拉普拉斯变换及其逆变换表

1、拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性L af ( t )aF ( s )叠加性L f 1 ( t ) f 2 (t) F 1 ( s) F 2 ( s)Ldf ( t ) sFdt( s ) f (0)Ld 2 f ( t ) s dt 2 s2 F ( s )sf ( 0 ) f ( 0 )2微分定理d n f ( t )sn一般形式Ln F ( s )s n k f ( k 1) ( 0 ) k1dt nf( k 1 ) ( t ) d1 f ( t )dtk1初始条件为0时L d n f ( t )sn F ( s ) dt nsLf (t)dt

2、F(s) f(t)dtt 0 ssL2 F(s) f(t)(dt)22f (t)dtt 0 2f (t)(dt)2t 02一般形式sss3积分定理共n个共n个Lf (t)(dt)n F(ns) sn n1k 1 n k 1 k 1 sf(t)(dt)nt 0共n个初始条件为0时Lf(t)(dt)n F(ns)s4延迟定理（或称 t 域平移定理）L f (t T)1(t T) esF(s)5衰减定理（或称 s 域平移定理）L f (t)e at F(s a)6终值定理limtf(t) lsim0 sF(s)7初值定理limt0f (t) lim sF(s) s8卷积定理tL 0tf1(t ) f

3、2 ( )d Lt0 f1(t) f2(t)d F1(s)F2 (s)2表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号拉氏变换 F(s)时间函数 f(t)Z 变换 F(z)11(t)121Ts1eT (t) (t nT) n0zz131 s1(t)zz1412 stTz(z 1)2513 st22T 2z(z 1)2(z 1) 361n1 stn n!nn laim0 ( 1)n ( z aT )a 0 n!an z e aT71 saatezaT ze81atteaTTze(s a)2aT 2 (z e )9aat1eaT(1 e aT )zs(s a)(z 1)(z e aT )10ba

4、at bteezz(s a)(s b)aT bT z e z e11sin tzsin T22 sz2 2zcos T 112scos tz(z cos T)22 s2z2 2zcos T 11322(s a)ate sin taT ze sin T2 aT 2aT z 2ze cos T e14sa22(s a)ate cos t2 aT z ze cos T2 aT 2aT z 2ze cos T e151s (1/T)lnat/Taz za3 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 F(s)是 s的有理真分式F(s)b1

5、s b0a1s a0B(s) bms bm 1sn n 1A(s) ans an 1s式中系数 a0,a1,.,an1,an，b0,b1, bm 1,bm都是实常数； m, n是正整数。按 代数定理可将 F(s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 A(s) 0 无重根这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式F(s)c1s s1c2s s2cis sicnssnncii1s si式中， S1，S2， ，Sn是特征方程 A(s)0 的根。 c i 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可按下式计算：ci lismsi (s si )F(s)cissF-1)式中， A (

6、s)为 A(s)对 s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式( 可求得原函数1f (t) L 1 F(s)L1cii 1 s siciei1sit A(s) 0 有重根设 A(s) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为FsB(s)(s s1 ) (ssr 1) (s sn )=crcr1c1cr 1cicn(s s1 )(s s1 )(s s1) s sr 1s siss式中， s1 为 F(s)的r 重根， sr 1 ，, sn为 F(s)的 n-r 个单根；其中， cr 1，, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr，cr 1，, c1则按下式计算：原函数crcrcrlisms1 (s s1 )F(s)lims sd1ds(s s1)rF(s)(j)1j!lims s1 dds(j) (s s1)rF(s)(j)c1(r1 d r11)!lims s1 dds(r1) (s s1) F(s)( r 1)( r 1)f(t)