热力学与统计物理期末复习题

1、热力学统计物理1、请给出炳、恰、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：爛的定义：SB-SA = f¥=>dS = ¥沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。 因而可认为存在一个态函数，定义为爛。熔的定义：H = U+pV焰的变化是系统在等斥可逆过程中所吸收的热量的度量。自由能的定义：F = U TS£1由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。吉布斯函数的定义：G =F + pV = U-TS + pV在等温等压过程中，系统的古布斯函数永不增加。也就是说，在等温等压条件下，系统中 发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减

2、少的方向进行的。2、请给出热力学第零.第一.第二.第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡 （温度相同），则它们彼此也必定处于热平衡。热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转 化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。 热力学第二定律：克氏表述：不可能把热星从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的埔在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，B|Jlimo（AS）r =

3、O 绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。通 常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式:Cp Cy = llR解：定容热容：5 _ （为V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率;定压热容：Cp = （g） -P（罟）p =（等）p表示在压强不变的情况下的埔增; 对于理想气体，定容热容G的偏导数可以写为导数，即(1)定压热容Cp的偏导数可以写为导数，即(2)理想气体的爛为H=U + pV = U + nRT（3）由（1） （2） （3）式可得理想气体的定

4、圧热容与定容热容关系式:14、分别给出体涨系数a,压强系数"和等温压缩系数叼的定义，并证明三者之间的关系:#解：体涨系数：a =a给出在圧强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：“ = *（寻），"给出在体积不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积 的相对变化；等温斥缩系数：叼=-右（詈）j叼给出在温度不变的条件下，增加单位圧强所引起的物体 的体积的相对变化；由于0 V. 7三个变量之间存在函数关系f（p, T, K） =0,其偏导数存在以下关系：（养）丁 69” （轨=t因此a, B,叼满足a =衍旳5、分别给出内能，焙，自由能，吉布斯

5、函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系 式解：内能的热力学基本方程：6U = TdS- pdV对应的麦克斯韦关系式：（亂=-（轨焙的热力学基本方程：dH = T6S + Vdp对应的麦克斯韦关系式：（g）s = ®p自由能的热力学基本方程：dF = -SdT + Vdp对应的麦克斯韦关系式：（勒=（轨吉布斯函数的热力学基本方程：dG = -SdT 一 pdV对应的麦克斯韦关系式：（g）r = Op6、选择T, P为独立变量，证明：5 = 丁 （亂，（鈴）T= T ©V - P证明：选择7,卩为独立变量，内能的全微分为心（黑严+（轨di/又己知内能的热力学基本方程 dU

6、 = TdS- pdV （2）以T，卩为自变量时，爛S的全微分为4$ =僚）严+ （篇）严 将（3）式代入（2）式可得僚）严+ P（紡-Pd（4）将（4）式与（1）式比较可得H（孰（S） r = T Ov - P 7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷：原理：让被床缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。由于多孔塞的 作用，气体在它的两侧形成压强差，气体从高压侧缓慢流到低压侧，并达到稳恒状态，这 个过程被称为节流过程。优点：（1）装置没有移动的部分，低温下移动部分的润滑是十分困难的问题；（2）在一定的斥强降落下，温度愈低所获得的温度降落愈

7、大。缺点：节流过程降温，气体的初始温度必须低于反转温度。绝热膨胀制冷：原理：能量转化的角度看，系统对外做功，内能减少，膨胀分子间半均距离增大，分子间 相互作用势能增加，分子的平均动能必减少，温度必降低。优点：不必经过预冷；缺点：膨胀机有移动的部分，温度愈低降温效应愈小。磁致冷却法：在绝热过程中顺磁性固体的温度随磁场的减小而下降。优点：可以获得更低的温度：缺点：磁致冷却过程是单一循环，不能连续工作。8、选择T, 了为独立变量，推导出吉布斯一亥姆霍兹方程解：（1）已知自由能的全微分表达式为dF = -SdT 一 pdV因此s =-冷p = -£如果已知尸（几D,求尸对T的偏导数即可得出爛

8、S（7； K）；求尸对卩的偏导数即可得出 压强p IT, F）,这就是物态方程。根据自由能的定义，F二卜TS,有dFU = F + TS = F- T dT即为吉布斯一亥姆霍兹方稈：（2）已知吉布斯函数的全微分表达式为dG = -SdT + Vdp因此S = _筹，P = _券如果己知GIT, D,求&对7的偏导数即可得出爛S（7, K）；求尸对卩的偏导数即可得出 压强plT, K）,这就是物态方程。根据吉布斯函数的定义，G=U-TSpV,有dG dGU = GTS.pV = G.T_.p_由焙的定义H = +pU,得dGH=G-TdT即为吉布斯一亥姆霍兹方程。9. 推导出克拉珀龙方程

9、和理想气体的蒸汽压方程解：设（T, p）和（7'七7；戸七7'）是两相平衡曲线上临近的两点，在这两点上，两相的化学 势都相等：讥八 p）=/（T, p）liaT + dT, p + dp) = p0(T + d7 p 4- dp)两式相减的dr = d“0（1）表示当沿着平衡曲线由（7, p）变到（7*七7；戸七7'）时，两相的化学势的变化相等。化学势 的全微分为dM = -SmdT 4- Vmdp（2）Sm和Kn分别表示摩尔爛和摩尔体积, 将（2）式代入（1）式得S%dT 4- vdp = -SdT 十啾dp3以厶表示lmol物质由a相转变到B相所吸收的相变潜热，因为

