抽屉原理的应用

1、抽屉原理的应用摘 要：根据抽屉原理， 在运用抽屉原理解决实 际问题时， 对不同构造抽屉的方法进行了总结、 归纳， 以及详细的分类。关键词：归纳；应用；抽屉原理Abstract：Based drawer principle， the principle of solving practical problems in the user of a drawe，r the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown.Key words：induction ；using；principle of

2、drawer. 中图分类： O165 一、基本原理 抽屉原理是数学中的一个重要原理，这个原理可 以用一个常识性事实来说明。即：如果苹果的数目大 于抽屉的数目，则一定有某个抽屉至少放入了两个苹 果。正是这个简单的原理，可以帮助我们解决不少复 杂的、趣味的、富有挑战的问题。我们先来看它的命 题和相关原理。引理 1：把 n+1 个物体分成 n 个组，那么至少有 一个组里含有不少于两个物体。上面这个原理便是著名的抽屉原理，又名鸽巢原 理，或狄得克雷原理。下面是由抽屉原理推广得出的 命题。引理 2：把 m（ m1）个物体分成 n（n<m）个 组，当 n 除不尽 m 时，有 m=nq+r（ 0<

3、;r<n），那么至 少有一个组里含有不少于 q+1 个物体，也至少有一个 组时含有不多于 q 个物体。引理 3：（抽屉原则 1）把 m 个物体，分别放入在 n 只抽屉里（ n<m），那么至少有一个抽屉里有着不少 于 k 个物体。其中k=（当 nm） +1（当 n不整除 m 时） 式中，表示不超过的最大整数。引理 4：（抽屉原则 2）设 m1，m2，, ， mn 都是 正整数，并有 m1+m2+, +mn-n+1 个物体放进 n 个抽 屉里，则第一个抽屉里至少有 m1 个物体，或第二个 抽屉里至少有 m2 个物体, 或第 n 个抽屉里至少有 mn 个物体，至少其中之一成立。引理 5：

4、（广抽屉原则）把无穷多个元素的集合按 任一确定的方式分成有限个子集合，必定至少有一个 子集合包含有无穷多个元素。二、抽屉原理在实际中的应用 运用抽屉原理解题，首先要搞清需要对哪些元素进行分类，其次要找出分类规则，最后应用抽屉原理 得出结论。这里关键是构造抽屉，现在我们看一下构 造抽屉的基本技巧和方法。1. 分割图形造抽屉例 1.在边长为 1 的正方形内任给 5 个点，试证， 其中必有两个点，他们之间距离不大于。证明：由题意分析，应设法把正方形分成四个 “抽 屉”，并且每个抽屉中任意两点的最大距离不超过。 根据上述两点，我们选择单位正方形分成四个边长为 的小正方形的办法来构造抽屉。由抽屉原理知，

5、至 少有一个小正方形内至少有两个点，又因为小正方形 内任意两点的距离不大于，所以命题得证。2. 对整数集合分类造抽屉例 2.对任意的 1997 个自然数 a1，a2，, ， a1997， 中，总可以找到其中若干个数使他们的和是 1997 的倍 数。证明：考察 a1，a1+a2，a1+a2+a3，, ， a1+a2+, +a1997这 1997个数，他们被 1997除后的余数至多有 0，1， 2， , ， 1996这 1997个类。（1）若余数中有某个为 0，问题显然是获证。（2）若其中之一没有余数为 0 时，问题变为 1997 个数归入 1996个类：“余 1 类”，“余 2 类”，, ， “

6、余1996 类”。至少有两个数属于同一类。不妨设两个数 为 a1+a2+, +am 与 a1+a2+, +am+am+1+, +a（k m<k ） 则（ a1+a2+, +am+am+1+, +ak）-（a1+a2+, +am） 被 1997 除，余数为 0 ，即 am+1+am+2+, +ak 被 1997 整除，问题得证。3. 使用数偶造抽屉例 3.在坐标平面上，任意取 5 个整点，其中一定 存在两个整点，他们的连线中心仍是整点。证明：平面上整点的坐标是有序整数对（ x，y）， 对其按整数奇偶性分类，一共有四类，即： （奇，奇）， （奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），这样就造成了四只

7、 “抽屉”。五个整点的坐标与四个抽屉对照， 至少有两 个坐标奇偶性相同。 不妨设这两个整点是 A1（x1，y1）， A2（x1，y1），由于 x1与 x2，y1与y2 的奇偶性相同， 所以，均为整数，即线段 A1A2 的中点（，） 是一个整点。4. 依对象的状态进行分类构造抽屉例 4.围着一张可转动的圆桌，均匀地放 10 把椅 子。在桌上对着椅子放着 10 人的名片，当 10 人随意 入座后，发现谁都没有对上自己的名片。求证：适合 地转动桌子，至少能使两人对上自己的名片。证明：将桌子按逆时针旋转，每转 36°就得到一种名片与人对应的状态。 总计有 10 种不同状态。 在这10 种状态中，每人都有一次机会对着自己的名片，即 人与自己的名片共有 10 次对号。由于最初的状态里， 谁都没有与自己的名片对上号。即人与自己名片对上 10次是分布在 9 个状态里，故必有一个状态