第八章 假设检验(3学分)

1、第八章第八章 假设检验假设检验8.18.1假设检验的基本概念和思想假设检验的基本概念和思想 8.2 8.2 单正态总体的假设检验单正态总体的假设检验8.3 8.3 双正态总体均值差与方差双正态总体均值差与方差比的比的 假设检验假设检验i i d1 XnXX ， ，8.1假设检验的基本概念和思想假设检验的基本概念和思想一、基本概念一、基本概念(一一) 两类问题两类问题1、参数假设检验、参数假设检验 总体分布已知总体分布已知, 参参数未知数未知, 由观测值由观测值x1, , xn检验假设检验假设H0： = 0；H1： 02、非参数假设检验、非参数假设检验 总体分布未知总体分布未知, 由观测值由观测

2、值x1, , xn检验假设检验假设H0：F(x)=F0(x; ); H1： F(x)F0(x; ) i i d1 X;nXf x ， ， 以样本以样本(X1, , Xn)出发制定一个法则出发制定一个法则, 一旦观测一旦观测值值(x1, , xn)确定后确定后, 我们由这个法则就可作出判断我们由这个法则就可作出判断是拒绝是拒绝H0还是接受还是接受H0, 这种法则称为这种法则称为H0对对H1的一个的一个检验法则检验法则, 简称检验法。简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间样本观测值的全体组成样本空间S, 把把S分成两分成两个互不相交的子集个互不相交的子集W和和W*, 即即S=WW*, WW*=

3、 假设当假设当(x1, , xn) W时时, 我们就拒绝我们就拒绝H0；当当(x1, , xn) W*时时, 我们就接受我们就接受H0。子集。子集W S就称就称为检验的拒绝域为检验的拒绝域(或临界域或临界域 ) 。(二二) 检验法则与拒绝域检验法则与拒绝域 称称 H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称称 H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记记 p(I) =P拒绝拒绝H0| H0真真; P(II) =P 接受接受H0| H0假假对于给定的一对对于给定的一对H0和和H1, 总可找出许多拒绝域总可找出许

4、多拒绝域, 人们自然希望找到这种拒绝域人们自然希望找到这种拒绝域W, 使得犯两类错误的概使得犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定时，不能同时保证犯两类率都很小。但在样本容量一定时，不能同时保证犯两类错误的概率都最小。于是奈曼错误的概率都最小。于是奈曼皮尔逊提出了这样的一皮尔逊提出了这样的一个个 原则：原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下，使的条件下，使犯第二类错误的概率犯第二类错误的概率 尽量小尽量小”按这种法按这种法则做出的检验称为则做出的检验称为“显著性检验显著性检验”, 称为显著性水平或称为显著性水平或检验水平。检验水平。(三三)

5、 检验的两类错误检验的两类错误怎样构造的拒绝域方可满足怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？上述法则？如如:对总体对总体XN( , 1), 要检验要检验H0： =0；H1： =1拒绝域可取拒绝域可取kX ? k根据奈曼根据奈曼皮尔逊皮尔逊 原则：应选取原则：应选取k使使“犯第一犯第一类错误的概率不超过指定值类错误的概率不超过指定值 的条件下的条件下, 使犯第使犯第二类错误二类错误概率概率尽量小尽量小”这里这里0|)( kXPIP)1, 0(0nNX时时 )(1kn Unk1 而而1|)( kXPIIP)1( kn)1, 1(1nNX时时 P(II)P(II)关于关于k k单增单增. .所以为使所以

6、为使P(II)P(II)小小,k ,k要尽可能小要尽可能小. .对比对比 Unk1 )(1)(knIP说明说明k k最小只能取到最小只能取到 , ,得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为 Un1UnX1可见可见,使使P(I) 与又使与又使P(II)尽可能小的尽可能小的k值恰好满足值恰好满足P(I) = .一般地一般地, ,符合符合奈曼奈曼皮尔逊皮尔逊 原则的拒绝域原则的拒绝域满足满足P(I) = P(I) = . .二、显著性检验的思想和步骤二、显著性检验的思想和步骤(1)根据实际问题作出假设根据实际问题作出假设H0与与H1；(2)构造统计量构造统计量, 在在H0真时其分布已知；真时其分布已知

