反比例函数与面积

1、挑战“记忆”w你还记得一次函数的图象与性质吗? 回顾与思考回顾与思考 一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的图象是一条直线的图象是一条直线, , 称称直线直线y=kx+by=kx+b. . y y随随x x的增大而增大的增大而增大; ;xyoxyony y随随x x的增大而减小的增大而减小. .b0b=0b0b0时,n当k0K0当当k0时，函数图象时，函数图象的两个分支分别在第的两个分支分别在第一、三一、三象限，在每个象限，在每个象限内，象限内，y随随x的增大的增大而减小而减小.当当k0时，函数图象时，函数图象的两个分支分别在第的两个分支分别在第二、四二、四象限，在每个象限

2、，在每个象限内，象限内，y随随x的增大的增大而增大而增大.1.反比例函数的图象是反比例函数的图象是双曲线双曲线; 2.图象性质见下表：图象性质见下表：图图象象性性质质y=xkw反比例函数的图象和性质：反比例函数的图象和性质：则则垂足为垂足为轴的垂线轴的垂线作作过过有有上任意一点上任意一点是双曲线是双曲线设设,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质面积性质（一）（一）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若将此题改为过若将此题改为过P点点作作y轴的垂线段轴的垂线段,其结其结论成立吗论成立吗

3、?|21|2121knmAPOASOAP).( |,)2(如图所示如图所示则则垂足分别为垂足分别为轴的垂线轴的垂线轴轴分别作分别作过过矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）面积性质（二）).(,),(),()3(如图所示如图所示则则点点轴的垂线交于轴的垂线交于作作与过与过轴的垂线轴的垂线作作过过关于原点的对称点是关于原点的对称点是设设|k k| 2 2|2n2n| |2m2m|2 21 1|P PA AAPAP|2 21 1P PPAPAS S AyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面积性质（三）面积性质（三）P(m,n)o

4、yxP/yP(m,n)oxP/以上几点揭示了双曲线上的点构成的几以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质何图形的一类性质. .掌握好这些性质掌握好这些性质, ,对对解题十分有益解题十分有益.(.(上面图仅以上面图仅以P P点在第一象点在第一象限为例限为例).).CyOBxy=2xxy2DAES矩形矩形APCE=Pk4CyOBxy=2xxy2DAES平行四边形平行四边形PD=Pk2FAyOBxy=-2xxy2CDS四边形四边形ACBD=k2AyOBxy=-2xxy2CDSABC=kAyOBxy=-2xxy2CDESABE=k2做一做PDoyx1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数

5、是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积的面积为为 . .xy2(m,n)13k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限图像在二又._, 3,. 9函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:由性质(2)可得A.S = 1 B.1S2_._.S, S,面面ABC的ABC的, , BC平行于xBC平行于x, ,AC平行于yAC平行于y 的任意的任意O O于原于原上上的的x x1 1y yB是B是A,A, ,7.如7.如则 积为 轴 轴两点对称关 图图点点像像函

6、数函数 ACoyxB解:由上述性质(3)可知,SABC = 2|k| = 2C_ _ _ _. ., ,S S 的的面面R Rt t, ,S S 的的面面R Rt tD D. .垂垂足足, ,的的垂垂C C作作y yB B. .垂垂足足, , 的的垂垂A A作作x x市市2 20 00 00 0年年) )6 6. .( (武武2 2O OC CD D1 1A AO OB B则积为积为记为线轴过为线轴过汉如图如图:A、C是函数是函数 的图象上任意两点，的图象上任意两点，x x1 1y y A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和S2的大小关系不能确定. C由上述性质由上述性质1可

7、知选可知选CABoyxCD DS1S2.,21|21,21|21,21|21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解:由性质(1)得A._,)0(1,. 8321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2. 2,8) 1 ( :xyxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)2( ;,) 1 (.,28,. 8的面积两点

8、的坐标求两点交于的图像与一次函数反比例函数已知如图AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(, 2,0, 2:)2(Mxyxy时当解法一. 2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy时当解法二. 2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD探究探究1：反比例函数：反比例函数

