放缩法在解题中的应用

1、放缩法在解题中的应用放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。放缩法在近几年高考试题中多次出现，它 可以考察学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，是高中数学中的难点。下面从几道高考题谈谈解这类题的常见方法。4121. (2006 全国卷I)设数列曲，的前n项的和Sn*an-± 2n1 -, n =1,2,3,LL3332n (I)求首项a占通项an ;(n)设Tn,n = 1,2,3，证明:Sn4解:(I)由 S n=Aan-1 n+l23x2+3, n=123412 得 a 1=$1=严 14+3 所以 3i=2.412再由有 Sn_i=an_i 3X2

2、5, n=2,3 , 4,33341将和相减得:a n=S Sn 1= 3 (a n 3n- i) 3x (2 2 ),n=2,3,整理得：an+2n=4(an-i+2n-1),n=2,3,，因而数列 a n+2n)是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即:an+2n=4x 4n-1= 4n, n=1,2,3,，因而 an=4n 2n, n=1,2,3, 91n+1ic 4n 1n+12(n )将 an=4n 灯代入得Sn= 3X(4_2)- 3X2 + .-X (21)(2o2?x (2 n+12nTn=S：-1)(2n1)(2 1?(?11) 2、2 =：X (1、n+1)O 一 i3

3、巧13113t = r(27 一 2A)=2X( 21-2i+1 1/<2iit在(2)的证明中观察特点，巧妙用好了裂项求和，在放缩。2. (2006 福建卷)已知数列 an满足 ai=1,and=2an+1( n N”)(I)求数列 an的通项公式；(n)若数列(bn)满足 4-141 -4k-1=(an+1)km( n NJ,证明:bn是等差数列; (出)证明：一"1 V 色.玉-v-(nN-).2 3 a2 a3aA 2(I)解：an 1 =2an 1 (n N*),an1 =2(anV),-fan y是以印，1=2为首项，2为公比的等比数列。(II)证法一:an 1 =

4、2 .即4“4化.4叽二(务小s =21(nN).4(k, k2 一 krii* =2kn 2(d b2 .bn) -n工 nbn,2(bi b2 .bn bn i)-(n 1) =(n 1)bn d. 一，得 2(bni -1 ) =(H 1 )bni - fl bn,即(n 1)bm -nbn2 =0,加2_51)"12= 0一得 nbn .2-2nbn r nbn =0,即 bn2-2bn1 bn=0,bn-2八 1 =bn 1 6 (fl N ),展等差数列。(III)证明:3k 2k_1 2k_13ki 2* 1 1 2(2丄)2.旦+直+ +生卫r 32333n 121

5、11J 1 丄2 2(2-1)2 3.2k2k2_2 3*2k'玉an 1Lx n 丄(1 二)， 戶 2 3223-： (n N)3n 123. ( 2010四川文数)(22)(本小题满分14分)W1 +设f (x)=一 x ( a>0且a" )，g (x)是f (x)的反函数i _o(i)求 g(x)；(II)证法一：4“4化.4叫二(务(n)当 x 2,6时，恒有 g(X)lOga 2 (x-1)(7-x)(川)当Ov av1时试比较f(1)+f(2)+f(n)与n的大小并说明理由1>.成立，求t的取值范围;v_1解：由题意得： 0V+1x_ 1故 g(x)

6、 = loga , x (X+1X -1由 lOgalOgaX 1,1)U(1,+8)t(x-1)(7-x)当a1时，厂产Ay >°X -1i当0 vav1时，Ovx 1 (X21)(7 -x)又因为 x 2, 6,所以 Ov tv (x- “(7 x)X2(2,5)5(5,6)6h'( x)+0h(x)5/极大值3225令 h(x)= (x 1)2(7 x)= X3 + 9X2 15x+ 7, x 2,6则 h'( x)二3x?+ 18x 15=3(x 1)(x 5)列表如下：所以h(x)展小值二5,所以0 v tv 5又因为 x 2, 6,所以 t>(

