流体力学-第3章流体运动学

1、22第3章流体运动学选择题:.2drv【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（ b） t；（ c）（v ）v ；v（V ）v（d） todv va v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt tv （d）【3.2】恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要 素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为 零。解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流 体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运 动参数是一个空间坐标和时间变

2、量的函数；（d ）运 动参数不随时间变化 的流动。解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。（c）【3.4】均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加 速度为零；（d ）合加速度为零。解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移 加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ） 微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零 的流动。（d ）【3.6 变直径管，直径 di 320mm , d2

3、160mm，流速 Vi 1.5m/s。V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。V| d； V2 d；解：按连续性方程， 44 ，故V V 虫 1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c） 具有流速势；（d）满足连续性。解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随 时间变化而变化；（d）与时间无关。解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点 观察流体质点的物理量均不

4、随时间而变化，但要注意的是这并不表示流 体质点无加速度。（d）【3.9】在流动中，流线和迹线重合：（a）无旋；（b）有旋；（c ）恒定；（d）非恒定。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。（c）【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项运动：（a）平移；（b）旋转；（c）变形；（d）加速。解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。而 刚体是不变形的物体。（c）【3.11】一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件是：（a ）理想流体；（b） 粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩流体。解：一维流动的连续方程VA C成立的条件是不可压缩流体，倘若是可压缩流体

5、，则连续方程为VA C【3.12】流线与流线，在通常情况下：（a）能相交，也能相切；（b）仅能相交， 但不能相切；（c）仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，也不能相 切。解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为 零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。（c）3.13】欧拉法描述流体质点的运动：（a）直接；（b）间接；（c）不能；（d）只在恒定时能。解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间 点上的流体质点的物理量，因而是间接的。而拉格朗日法（质点法）是 直接跟随质点运动观察它的物理量（b）【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：（a） 一定重合

6、；（b） 一定不重合；（c） 特殊情况下可能重合；（d）一定正交。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动， 在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线 运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。（c）【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条 件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压 缩流体。解：这道题的解释同3.11题一样的。（d）【3.16】速度势函数存在于流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；（c）所有无旋；（d）任意平面。解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）

7、（c）【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直线；（b）所有迹线都 是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。 解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。（d）【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a）两维不可压缩连续运动；（b）两维不可压缩连续且无旋运动；（c）三维不可压缩连续运动；（d）三维不可压缩连续运动。解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无 旋流动，即流动是平面势流。（b）计算题【3.19】设流体质点的轨迹方程为x C1et t 1y C2et t 1ZC3其中C1、C2、C3为常数。试求（1）t=

8、0时位于x a, y b，z c处的 流体质点的轨迹方程；（2 ）求任意流体质点的速度；（3 ）用Euler法表示上面流 动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和用Lagra nge 法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，0 x a y两者结果是否相同。b，z C代入轨迹方程，得解：（1）以taG 1bq 1cc3c1a 1c2b 1故得c3c当t 0时位于（a,b,c）流体质点的轨迹方程为(a)(b)x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1 z ccd 1t（2）求任意质点的速度(3)若用Euler法表示该速度场由(a )式解出a,b,c ；1a f x

9、t 11e1b r y t 11ec z即(a)式对t求导并将(c)式代入得v_yt(b 1)et 1y tz0wt(4 )用Euler法求加速度场uuuuaxuvwtxyz1(x t)x t1vvvvaytu xv yw z1(y t2)y t 1wwwwazuvwtxyz(a1ut20x t1)et由(a )式Lagrange法求加速度场为(d)2axxt2(a1)et21)etayy t2(b2zazt20将（c）式代入(e)式得axx t1ayy t1az0两种结果完全相同】已知流场中的速度分布为uyz tvxz twxy3.20（1 ）试问此流动是否恒定。（2 ）求流体质点在通过场中

10、（1,1 加速度。解：（1 ）由于速度场与时间t有关，该流动为非恒定流动。,1）点时的axxxz(xzt)y(xy)ayazy(yzz(yzt)1,y 1,zt) x(xy)x(xz t)1代入上式，得xax3 tay1taz 23.21】一流动的速度场为2 2试确定在）点的轨迹线方程和流线方程。v (x 1)t i (y 2)t j t= 1时通过(2,1解：迹线微分方程为dxdxdtdydt(x1)t2(y2)t2dydt以上两式积分得ln(x 1)1t3Ciln(y2)h33C2两式相减得In cx 1 Inyc(y2)将 x 2,y1代入得故过（2,1 ）点的轨迹方程为 流线的微分方程

11、为dxdx2(x 1)tdy2(y 2)t消去t，两边积分得In(x 1) ln(y 2) Inc或者x 1 c(y 2)以 x 2,y 1代入得积分常数c 1故在t 1，通过(2, 1 )点的流线方程为x y 13.22】已知流动的速度分布为u ay(y2 x2)v ax(y2 x2)其中a为常数。(1 )试求流线方程，并绘制流线图；(2 )判断流动是否有旋，若无旋，则求速度势并绘制等势线。解：对于二维流动的流线微分方程为dx dyuvdxdy即ay(y2x2)ax(y2x2)消去a(y2x2)得 xdxydy积分得12 12xy c2 22 2或者x y c若c取一系列不同的数值，可得到流

