第三章 平稳随机过程

1、2q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程3q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程4)cos()(tatX)cos()(tAtX)cos()(tatX)cos()

2、(tAtXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程00( )cos(),0,2 .( ),.X tataX t正弦型随机相位信号其中 和为常数为上均匀分布的随机变量求的均值 方差 和自相关函数dftataEtXE)()cos()cos()(00)20(21)(f0)sin(221)cos()(200200tadtatXE)cos()cos()()(),(20102121tataEtXtXEttRXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.1)cos()cos(coscos2)cos()cos(),(2010221ttEattRX)(cos22)(cos2)(cos2)(

3、cos2),(21022102210210221ttEattEattttEattRX2sin)(sin2cos)(cos210210tttt00( )cos(),0,2 .( ),.X tataX t正弦型随机相位信号其中 和为常数为上均匀分布的随机变量求的均值 方差 和自相关函数q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.1722120120( , )cos()=cos()22XaaRt ttt2)(cos2)(2022attatX( )0E X t),()()()()(2222ttRtXEtmtXEtXXX00( )cos(),0,2 .( ),.X tataX t正弦

4、型随机相位信号其中 和为常数为上均匀分布的随机变量求的均值 方差 和自相关函数Exercise 3.1q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程8.)(),;,(),;,()(,21212121为严平稳过程则称维概率密度满足的任意随机过程如果对于任意的tXtttxxxftttxxxfntXnnXnnX.)(,阶平稳的是则称时成立在而是仅都成立如果上式不是对任意的NtXNnnq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Definition3.1 (Strict-sense Stationary Stochastic Process)9.)()(),;,(),;,(:)()(212121212121

5、2121是联合严平稳过程和则称随机过程概率密度满足维联合的任意和如果两个随机过程tYtXttttttyyyxxxfttttttyyyxxxfmntYtXmnmnXYmnmnXYDefinition3.2 (Joint Strict-sense Stationary Stochastic Process)q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程10q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程( , )( )XXfx tfx一阶平稳过程的概率密度满足12tt 2)()(XXXmRC121212( , )( )( ,; , )( ,; )XXXXfx tfxfx x t tfx x二阶平稳过程的概率

6、密度同时满足22)0()0(,0XXXXmRC 时当q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程( )( ), ( ).( ).X tAy tAy tX t随机过程其中 是高斯变量为确定的时间函数判断是否为严平稳过程222)(21)(AAmaAAeaf).()(),()(222tyttymtmAXAX22222()( )22( )( ):11( , )=22( )XAXAx mx m y tytXXAX tfx teey t的一维概率密度为为高斯分布数为常在固定时刻)(,)(,tXtyq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.221221( ):( )( ),( ),( ,

7、)( ).( )(),.XXXXX tE X tmtmE XtRt tRX ttt 若随机过程满足则称为广义 宽 平稳随机过程 式中Definition3.3 (Wide-sense Stationary Stochastic Process)q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程)cos()(tatX)cos()(tAtX)cos()(tatX)cos()(tAtXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳( )0E X t222( ,)(

8、 )()cos()cos()cos(22)cos()2( )cos()2XXRt tE X t X tE attaEtaR 22( )(0)2XaE XtR 平稳)(tX)cos()(tatXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳( ) cos()E X tE At不是平稳过程)(tX)cos()(tAtXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳( ) cos()E X tE at ( )X t 不是平稳过程( )cos()X tat q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Ex

9、ercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳( )cos()cos()= cos()cossin()sin=0E X tE AtE AEtEtt 平稳)(tX)cos()(tAtXcos()coscossinsin0,2 .cossin0EE 随机变量 在上均匀分布q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳)cos()(tAtX2222( ,)( )()cos()cos() cos()cos()1= cos(22)cos()21( )cos()2XXRt tE X t X tE AttE AEttE AEtRE AE q3.1 3.1

10、 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.3判断图示的四个随机过程是否平稳)cos()(tAtX2222( ,)( )()cos()cos() cos()cos()1= cos(22)cos()21( )cos()2XXRt tE X t X tE AttE AEttE AEtRE AE 221( )(0)2XE XtRE A 平稳)(tX1212( ),( ),.( )( ).X tY X ttYYX tX t设有两个随机过程式中 是随机变量试分析讨论随机过程和的平稳性为平稳随机过程所以均与时间无关和常数常数)(,),()()()(),()() 1 (12112211121111tXt