7、；(3)给定显著性水平给定显著性水平 的值的值, 参考参考H1, 令令 P拒绝拒绝H0| H0真真= , 求出拒绝域求出拒绝域W；(4) 计算统计量的值计算统计量的值, 若统计量若统计量 W, 则拒绝则拒绝H0, 否则接受否则接受H08.2 单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验一、单个正态总体均值的假设检验一、单个正态总体均值的假设检验。：；：检验假设，值，由观测给定检验水平，设0100n12iidn1HHxx),(NXX 1、 2已知的情形-U检验)1000，N(nXnX U真H 对于假设对于假设H0： = 0；H1：0, 构造构造查表查表, 计算计算, 比较大小比较大小, 得出结论

8、得出结论)2()2( UUW，UUP可得拒绝域：由说明：说明：(1) H0： = 0；H1： 0称为双边称为双边HT问题；而问题；而 H0： = 0；H1： 0(或或 0 或或H0：0；H1：uu0 也称为单边也称为单边HT问题问题, 不过这是一个完备的不过这是一个完备的HT问题。问题。 (3)可证可证:完备的完备的HT问题与不完备的问题与不完备的HT问题有相同的拒问题有相同的拒绝域绝域, 从而检验法一致。从而检验法一致。 例例1 1：设某厂生产一种灯管：设某厂生产一种灯管, , 其寿命其寿命XN(XN( , 200, 2002 2), ), 由以由以往经验知平均寿命往经验知平均寿命 =150

9、0=1500小时小时, , 现采用新工艺后现采用新工艺后, , 在所生在所生产的灯管中抽取产的灯管中抽取2525只只, , 测得平均寿命测得平均寿命16751675小时小时, , 问采用新问采用新工艺后工艺后, , 灯管寿命是否有显著改变灯管寿命是否有显著改变。( ( =0.05)=0.05)解解:0100:1500:HH检验统计量为检验统计量为nXU00H的拒绝域为 |2uUW375. 425200150016750nxu0.0251.96.u因为因为96. 1375. 4u拒绝H0，即灯管寿命有显著改变即灯管寿命有显著改变这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值这是单个正态总体在方差已知

10、的情况下检验均值例例2 2 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布正态分布N(4.55,0.11N(4.55,0.112 2). ).某日测得某日测得5 5炉铁水含碳量如下炉铁水含碳量如下: : 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变如果标准差不变, ,该日铁水该日铁水的平均含碳量是否显著变化的平均含碳量是否显著变化? (? (取取 =0.05) )解解:0100:55.4:HH检验统计量为检验统计量为nXU00H的拒绝域为 |2uUW计算得364.

11、 4x78. 3511. 055. 4364. 40nxu0.0251.96.u因为因为96. 178. 3u拒绝H0，即即该日铁水的平均含碳量显著变化该日铁水的平均含碳量显著变化这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值2、 2未知的情形双边检验双边检验:对于假设对于假设H0： = 0；H1：0) 1(t :00ntnSXH真时由P|t| t /2(n 1) = , 22得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为|t| t /2(n 1)解解:0100:6.112:HH检验统计量为检验统计量为nSXT00H的拒绝域为 1|2nTtW计算得计算得135.

12、18 .112sx466. 07135. 16 .1128 .1120nsxt 0.02562.4469t因为因为4469. 2466. 0t接受H0，热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差例例3 3 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度X, ,重复测量重复测量7 7次，测得温度次，测得温度(): 112.0 113.4 111.2 (): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测而用某种精确办法测得温度为得温度为1

13、12.6(112.6(可看作真值可看作真值),),试问用热敏电阻测温仪试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差间接测温有无系统偏差(设设X X服从正态分布服从正态分布,取取=0.05 )?这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值解解:0100:10620:HH检验统计量为检验统计量为nSXT00H的拒绝域为 1|2nTtW计算得计算得814 .10631sx45. 01081106204 .106310nsxt 0.02592.2622t因为因为2622. 245. 0t接受H0，新生产与过去生产的抗拉强度无明显不同新生产与过去生产的抗拉强度无明显不

