数学建模-淋雨模型

1、.淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 a=1.5m（颈部以下） ，宽 b=0.5m，厚 c=0.2m ，设跑步的距离 d=1000m，跑步的最大速度 v m=5m/s ，雨速 u=4m/s ，降雨量 =2cm/h ，及跑步速度为 v，按以下步骤进行讨论 17 ：（ 1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 ;（ 2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图 1. 建立总淋雨量与速度 v及参数 a， b， c， d， u，

2、之间的关系，问速度 v多大，总淋雨里最少。计算=0， =30°的总淋雨量.（ 3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图 2. 建立总淋雨量与速度 v及参数 a，b，c ，d， u，之间的关系，问速度 v多大，总淋雨量最小。计算 =30°的总淋雨量 . （说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（ 4）、以总淋雨量为纵轴，速度 v 为横轴，对（ 3）作图（考虑的影响） ，并解释结果的实际意义 .（ 5）、若 雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型精选.二、 问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的

3、多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。可得：淋雨量（ V）=降雨量（）×人体淋雨面积（ S）×淋浴时间（ t ）时间（ t ） =跑步距离（ d）÷人跑步速度（ v）由 得：淋雨量（ V）=× S×d/v三、 模型假设（1）、将人体简化成一个长方体， 高 a=1.5m（颈部以下），宽 b=0.5m，厚 c=0.2m. 设跑步距离 d=1000m，跑步最大速度 vm=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量 =2cm/h，记跑步速度为 v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应

4、指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、 模型求解：（一）、模型建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V × S×d/v 2cm/h=2×10-2 /3600(m/s)将相关数据代入模型中，可解得：S 2.2 （）V0.00244446 (cm 3 )=2.44446 (L)精选.（二）、模型建立及求解：若雨从迎面吹来， 雨线与跑步方向在同一平面内 ，且与人体的夹角为 . ，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量 . （如图 1）设雨

5、从迎面吹来时与人体夹角为. ，且0°<<90°， 建立 a，b，c，d，u，之间的关系为：（ 1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为 u sin 且方向与 v 相反，故人相对于雨的水平速度为：u sinv则前部单位时间单位面积淋雨量为：（u sinv）/ u又因为前部的淋雨面积为：a b ，时间为： d/v于是前部淋雨量V2 为 ：V 2a bu sinv / ud / v即：V 2a b du sinv / u v（ 2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且与 v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为cos，顶部面积为 b

6、 c，淋雨时间为 d / v，于是顶部淋雨量为：V 1b cd cos/ v由可算得总淋雨量:VV 1V 2b cd cos/ va b du sinv / u v精选.代入数据求得：cos7.5sin1.875vV1800 v由 V（ v) 函数可知：总淋雨量（ V）与人跑步的速度（ v）以及雨线与人的夹角（ ）两者有关。对函数 V（v）求导，得：cos7.5 sinV1800 v 2显然 ： V <0，所以 V 为 v 的减函数， V 随 v 增大而减小。因此，速度 v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。（）当 =0，代入数据，解得：V0.0011527778（m3 ） 1.153 （

7、L）（）当 =30°，代入数据，解得：V 0.0014025(m3 ) 1.403 （L）（三）、模型建立及求解：若雨从背面吹来， 雨线方向与跑步方向在同一平面内 ，且与人体的夹角为则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量 . （如图 2）设雨从背部吹来时与人体夹角为， 且 0°90°, 建立 a，b，c，d，u，之间的关系为：（ 1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量V 1 ，它与模型中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V 1b ccosd / vb cd cos /v精选.usinv ，vu sin（2）、后部淋雨量：人相对

8、于雨的水平速度为：u sin，vu sinv从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：usinv / u ， vu sinvu sin / u ， vu sinV 3a b dusinv / u ， vu sin可得人背部淋雨量为：a b dvu sin/ u ， vu sinV 3而总淋雨量： V=V1 V 3从而有： Vb cd cos/ va b d(usinv ) / u，vu sinVb cd cos/ va b d(vu sin) / u，vu sinVb dc cosa sin/ v，vu sin化简式得：a / uVb dc cosa sin/ v，vu sina / uV0.

9、2cos1.5sin/ v，vu sin0.375 / 360代入相关数据化简得：，V0.2cos1.5sin/ vvu sin0.375 / 360由 V（ v) 函数可知：总淋雨量（ V）与人跑步的速度（ v）以及雨线与人的夹角（ ）两者有关。（）、 当 vu sin时，且 0°90°，可得： c cos a sin >0对式求导，易知V <0；所以，总淋雨量（ V）随着速度（ v）的增加而减少，因此， v u sin总淋雨量最小。（）、当 v >u sin 时，且 0° 90°，对式求导，解得： V1.5sin0.2cos（2）1

10、80 v( ) 、当 1.5sin 0.2 cos <0 时，即 ： tan <2/15, 即 V<0；从而推出，总淋雨量（ V）随着速度（ v）的增加而减少，所以，速度 v=vm ，总淋雨量最小。（）、当 1.5sin 0.2 cos >0 时，即 ：tan >2/15, 即 V>0；从而推出，总淋雨量（ V）随着速度（ v）的增加而增加，所以，当速度（ v）取最小，即 v=u sin 总淋雨量最小。当 30°， tan >2/15 ，由模型分析的，当v=u sin =4× 1/2=2 （m/s）精选跟实际的生活就差不多很相似了就越少。.总淋雨量最小，且V=0.0002405（m3 ）=0.2405(L)五、 结果分析：（1）在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二相似，将模型二与模型三综合起来。 由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量（ 2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好（ 3）若雨从背面吹来时，分为两种情况：当 tan >c/a 时，跑步速度 v=u sin 时 V 最小；当 tan <c/a 时，跑得越快越好。但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内，若是雨线方