10、相变时物质的温度不变，则4(4)将(4)式代入(3)式可得dpL而_T(瞪_*)(5)即为克拉珀龙方程;在(5)式中略去并把气相看作理想气体= 则(5)式可化简为ldP _ L万而=丽 (6)如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关，将(6)式积分可得Llnp =-丽+力(7)即为蒸汽压方程的近似表达式。10、简述一级相变和二级相变的特点解：一级相变：在相变点两相的化学式连续，但化学式的以及偏导数存在突变。在一级相 变中两相有各口的非奇异的化学式函数，相变点是两和化学势函数的交点：在和变点两相 的化学势相等，两相可以平衡共存，但是两相化学势的一级导数不等，转变时有潜热和比 体积突变；在相变的两

11、侧，化学势较低的相是稳定相，化学势较低的相可以作为亚稳态存 在。二级相变：在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存 在突变。二级相变没有相变潜热和比体积突变，但是定压比热、定压膨胀系数和等温压缩 系数存在突变。11简述你对吉布斯佯谬的理解解：假设有两气体，物质的量各为力，令他们在等温等压下混合，则由C = -Rininxi (1) 可知，混合后的埔增为C2加?Ln2(2),这结果与气体的具体性质无关。不过应强调，由于在推导理想气体的吉布斯函数G时用了膜平衡条件，式中的为 是对不同气体的求和, 因而(1)式(2)式仅适用于不同气体，对于同种气体，由爛的广延性可知，“混

12、合”后气 体的爛应等于“混合”前两气体的墻之和。因此，由性质任意接近的两种气体过渡到同种 气体，爛由2nKln2突变为零。这成为吉布斯佯谬。12、给出吉布斯相率的数学表达式并详细解释其含义和物理意义解：吉布斯相率的数学表达式：f = k + 2 p；f称为称为多元相系的白由度，式多元复相系可以独立改变的的强度变量的数目，卩表示多元复相系有卩个相，k表示每个相有"个组元，2表示外界因素n,多数取n=2,代 表压力和温度；物理意义：吉布斯相律说明了平衡体系中，系统的|'1由度与相数、组元数Z间的关系。13简述热力学和统计物理学的区别和联系解：热力学是用宏观的方法研究热现象，统计物

13、理学是用微观的方法研究热现象。虽然两 者都是研究热现象的，但理论体系是完全不一样的；热力学是一门极其优美的理论，只使 用最简单的数学方法，通过四大基本定律，也就是热力学第零定律、热力学第一定律、热 力学第二定律、热力学第三定律，完全不依靠实验，仅从四大基本定律推导出整个理论体 系。统计物理学则要使用复杂的数学方法，还要依靠实验：是由微观到宏观的桥梁，它为 各种宏观理论提供依据，已经成为气体、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和 生物学的研究中发挥作用；统计物理为热力学提供了清晰的物理图像和定量的解释。14.分别给出玻尔兹曼统计分布，波色一爱因斯坦分布，费米一狄克拉公式，并简述三种 分布之

14、间的关系解：玻尔兹曼统计分布：卬=3违一"0习波色一爱因斯坦分布：© =諾二 费米一狄克拉分布：© =諾石三者之间的关系：玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）：玻色系统 遵守玻色分布：费米系统遵守费米分布：满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满 足玻耳兹曼分布。16、给出定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数，并用其表达出内能、广义力和爛 解：定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数为：U = N 訥内能的统计表达式:广义力的统计表达式:埔的统计表达式:解：能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项 的半均值

15、级对于单原子分子，定压热容与定容热容之比y = ? = = 1.667,此理论结果与实验结果符 53合的很好，但是在讨论中是将原子看作一个质点，完全没有考虑原子内电子的运动，原子 内的电子对热容没有贡献是经典理论所不能解释的，要用屋子理论才能解释。（没有考虑原 子内的电子运动）；对于双原子分子，定圧热容与定容热容之比y-1.40,除了在低温之下的氢气以外， 实验结果与理论结果都符合。氢气在低温下的性质经典理论不能解释。此外不考虑两原子 的相对运动也缺乏根据。更为合理的假设是两原子保持一定的平均距离做相对简谐振动。 但是，如果采取这个假设，双原子分子的能量将有七个平方项，能量均分定理给出的结果

16、将与实验结果不符。这一点也是经典理论所不能解释的。（不能解释低温氢气的性质和柔性 连接情况）；对于固体，Cv=3Nk,将理论结果与实验结果相比较，在室温范围内符合的很好，但在低 温范币内，实验发现固体的热容随温度降低的很快，当温度趋紧绝对零度时，热容趋近于 零。这个结果经典理论不能解释。此外金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于 电子，自由电子的热容与粒子振动的热容将具有相同的能级。实验结果是，在3K以上自由 电子的热容与粒子振动的热容相比，可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。（不能 解释所有理想固体有相同的热容最）。17、给出普朗克公式，并讨论其在低频和高频内的结果解：普朗克公式

17、：现在讨论普朗克公式在高频和低频范围内的极限结果:為在方0/kTvvl的低频范围，e-l + ,普朗克式可近似为kTV ,U (°T)d0 = . ekTd/y7VC得到瑞利一金斯公式：在方0/kT>>1的高频范围内有e/kT » 1,可将普朗克公式分母中的-1忽略而得U (T)d =力 se-/kTd7TC得到维恩公式：由上式可以看出，当尿y/kT»l时，当(3, T)随3的增加而迅速地趋于零，这意味着, 在温度7的平衡辐射中，Tzry/kT>>1的高频光子是儿乎不存在的：也可以理解为，温度 为7*时窖壁发射方e»kT的高频光子概率是极小的。18>试讨论电子在 琢时的分布(提示：费米能级的定义及其物理意义)解：电子在0K时服从费米分布，电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限 制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从£ = 0的状态起依次填充至“(0)止。0K时电子气体的内能为0) = ¥“(0),可知0K时电子的平均能最为*(0)； 0K时电子气 体的压强为p(0) = |n/z(0)o可以看