14、同例例4 4 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm10620 (kg/mm2 2) )今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取1010根根, ,测得抗拉强度测得抗拉强度(kg/mm2)(kg/mm2)为为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, : 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度认为抗拉

15、强度服从正态分布服从正态分布, ,取取 =0.05=0.05 , ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是问新生产的镍合金线的抗拉强度是否与过去生产的否与过去生产的镍镍合金线抗拉强度有明显不同合金线抗拉强度有明显不同? ?这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值二、单个正态总体方差的假设检验二、单个正态总体方差的假设检验20212020 ：；：HH。：；：检检验验假假设设，值值，由由观观测测，给给定定检检验验水水平平，设设20212020121 )( HHxxNXXniidn双边检验双边检验: 对于假设对于假设)(n)S(n-H11220220 下下22 2

16、21 )(n)或(nP112222212由) 1() 1(22/222/12nn或得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为) 1() 1(222021202021220212020nHHnHH可解得拒绝域：，：；：而对单边问题可解得拒绝域：，：；：对于单边问题解解:20212020:80:HH检验统计量为检验统计量为20221Sn0H的拒绝域为 112222212nnW或计算得计算得8 .1212s7 .13808 .12192 7 . 29023.1992975. 02025. 0因为因为023.197 . 22接受H0，认为整批保险丝的熔化时间的方差等于认为整批保险丝的熔化时间的方差等于80

17、80例例5 电工器材厂生产一批保险丝，取电工器材厂生产一批保险丝，取1010根测得其熔根测得其熔化时间（化时间（minmin）为）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差等于间的方差等于80?(80?( =0.05=0.05 , , 熔化时间为正态变量熔化时间为正态变量.).)这是单个正态总体检验方差这是单个正态总体检验方差8.3 双正态总体均值差与方差比的假设检验双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值

18、差的假设检验一、均值差的假设检验，设)u(NYY);u(NXX222iidn1211iidn121 21121011HH ,21 ：；：检验假设检验假设，；，由观测值，由观测值水平水平两样本独立，给定检验两样本独立，给定检验nnyyxx22221 假假定定)2(11,21210 nntnnSYXTHw下下)2( )2(212/212/nntTnntTP，即得拒绝域由)2(21nntT而对应的单边问题而对应的单边问题211210211210:;:;:HHHH或拒绝域为拒绝域为)2(21nntT211210211210:;:;: HHHH或或拒绝域为拒绝域为例例6 6. 比较甲比较甲, ,乙两种安

19、眠药的疗效。将乙两种安眠药的疗效。将2020名患者分成名患者分成两组两组, ,每组每组1010人人. .其中其中1010人服用甲药后延长睡眠的时数人服用甲药后延长睡眠的时数分别为分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4;4.6, 3.4;另另1010人服用乙药后延长睡眠的时数分别为人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 0.7, -1.6, -0.2, -1.2

20、, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布同的正态分布. .试问两种安眠药的疗效有无显著性差试问两种安眠药的疗效有无显著性差异异?(?( =0.10)=0.10)解：解：211210:;:HH检验统计量为检验统计量为2111nnSYXtw拒绝域为拒绝域为)2(212nnttW这是两个正态总体检验均值差这是两个正态总体检验均值差这里这里:002. 2,33. 21 sx789. 1,75. 02 sy898. 118992221sssw86. 1101101wsyxt0.

21、05181.7341t因为因为7341. 186. 1t拒绝拒绝H0，认为两种安眠药的疗效有显著性差异认为两种安眠药的疗效有显著性差异二、方差比的假设检验二、方差比的假设检验1222111122(,); (,)iidiidnnXXNYYN 设， ， ，222112221011H H 21 ：；：检验假设检验假设，；，nnyyxx两样本独立两样本独立, 给定检验水平给定检验水平 , 由观测值由观测值)11(,2122210 nnFSSFH，真时真时由由 pF F1/2(n1 1, n2 1) 或或 F F /2(n1 1, n2 1) = F1/2F /2得拒绝域得拒绝域F F1/2(n1 1, n2 1) 或或 F