11、tRtXEYEtXtXEttRYEtXEXX不是平稳的随机过程与时间有关)()()2(22tXYtEtYEtXEq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.4( )sin,0,2 ,( ).(1),0,1,2,; (2),0,).X tutuX ttT TtT T设有随机过程其中 是均匀分布于上的随机变量试判断下面二种情况下的平稳性20( )( )sin11sin1cos(2)22XmtE X tEututduttq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.5( )sin,0,2 ,( ).(1),0,1,2,; (2),0,).X tutuX ttT

12、TtT T设有随机过程其中 是均匀分布于上的随机变量试判断下面二种情况下的平稳性2200( ,)( )()sinsin()1cos (2)cos()21111cos (2)cos2222sin2 (2)sin(2)4 (2)4XRt tE X t X tEututuEutuutduu dutt q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.5为平稳过程)(0),(, 0)() 1 (tXttRtmXX不平稳所以均与时间有关和)(,),()()2(tXttRtmXX( )sin,0,2 ,( ).(1),0,1,2,; (2),0,).X tutuX ttT TtT T设有随机

13、过程其中 是均匀分布于上的随机变量试判断下面二种情况下的平稳性q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.52522,0, 1, 2,0,:,0, 1, 2,kkkkXkE XE XXk 设是互不相关的随机变量序列，且.证明是宽平稳的随机序列.2 :0,0 ,0, 1, 2,kXklkklE XRk lE X XklklXk 证明 即：相关函数只与有关， 所以它是宽平稳的随机序列，也称为离散白噪声。 注:如果又是独立同分布的，则它还是严平稳序列。q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.600Nnkn kkE Ya E X证：001,0, 1, 2,

14、0, 1, 2,0, 1, 2,Nknkn kkNnXkYa XnNa aaY n 设是上例中的随机序列，设，其中 是自然数， 而是常数.证明：是平稳序列,Ynn mRn nmE Y Y又相关系数00NNkn kjn mjkjEa Xa X00NNkjn kn mjkja a E XXnnY它与 无关，所以是平稳序列。2 00Nkm kkm k Na a q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.727 0,S tTTX tS t设是一周期为 的函数， 是在上服从均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。 1 00 TTf解：由假设， 的概率密度为: 其

15、他01TS tdT 1t TtSdT 01TSdT周期性常数 ,E X tE S t于是q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.828 ,XRt tE S tS t所以随机相位周期过程是平稳的。 1t TtSSdT 01TS tS tdT 01TXSSdRT周期性记为 0,S tTTX tS t设是一周期为 的函数， 是在上服从均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.8 1 ,2, ,0,1,2,!0kX tIIP X tIt tN t tN t teP N t tkkkX t 考虑随机

16、电报信号，信号由只取或的电流给出。而正负号在区间内变化的次数是随机的，且假设服从泊松分布，即：其中是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论的平稳性.t( )x tq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.9 022IIE X tI P X tII P X tI 解： 2222I P X t X tII P X t X tI 0, ,XRt tE X t X t设 2,X t X tIt t事件等价于电流在内变号偶数次， 20,2kP X t X tIP N t tk因此202!kkekq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.9221200,2!21

17、!kkXkkeeRt tIkk 所以2220!kkI eI ek 220,XtttRt tE X tX tI e 此结果与 无关，若只要令则有22,.XRt tI e综合得，仅与 有关，故是平稳过程。 20,21kP X t X tIP N t tk 同理21021 !kkekq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.9321111( )( ),:( ,)( ) ()( )( )( ),.XYXYX tY tRt tE X t Y tRX tY t当两个随机过程和分别是广义平稳过程时 若它们的互相关函数满足则称和是联合广义平稳过程 或称为联合宽平稳过程q3.1 3.1 平

18、稳随机过程平稳随机过程- -联合平稳联合平稳Definition3.4 (Joint Wide-sense Stationary Stochastic Process)( )sincos ,( )cossin , ,6,( )( )?X tUtVtY tWtVtU V WX tY t已知平稳过程式中是均值为零 方差为 的互相独立的随机变量 试问和联合平稳吗联合平稳和则且都为广义平稳若)()()()()(,)(),(tYtXtYtXERtYtXXY)sin()cos(sincos)()(tVtWtVtUEtYtXE)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(cos2ttVttVWt

19、tUVttUWEq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.10)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(cos)()(2ttVEttVWEttUVEttUWEtYtXE2sin sin()6sin sin()( )XYE VttttR不是联合平稳过程和)()(tYtXq3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程Exercise 3.10( )sincos ,( )cossin , ,6,( )( )?X tUtVtY tWtVtU V WX tY t已知平稳过程式中是均值为零 方差为 的互相独立的随机变量 试问和联合平稳吗35q3.1 3.1 平稳随机过程平

