高等数学 上下册1_6 函数的连续性和间断点ppt课件

1、第六节第六节 函数的延续性与延续点函数的延续性与延续点 一、函数的延续性一、函数的延续性 函数的延续性是与函数极限亲密相关的一个重要概函数的延续性是与函数极限亲密相关的一个重要概念，延续性概念的建立是进一步讨论函数的微分和积分念，延续性概念的建立是进一步讨论函数的微分和积分的根底的根底.自然界中有许多现象， 如气温的变化、 河水的流动、自然界中有许多现象， 如气温的变化、 河水的流动、植物的生长等等， 都是连续变化的植物的生长等等， 都是连续变化的.这种现象在函数关系这种现象在函数关系上的反映， 就是函数的连续性， 下面先引入增量的概念，上的反映， 就是函数的连续性， 下面先引入增量的概念，然

2、后来描述连续性，并给出连续性的定义然后来描述连续性，并给出连续性的定义. 0 x0 xxxy( )yf xOyx图图1-29例如，函数例如，函数2yx，当，当 x 从从0 x变到变到0 xx时，求函数的时，求函数的增量增量.22200000()()()2yf xxf xxxxxxx . 2. 函数在一点处的连续定义函数在一点处的连续定义 函数函数( )yf x在点在点0 x处连续，从几何直观上看它的图处连续，从几何直观上看它的图形在形在0 x的附近是连绵不断的曲线，当自变量在的附近是连绵不断的曲线，当自变量在0 x的附近变的附近变化很微小时，对应的函数的变化也极其微小化很微小时，对应的函数的变

3、化也极其微小. 函数在点函数在点0 x处连续的定义有以下三种不同的叙述方处连续的定义有以下三种不同的叙述方式：式： 定定义义 1 1 设设函函数数( )yf x在在0()U x内内有有定定义义， 如如果果当当自自变变量量 的的 增增 量量0 xxx 趋趋 于于 零零 时时 ， 对对 应应 的的 函函 数数 增增 量量00()()yf xxf x 也也趋趋于于零零，即即0lim0 xy ，则则称称函函数数( )yf x在在点点0 x连连续续. 在定义在定义 1 中，设中，设0 xxx，且，且0 x ，即，即0 xx，又因为又因为 000()()( )()yf xxf xf xf x 0( )()

4、f xf xy 可见可见0y ，即为，即为0( )()f xf x，因此，因此 000lim0lim( )()xxxyf xf x . 这样可得这样可得( )yf x在点在点 0 x处连续的又一种方式定处连续的又一种方式定义：义： 定义定义 2 2 设函数设函数( )yf x在在0()U x内有定义，如果内有定义，如果( )f x当当0 xx时的极限存在，且等于它在时的极限存在，且等于它在 0 x处的函数值处的函数值0()f x，即，即 00lim( )()xxf xf x，则称函数，则称函数( )f x在点在点 0 x连续连续. 例例 1 1 证证明明函函数数3yx在在点点0 x连连续续.

5、证证 当当自自变变量量 x 的的增增量量为为x时时， 函函数数3yx对对应应的的增增量量为为 333230000()33yxxxxxxxx 又又 2230000limlim(33)0 xxyxxxxx 所所以以3yx在在点点0 x连连续续，这这是是对对定定义义 1 给给出出的的证证明明. 例例 2 2 讨讨论论函函数数 3,0,( )2,0,4cos ,0 xxf xxx x 在在0 x 处处的的连连续续性性. 解解 因因为为00lim( )lim(3)3xxf xx， 00lim( )lim(4cos )3xxf xx， 又又 (0)2f，虽虽0lim( )3xf x 但但0lim( )(0

6、)xf xf 故故( )f x在在0 x 处处不不连连续续. 3 3区间上的连续函数区间上的连续函数 （1）在开区间在开区间(a，b)内每一点都连续的函数，称为在内每一点都连续的函数，称为在开区间开区间(a，b)内的连续函数，或称函数在开区间内的连续函数，或称函数在开区间(a，b)内连内连续续. （2）若函数在开区间若函数在开区间(a，b)内连续，且在左端内连续，且在左端 a 处右处右连续，在右端点连续，在右端点 b 处左连续，则称函数在闭区间处左连续，则称函数在闭区间a，b上上连续连续. 由连续函数定义可知，基本初等函数在其各自定义域由连续函数定义可知，基本初等函数在其各自定义域内连续，有理

7、分式函数在其定义域内连续内连续，有理分式函数在其定义域内连续. 例例 3 3 讨论函数讨论函数 21,101,( )arccos,11xxf xxx 在其定义域内的连续性在其定义域内的连续性. 解解 显然在显然在( 10, 1)( 1,1内，函数内，函数( )f x连续连续. 21( 1 )lim10 xfx ， 1( 1 )lim (arccos)0 xfx， 又，又，( 1)0f ，则，则( )f x在在1x 处连续处连续. 综上综上，( )f x在在其定义域其定义域( 10,1内连续内连续. 根根据据函函数数在在点点0 x处处连连续续的的定定义义，如如果果当当( )f x在在点点0 x的

8、的某某个个去去心心邻邻域域内内有有定定义义或或00lim( )()xxf xf x或或0lim( )xxf x不不存存在在,则则点点0 x为为函函数数( )f x的的不不连连续续点点,即即点点0 x为为函函数数( )f x的的间间断断点点. 例例如如,1( )f xx在在0 x 处处没没有有定定义义,即即知知0 x 为为1( )y xx的的间间断断点点. 又又如如1sin,0( )0,0 xf xxx 当当0 x 时时,函函数数值值在在-1 与与 1 之之间间变变动动无无限限多多次次,即即极极限限001lim( )limsinxxf xx不不存存在在,故故0 x 是是( )f x的的间间断断点点. 二、函数的延续点及其分类二、函数的延续点及其分类 函函数数的的间间断断点点可可分分为为第第一一类类间间断断点点和和第第二二类类间间断断点点. 从从上上述述两两例例可可知知,第第一一类类间间断断点点包包含含可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点两两种种.简简言言之之,当当0000()()(),f xf xf xx为为可可去去间间断断点点;当当00()()f xf x时时,0 x为为跳跳跃