数学建模入门试题极其答案.

1、1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？4. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？5. 一人早上 6：00 从山脚 A 上山，晚 18：00 到山顶 B；第二天，早6：00 从 B 下山，晚 18：00 到 A 。问是否有一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点？6. 如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分？7. 兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。 已知哥

2、哥的速度为 3 公里 /小时，妹妹的速度为 2 公里 /小时，狗的速度为 5 公里 /小时。分析半小时后，狗在何处？8. 甲乙两人约定中午 12：00 至 13：00 在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待 10 分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？9. 设有 n 个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。10.一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着10 厘米高的水（如右图），其下10cm端小孔的面积为 0.5 平方厘米，求这些水流完需要多少时间？11.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/

3、100 的斜Q/Lq/x10坡，计算这种情下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？12.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。1解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧 :顶=1：a:b，选坐标系将人的速度表示为（ v,0,0）,即人沿 x 周方向走， v0,而设语雨速为（ x,y,z）,行走距离为 L，则淋雨量 Q 的表达式为：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v记 q=a|x|+b|z|,则q xL(1),v xvQ(v)=q xL(+1),vxv

4、在 qx和 qxqx1q/xxv0xv2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周收回书的 1/10，设教授已借出书的册数是时间t 的函数小 x(t)的函数，则它应满足（时间t 以周为单位）X(0)=0其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为 0。-t/1=701-et10解该线性方程初始问题得 X(t)由于当 t时，其极限值为 70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。3.解：我们从山脚 A 点为始点记路程，设从 A 到B 路程函数为 f（t）,即 t 时刻走的距离为 f（t）;同样设从B 点到 A 点的路程为函数g（t）。由题意有f(8)=0,f(18)

5、=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0；令 h（t）= （ft）-g（t），则有 h(8)= f(8) -（g8）=- |AB|0又注意 f（t），g（t）都是时刻 t 的连续函数，因此 h（t）也是时刻 t 的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使 h（t。）=0，即 f（t。）=g（t。）所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解：设 I 为平面上任一封闭曲线，p 为平面上一点（不妨设p 在 I内），则存在已过点p 的直线，将 I 所围的面积二等分，如下图lS2pS1a0设 l 为过点 p 的一条直线，若 S1= S1，则得证，否则设 S1 S2,l

6、与 x 轴夹角为 a，让 l 逆时针绕 p 旋转 S2 ，S2，则 S1，S2 随 a 的变化连续的变化，记其面积为 S1a），S2（a）,则记 S1（a）= S1, S2（a）= S2,f(a+)0, 且 f （a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，）存在使f （）=0，a=对应的直线即为所求。5解：哥哥与妹妹的速度分别为3 公里 / 小时及 2 公里 / 小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6解：设甲乙两人分别在12 点 x 分及 y 分等可能到达到达约定地点，显然 0x60,0 y60，若两人相遇则有 |x-y|10，这是一个几何概率问题，其中样

7、本空间为A=（x，y）| x60,0 y60它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为y60ag1006010xG=（x，y）, |x-y|10其图形见上图阴影部分，Sa，Sg 分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 证明：设第 i 个人认识的人为 s（ i ），则 s（i ）0.1.2.3N-1设没有两个人认识的人一样多，则s（1），s（2）， 互不相等，则 s（i ）取遍集合 0 、1、2N-1 中的一个值，即至少存在某两个人 k1，k2 使 s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第 ki 个人

8、，由于（ki ）=N-I ，故他必然认识第k2 人，故 s（k）至少为 1，与 s（k2）=0 矛盾，得证。8解：由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh ，其中 0.62 为流量系数 S 为空口横截面， g 为重力加速度， h 为从从空口到水面的高度，故有 dv=0.312gh dt ，另一方面，在 t 时间内，水面由h 降至 h+dh（dh0）, 则仅有dv=- r*r*dh=- /3*h*h*dh,所以有0.31 2gh dt=- /3*h*h*dh，再由 h(0)=10, 联立求得其解为t=( /3)*(2/5)*1/(0.31(2.510-2.5h,当水流完时，2gh=0解得

9、 t=2 /(15*0.31 2g )*2.5109解：设 t=0 时为开始刹车的时刻， x（t ）为从 t=0到 t 时刻所幸的距离，由刹车时所受的制动力为-uW 100-W* 1100* 1001，其中 W为车重，故 x（t ）满100* 100 1足 w *d （dt/dt）/dt=-uW-W* 1100* 100 1g又由 x（0）=0，dx/dt| t=0=v。解得 x（t ）=-1/2 （ 100ug100* 1001+ g 100* 1001 ） t2 +v。*t故制动时间为t b=v。/( 100ug+ g 100* 100 1 )100* 100 1因此刹车距离为x(t )=1/2* v。 /(100ug+ g 100* 1001 )b100* 1001同 理 可 得 汽 车 由 西 驶 来 时 ， 刹 车 距 离 为1/2*v 。/( 100ug+ g 100* 100 1 )100* 100110. 解：假设管道是直的圆的、粗细