20、稳随机过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程36Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tYYmYYmYYm两个平稳过程的典型例子（相同的均值与方差）q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性l各态历经性各态历经性37q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性l各态历经性各态历经性问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平

21、均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 11211211,1NXkkNXkkkxtNRttxtxtN 12,nx txtxt如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：按照数学期望和自相关函数的定义，需要时一个平稳过程重复进行大量观察，获得一

22、族样本函数l各态历经性各态历经性q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性( )x tt平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。l各态历经性各态历经性q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性l各态历经性各态历经性q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性Definition3.5 (Ergodic Stochasti

23、c Process)( ),( )( )1,( ).1:( )lim( )2XTTTX tX tE X tmX tX tX t dtT对于二阶平稳过程若以概率 成立则称随机过程的均值具有各态历经性其中随机时间过程的为均值定义q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性( ),( )()( )()( )1,( ).( ):1( )()lim( )()2XTTTX tX t X tE X t X tRX tX tX t X tX t X tdtT对于二阶平稳过程若以概率 成立 则称随机过程的自相关函数具有各态历经性其中随机过时间自相程的为关函数定义Definition3.5

24、(Ergodic Stochastic Process)( ),( ),( ),.X tX tX t若的均值和自相关函数都具有各态历经性 且是广义平稳过程 则称是广义各态历经过程 简称为各态历经过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性( )( ),:1( ) ()lim( ) ()( )2.TXYTTX tY tX t Y tX t Y tdtRT如果两个随机过程和都是各态历经过程 且它们的时间互相关函数等于统计互相关函数 即则称它们是联合各态历经过程43 X tacostX tX t X t。计算随机相位正弦波：的时间平均即时间均值和时间自相关函数 1 2TTT

25、X tlimacostdtT0Tacos sin TlimT2Ta sinTsinTlimT 将 看作一定值Exercise 3.11q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 212TTTX t X tlima costcostdtT22acos2224TTTalimcostcosdtT 222222422TsinTsinTaa coslimT X tacostX tX t X t。计算随机相位正弦波：的时间平均即时间均值和时间自相关函数Exercise 3.11q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性45 XXE X tX tRE X t

26、X tX t X t对照前面讲过的均值函数和自相关函数计算，可知： X tacostX tX t X t。计算随机相位正弦波：的时间平均即时间均值和时间自相关函数Exercise 3.11q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 1,12X tX tXP XX t 是随机变量，试确定的均值是否具有各态历经性。 X tX是平稳过程， 1122TTTTTTX tlimX t dtlimXdtXTT时间均值 0XtE X tEX因为 X t由定义知，的均值不具有各态历经性 00XP X tP X即 2,1XRt tE X t X tE Xt与 无关11 1x t 2xtEx

27、ercise 3.12q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性0( )cos().,0,2 .X tata讨论随机过程的各态历经性其中 为常数是在上均匀分布的随机变量)cos(2)(, 0)(,)(02aRtXEtXX且为平稳过程02)sin()sin(lim)sin(2lim)cos(21lim)(21lim)(000000TTTatTadttaTdttXTtXTTTTTTTTTT.)(, 0)()(的均值具有各态历经性tXtXtXEExercise 3.13q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性48)()cos(2)cos(24lim)

28、cos()22cos(4lim)cos()cos(2lim)cos()cos(21lim)()(21lim)()(020200020002000XTTTTTTTTTTTTTTTRaTTadtdttTadtttTadttataTdttXtXTtXtX历经性的自相关函数具有各态)(tX为各态历经过程)(tXExercise 3.13q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性49( )() ,2 , 01,A ( ),(0,2 )0,X tAcosttxxAf x 证明正弦波其中 是常数与 相互独立在上均匀分布,其它是平稳过程;并判断其是否为各态历经过程.1212( , )(

29、 )( )XRt tE X t X t:( )( )XtE X t证明E Acost( ) 0E A E cost212 ()()E A E costcost212111()cos.()44costttt221201()()2E Acostcostd( )X t所以,是平稳过程.Exercise 3.14q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 12TTTX tlimAcostdtT0( )TAcos sin TlimE X tT2TA sinTsinTlimT 将A, 看作定值( ).X t即的均值具有各态历经性Exercise 3.14q3.2 3.2 平稳随机过

