 设DP与BCP平面所成的角为，那么sin=sinn,DP=cosn,DP=nDPnDP=3a2×2a=64.所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.【点睛】此题考察面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.191a=0.08;2120;3见解析.【解析】【分析】1由题意知：10n14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y=10a-n20，由频率和等于1可求a的值；2由1，得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，可得频率分

28、布直方图如图： 3由题意可知，=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分的概率为0.15+0.1=0.25，所以B4,14 ，可求的数学期望.【详解】1由题意知：10n14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y=10a-n20，可得10a-0.5+10a-0.55+10a-0.6+10a-0.65+10a-0.7=1， 解得a=0.08. 2由1，得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图： 这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.30+115×0.25+125×0.20+135×0.15+145

29、×0.10=120. 3由题意可知，=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分的概率为0.15+0.1=0.25，所以B4,14 所以E=4×14=1.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，考察二项分布的期望，属中档题.201E的方程为x2=4y；2见解析.【解析】【分析】1由抛物线的定义利用AF=2.可求p=2，进而求得E的方程；2证明：设Bx1,y1，Mx2,y2.由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0.由MPx轴及点P在直线y=x-3上，得Px2,x2-3，那么由A，P，B三点共线，得x2-4x2-2=kx1+b-

30、1x1-2， 整理，得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.结合韦达定理可得2-x12k+b-3=0. 由点B的任意性，得2k+b-3=0，即可证明.【详解】1解：根据题意知，4=2pya，因为AF=2，所以ya+p2=2. 联立解的ya=1，p=2. 所以E的方程为x2=4y. 2证明：设Bx1,y1，Mx2,y2.由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0.根与系数的关系.得x1+x2=4k，x1x2=-4b.由MPx轴及点P在直线y=x-3上，得Px2,x2-3，那么由A，P，B三点共线，得x2-4x2-2=kx1+b-1x1-2

31、， 整理，得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.将代入上式并整理，得2-x12k+b-3=0. 由点B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=kx-2+3.即直线BM恒过定点2,3.【点睛】此题考察抛物线方程的求法、抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，考察计算才能，属中档题211见解析；2见解析.【解析】【分析】1将a=1代入函数的表达式，求出fx，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最小值，即可证明fx0；2先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数【详解】1证明：当a=1时，

32、fx=ex-x-1，那么f'x=ex-1. 由f'x=0.得x=0.当x<0时，f'x<0；当x>0时，f'x>0，所以函数fx在区间-,0内是减函数.在区间0,+内是增函数， 所以x=0是fx的极小值点，也是最小值点.且fxmin=f0=0，故当a=1时.fx0恒成立. 2解：据题意，得f'x=aeax-1.当a0时，f'x<0恒成立.那么函数fx在R上是减函数。又f0=0，所以函数fx有且只有一个零点. 当a>0时.由f'x=0，得x=1aln1a.当x<1aln1a时，f'x<

33、0；当x>1aln1a时，f'x>0，所以fx在区间-,1aln1a内是减函数，在区间1aln1a,+内是增函数.所以x=1aln1a是函数fx的极小值点，也是最小值点，即fxmin=f1aln1a=1a-1aln1a-1. 令ht=t-tlnt-1t>0，那么h't=1-1+lnt=-lnt，当t=1时，h't=0；当0<t<1时，h't>0；当t>1时，h't<0，所以函数ht在区间0,1内是增函数，在区间1,+内是减函数，从而t=1是函数ht的极大值点.也是最大值点，所以hth1=0，即fxmin=1

34、a-1aln1a-10当且仅当a=1时取等号当fxmin=1a-1aln1a-1=0，即a=1时，函数fx只有一个零点当fxmin=1a-1aln1a-1<0，即a>0，且a1时，分a>1和0<a<1两种情况讨论：i当a>1时，-1<1aln1a<0，因为f-1=eax-1-1=eax>0，所以fx在区间-,1aln1a内有一个零点；又f0=0，因此fx有两个零点.ii当0<a<1时，1aln1a>0；由1，得exx+1.即xlnx+1，亦即lnxx-1.令x=2a.那么得ln2a2a-1，即-ln2a-2a-1，所以f2aln2a=e2ln2a-2aln2a-12a2-2a2a-1-1=2a-1>0，所以fx在区间1aln1a,+内有一个等点.又f0=0，因此函数fx有两个零点.由i和ii，得当a>1或0<a<1时，函数fx有两个零点.综上，当a0或a=1时，函数fx只有一个零点；当a>0.且a1时，函数fx有两个零点。【点睛】此题考察了函数的单调性、最值、零点问题，考察导数的应用，是一道难题221 曲