7、x- “(7 x) >0令 h(x) = (x 1 )2(7 x) = X3 + 9x2 15x+ 7, x 2,6由知 h(x)最大值二32, x 2,6 所以t32综上，当 a> 1 时 » Ov tv 5;当 Ov a v 1 时，t >32 9分设a二，贝U p11 + P2 当 n = 1 时,f( 1)二 1+ w 3 v 5 ”则 f( k)二=11 3k2k(1 P) -12122iTkCkP +Ckp +111 + Ckp1 1另解。由Ov aw 2，得2。f( k)二2 444所以 f( k) w 1 +1 + 二 1 + C： +C：k(k+1

8、) kk+144从而 f(2) + f( 3) +f(n) wn 1 +<n + 12 n +1所以 f(1) + f( 2) + f(3) +f(n) v f( 1) + n+ 1 w n + 414分综上，总有 f(1)+ f(2) + f(3) + f(n) vn+ 4(2007年四川高考)已知函数f(x)=x2 - 4，设曲线y= f ( X)在点(Xn, f(Xn)处的切线与x轴的交点为其中n为正实数.(Xn+i,0) 用Xx表示Xn + 1 ;(H) 若ai=4，记anHg2，证明数列 ai2成等比数列，并求数列Xn的通项公式；Xn2(皿)若Xu 4, bn= Xn- 2,

9、Tn是数列 bn )的前n项和，证明Tn<3.(I) 由题可得f '(x) 2X所以曲线y = f(x)在点(Xn, f(Xn)处的切线方程是：yf (Xn)二f(Xn)(X - Xn).2 2即 y -(Xn -4) =2Xn(X -Xn).令 y =0,得(Xn - 4) = 2Xn(Xn 1 - X.).即X：r4 2XnXn 1 .显然 Xn = 0，二 Xn 1 二禺22Xnn4x12nxn22 la 2 la 3 即 la Xn "22 la 3所以 X =23i + T) 32X2(3 落+1)Xn-写'1. 13.bm 32 n1 -11 1(n

10、) 由“1 二牛 Z，知 Xn 1 2=丄学，同理 Xnl2=fS_2>22Xn2 Xn2Xn2 人故 Xn二(j) 2 .X 2 X 2n 1 n Xn 2Xnf2从而lg 42lg公，即ani =2an以，数列an成等比数列.Xn 1 -2Xn -2n/3n = 2 aAi =从而冷一 2 =32Xp, 2(皿)由(n)知4 k V Vnn n 11 J. bn 32-1 32 1 32 32当时，显然=2 : : :3 .1当1时，bn导一钿电才:川勺人51 b2bn1 1小加川（？叫1二综上，Tn：: 3 (n 1ST).2O06曽（晋西卷）已知数列an满足：ai= '，

11、且 an二2空匚一(n_2, n N ” )2an-i* n 1（1） 求数列 an的通项公式；n!（1）将条件变1 丄二(1an 3匸!），因此an-1解： 为：证明：对于一切正整数n,不等式a £2.an：:：21 丄为一个等比数列，其首项为Hn从而1 -3n1丄，据此得3n（2）证：1 得，3l£2 3n 二据为证 ai <92«. an: : : 2 <n!1只要证n1 N 时有(1-_)( ( 1-p)3显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个111（仁才）（1歹）_ （ 1-R1333用数学归纳法证耐时3啜式显然成立，3式成立，1（1-R1'(i )即牡23设n二k时，1 1)(1-2 )-3则当n = k+ 1时,1 1(10(1 霜八331 1=1(2+ +331 1故对p切予式都成立。3321 1(1)2n三N,3n1111頁)(1-R) 1-( - + T +31-b ok+1311孑）（厂31 /1 rk+1 '331、 歹+ +33+ )即当n二k+ 1时，3式也成立。 3k+