30、程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性51 .X tX t的相关函数不具有各态历经性所以,不是各态历经过程 2 12TTTx t X tlimA costcostdtT22Acos2224TTTAlimcostcosdtT 222222422TsinTsinTA cosAlimT 1cos( ,)4XRt tExercise 3.14q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性52)()(,)(:,)(2YEtXtXEYEtXEtX数为其数学期望和自相关函为平稳过程YYdtTdttXTtXTTTTTT21lim)(21lim)(性的均值不具备各态历经)(, )()(tXt

31、XtXE不是各态历经过程)(tX( ),.X tY Y随机过程是方差不为零的随机变量 试讨论其各态历经性Exercise 3.15q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 2201102TXXTX tlimRdTT平稳过程的均值具有各态历经性的充要条件是： 1,0XXX tP X tE X tD X tX t 的均值具有各态历经性的定义为： 下面只要计算的均值与方思路:差就可以了 12TTTElimX ttdtEXT 12TTTlimE X tdtT12TXXTTlimdtT 22XEXDXtt 2212TXTTElimX t dtT 21122214TTXTTTli

32、m EX tdtX tdtT 21212214TTXTTTlimE X tX tdt dtT 22112214TTXXTTTlimRttdt dtT 续续Theorem 3.1 (均值遍历)q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性11222122221212022222212122202,12,111224ttttTTTXXXTTTTt tlimdRdRdT 雅可比式0222222222201224TXXXTTlimT RdTRdT22222222124XRTXXTTlimTRdT为偶函数 220112TXXTlimRdTT 220112TXXTlimRdTT 220

33、10102TXXTDX tlimRdTT 即 2201102TXXTX tlimRdTT平稳过程的均值具有各态历经性的充要条件是：Theorem 3.1 (均值遍历)q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性证毕！证毕！2t,T T1t,TT,T T,TT2t2 ,0T1t0, 2T0,2T2 ,0T 2201102TXXTX tlimRdTT平稳过程的均值具有各态历经性的充要条件是：Theorem 3.1 (均值遍历)q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性56 22limXXXXXlim RliRm R 均值在存在的条件下， 若,则定理一条

34、件成立，即 若,则定理一条件不成立,具有各态历经性均值不具有各即态历经性Corollary 3.1 (均值遍历)q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 20XXXXXXXlim Rlim Clilim Rlim CliRtmm CXX t注意： 因此在或存在条件下，均值各态历经性的条件为：，即当时间差 充分大时，和呈现不相关性对随机相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各态历经的 2211101111 102XXTTX tRlimBRdTTBE X t X tX tX t平稳过程的自相关函数具有各态历经性的充要条件是：其中 X tX t X t证明：在Theorem3

35、.1的证明中，将换成，就可得到Theorem 3.2 (自相关遍历)q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性 00001 ( ) 1 ( )() TTTTttX tlimX t dtTX t X tlimX t X tdtT 在实际应用中通常只考虑定义在上的平稳过程，此时上面的所有时间平均都应以上的时间平均来代替。即 2011 10XTXXTP X tlimRdTT 2111011 10XTXTP X t X tRlimBRdTT 00001 ( ) 1 ( )() TTTTttX tlimX t dtTX t X tlimX t X tdtT 在实际应用中通常只考虑

36、定义在上的平稳过程，此时上面的所有时间平均都应以上的时间平均来代替。即l各态历经性各态历经性q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t+，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。 000,1( )11( ) ()( ) () 0XXTXTTXx tTRx t dtTRx t x tdtx t x tdtTTT如果试验记录只在时间区间上给出，则相应的的无偏估计为： 0011 TxTTxTlimx t dtTl

37、imx t x tdtRT即 l各态历经性各态历经性q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性60q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程61 221. 00XXRE Xt , XYXYX tY tRRR设和是平稳相关过程，和分别是它们的自相关函数和互相关函数。相关函数具有如下的性质： 2. , ,XXXXYYXRRRRR即是 的偶函数即互相关函数既不是奇

38、函数，也不是偶函数 222.3. 0 ,00 00 ,00XXXXXXYXYXYXYRRCCRRRCCC 此不等式表明：自相关自协方差 函数在处取得最大值。 见下页q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SSP ) 1212,1 4. , ,0XnnnXijiji jRt ttTna aaRtta a是非负定的，即对任意数组和任意 个 不全为零的实数，都有： ,1,12,11 0nnXijijijiji ji jnnijijiii jiRtta aE X tX ta aEX tX t