12、线族一双曲线族，它们的渐近 线为y x如图有关流线的指向，可由流速分布来确定。u ay(y2 x2)2 2v ax(y x )对于y 0, 当| y| |x|时，u 0当1 y1 |x|时，u o对于y o,当|y |x|时，u o当1 y1 |x|时，u o据此可画出流线的方向判别流动是否有旋，只要判别rotv是否为零,2 2ax(y x )x2 2ay(y x ) y2 2 2 2 2 2a（y x ） 2 axa（ y x ） 2 ay2 22ax2ay 0所以流动是有旋的，不存在速度势。【3.23】一二维流动的速度分布为u Ax Byv Cx Dy其中A、B、C、D为常数。（1）A、B

13、、C、D间呈何种关系时流动才无旋；（2）求此时流动的速度势。解：（1）该流动要成为实际流动时，须满足 divv 0，U v c0即x y或者ad 0,得aD该流动无旋时，须满足rotv0，v U c0即xy或者C B 0，得C Bu AxBy（2 ）满足以上条件时，速度分布为v BxAyu Ax By积分得1 Ax2 Bxy f (y)2 Bxf (y) v BxAy由于y故f (y)Ayf(y)2Ay212 2A(x y )Bxy因此速度势23.24】设有粘性流体经过一平板的表面。已知平板近旁的速度分布为v v0 s in -2a （ Vo, a为常数，y为至平板的距离）试求平板上的变形速率

14、及应力。解：流体微团单位长度沿 X方向的直线变形速率 为xxVosin(g)（为X轴方向）xx同理沿y方向直线变形速率为vyyy y 0沿z方向直线变形速度为zz在xOy平面上的角变形速率U) y y 0V2a在yOz平面上的角变形速率在zOx平面上的角变形速率u W） 0x牛顿流体的本构关系为（即变形和应力之间关系）PxxPyyPzzxyyxU）yxzzx（丄zW）xzyyz故在平板上,PxxPyyPzz PzxyzxyyVo °。临）2av02a3.25】设不可压缩流体运动的3个速度分量为axay2azcons t， y const两曲面的2其中a为常数。试证明这一流动的流线为丫

15、 z交线。解：由流线的微分方程dx dy dzdxdydz得axay2azdxdxaaxaydydzb即ay2az积分(a ）得xC1y积分(b ）得2y zC2x2即证明了流线为曲面 y z常数与曲面y 常数的交线。时的流3.26】已知平面流动的速度场为v (4y 6x)ti (6y 9x)tj。求t= 1习题3. 26图4区间穿过x轴的4条流线图形。 解：流线的微分方程为dx dyu v1时的流线为dxdy4y 6x 6y 9xdxdy或者 2(2y 3x)3(2y 3x)即3dx 2dy积分得3x 2y c为流线方程c 3,6,9,12时可画出1x 4穿过x轴的4条流线3.27】已知不可

16、压缩流体平面流动，在y方向的速度分量为vy2 2x2y。试求速度在x方向的分量u。解：此平面流动必须满足 divv 0对于二维流动即Uxvy0以vy2 2x 2y代入u2y2 0xu2y2故x故u2xy2xf(y t)u u max【3.28】求两平行板间，流体的单宽流量。已知速度分布为式中y=0为中心线，y b为平板所在位置，Umax为常数。/A1*/I b气u max bO:) 习题328 图解：如图，由U Umax1 （b），平板间的速度分布为抛物线分布。通过dy截面的体积流量dQ为dQUdyUmax12dybbQ 2 o dQ 2umax ooo则平板间的流量(by)2 dy2ub-

17、bUmaxmax333.29】下列两个流动，哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？ay， v(1 )ax（2 ） 式中 解：（1）CX22小X y W 0C2 2x yc是常数。判别流动是否有旋，只有判别rotv是否等于零。wv000yzuw000zxvua(a) 2axyrotv2ak流动为有旋流动。所以c1wv1&yzC)-(00)2yz2。 1uw1&xz(-)-(00)2zx2所以流动无角变形。角变形00w v0 00u 1y)尹 a) 0uzvx故流动为无旋2 2 2 u c(x y ) 2cx 222y (x y )2 2 2 c(x y ) 2cy (x

18、同理2 2c(x y )2 2 2 (x y )2 xy 2y。试确定流动:23.30】已知平面流动的速度分布u x 2x 4y , v（1 ）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数， 求出和 。解：（1）由divv是否为零U 2x 2 2x 20x y故满足连续性方程（2）由二维流动的rotv得X y故流动有旋2y ( 4)0(3)此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函数 而速度势不存在2u x 2x 4y y2 2积分得 X y 2xy 2y f(x) v 2xy 2yx故 2xy 2y f (x) 2xy 2yf (x)0 f(x) C2 2因此x y 2xy 2y (常数可以作为零)Qlnr3.31】已知速度势为：(1)解：(1)在极坐标系中(2)arcta n，2x,求其流函数。Vrr rIn r当Vrrv rvrrQ2 r Q d2 d因此f(r) v 0 r故f（r）CQ得2y arcta n（2 ）当 2x时e xcosh y 1将直角坐标表达式化为极坐标形式2vrr0vr2 rvr0r因此f (r)dfvrdr2 rf(r)In r故2ln r得23.32】有一平面流场，设流体不可压缩，x方向的速度分量为u（1）（ 1）已知边界条件为y °, V 0，求v（x,y）；（2）（ 2） 求这个平面流动的流函数。