39、a aEX ta事实上， 。自相关函数的非负定性是平稳过程最本质的特性，因为任一连续函数，只要具有非负定型，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数 , XYXYX tY tRRR设和是平稳相关过程，和分别是它们的自相关函数和互相关函数。相关函数具有如下的性质：q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数Proposition 3.1 (Autocorrelation Function of SSP )63 001,X tP X tTX tTX t是平稳过程，若满足条件则称周期为 的平为稳过程。 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期为 的平稳过程的充分必要条

40、件是：其自相关函数是周期为即的函数。q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数Definition3.6 (Peroidic Stationary Stochastic Process)Theorem 3.3 (周期平稳)64 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期为 的平稳过程的充分必要条件是：其自相关函数是周期为即的函数。q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数 20000020220010,0. 0XXXXP X tTX tEX tTX tRTRE X t X tTE X t X tE X tX tTX tE X tX tTX

41、 tE XtEX tTX tRTR 周期平稳定义证明： 因为 要证只要证 也即 而 故65 0000:1.XXP XX ttTX tRTRTT 是周期为 的平稳过程的充分必要条件是：其自相关函数是周期为即的函数。q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数 200200010020 2020 XXXXRXXP X tTX tEX tTX tEX tTX tRRTRRRT 为周期函数 要证要证 计算得66 应用：应用： 00,0XXNVSNVSX tX tlim RlimCV tS tN tV tS tN tS tN tE N tlim RV tRRRRRV t在实际中，各种具

42、有零均值的非周期性噪声和干扰一般当值适当增大时，和呈现独立或不相关，即设接收机输出电压是周期信号和噪声电压之和，又设和是两个互不相关的各态历经过程，且则的自相关函数对于充分大的值，即如果将作为自相关分析仪的 SR输入，则对于充分大的 值，分析仪记录到的是函数的曲线。q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数67 2222222 ,02002 ,220aSNNSaVVaRcosRb eaaRbRaaRcosb ecosR假设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为：且噪声平均功率远大于信号平均功率,则当 充分大时,相关分析仪记录到的，的图形，当 充分大后应呈现正弦曲

43、线，亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号。 VRcos下面水平部分时为三角周期函数q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数Exercise 3.1668q3.1 3.1 平稳随机过程平稳随机过程q3.2 3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性q3.3 3.3 平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的相关函数第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程69一维高斯（正态）分布：一维高斯（正态）分布： 222exp21axxpq3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程70高斯分布的统计特性高斯分布的统计特性 均值

44、：均值： 方差：方差： 高斯分布的特点：全部统计特性由其均值高斯分布的特点：全部统计特性由其均值 和方差和方差 确定。确定。 （注意上图中均值和方差的涵义）（注意上图中均值和方差的涵义） aXE 22XEXEa2q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程71 n 高斯随机过程：随机过程的任意高斯随机过程：随机过程的任意n n维概率密度具有如下的正态维概率密度具有如下的正态分布特性的随机过程称之。分布特性的随机过程称之。 njnkkkkjjjjknnnnaxaxBBBtttxxxp1121212212121exp.21,.,.,q3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程72 n

45、高斯随机过程（续）：高斯随机过程（续）： 参数的涵义：参数的涵义： kjkkjjjknnnnatXatXEbbbbbbbB,1.1.121221112 的代数余子式的关于元素jkjkkkkkkbBBatXEtXEa2,Bq3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程73 n 高斯随机过程（续）：高斯随机过程（续）： 高斯随机过程的特点：其统计特性完全由其一维、二维统计高斯随机过程的特点：其统计特性完全由其一维、二维统计值：值：完全确定。完全确定。 kjkkjjjkatXatXEb 2,kkkkkatXEtXEaq3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程74 n 高斯随机过程的性质：高斯随机过程的性质： （1 1）宽平稳与严平稳等价。）宽平稳与严平稳等价。 对于宽平稳过程，其一阶、二阶的统计值满足：对于宽平稳过程，其一阶、二阶的统计值满足： 对高斯过程，其统计特性完全由其一阶、二阶统计值确对高斯过程，其统计特性完全由其一阶、二阶统计值确定，所以宽平稳的高斯随机过程与严平稳的高斯过程等价。定，所以宽平稳的高斯随机过程与严平稳的高斯过程等价。jijkjijkttbttb, kkatXEq3.4 3.4 高斯平稳随机过程高斯平稳随机过程75 n 高斯随机过程的性质：高斯随机过程的性质： （2 2）不相关与独立等价。）不相关与独立等价。 若随机变量若随机变量 两两不