9、 与一次函数与一次函数y=kx+b交于点交于点A(1，8 ) 和和B (4，n)，求：求：这两个函数的解析式；这两个函数的解析式；三角形三角形AOB的面积。的面积。 xmy yx xo oABo o解：解： 将将A(1A(1，8 )8 )代入代入 中得：中得：m=1m=18=88=8，故所求函数解析式为故所求函数解析式为B(4,n)B(4,n)将将A(1A(1，8 ) 8 ) 和和B (4B (4，2)2)代入代入y=kx+by=kx+b中得：中得： 解得：解得： 故所求的一次函数的解析式为：故所求的一次函数的解析式为：y=y=2x+102x+10 xmy xy8248bkbk102bk先设出

10、函数解析式，再根据先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。的方法，叫做待定系数法。探究探究1：反比例函数：反比例函数 与一次函数与一次函数y=kx+b交于点交于点A(1，8 ) 和和B (4，n)，求：求：这两个函数的解析式；这两个函数的解析式；三角形三角形AOB的面积。的面积。 xmy 解法解法1：设直线：设直线y=2x+10与与x轴、轴、y轴分别交于点轴分别交于点C，Dyxo oABo oCD(1，8 )(4，2 )(5,0)(0，10 )则则 C (5,0)，D(0,10)，于是于是S

11、OAB=25 5 5=15探究探究1：反比例函数：反比例函数 与一次函数与一次函数y=kx+b交于点交于点A(1，8 ) 和和B (4，2)，求：求：这两个函数的解析式；这两个函数的解析式；三角形三角形AOB的面积。的面积。 xmy 解法解法2：如图，过如图，过A作作ACx轴于轴于C，过，过B点点作作BDx轴于轴于D由性质（由性质（1）知：）知：SOAC=SOBD=4，SOAB=SOAC+S梯形梯形ACDBSOBD=4+ 4=15yx xo oABo oC D3)82(21(1，8 )(4，2 )探究探究1：反比例函数：反比例函数 与一次函数与一次函数y=kx+b交于点交于点A(1，8 ) 和

12、和B (4，2)，求：求：这两个函数的解析式；这两个函数的解析式；三角形三角形AOB的面积。的面积。 xmy yx xo oABo oCDE解法解法3：如图，过如图，过A作作ACx轴于点轴于点C，过过B点作点作BDx轴于点轴于点D, CA与与DB相交于相交于E点，点， 由由A(1，8 ) 和和B (4，2)的坐标可知点的坐标可知点E的坐标的坐标为为(4，8)，由性质（，由性质（1）知，）知，SOAC=SOBD=4，SOAB=S矩形矩形ODEC SOACSOBDSABE =32449=15交点问题：交点问题： 1 1、与坐标轴的交点问题：、与坐标轴的交点问题：无限趋近于无限趋近于x x、y y轴

13、，轴， 与与x x、y y轴无交点。轴无交点。 2 2、与正比例函数的交点问题：、与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。可以利用反比例函数的中心对称性。 3 3、与一次函数的交点问题：、与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。列方程组，求公共解，即交点坐标。. 2,8) 1 ( :xyxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)2( ;,) 1 (.,28,. 2的面积两点的坐标求两点交于的图像与一次函数反比例函数已知如图AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(,

14、2,0, 2:)2(Mxyxy时当解法一. 2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy时当解法二. 2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD.)2(;) 1 (,23,:)2002.(5的面积的坐标和交点求直线与双曲线的两个求这两个函数的解析式且轴于点在第二象限的交点与直线是双曲线的顶点如图年成都AOCA、SBxABmxyxk

15、yAABORtABOAyOBxCD. 6,412,)2003.(4纵坐标是点的并且两点的图象相交于的图象与一次函数已知反比例函数如图年海南PQPkxyxy.)2(;) 1 (的面积求式求这个一次函数的解析POQyxoPQ. 2,8,)2003.(3的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图年成都BABAxybkxy.)2(;) 1 ( :的面积一次函数的解析式求AOBAyOBx 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ym/x图象交于A（-2，1）、B（1，n）两点（1）求上述反比例函数一次函数的表达式；（2）连接AO、BO，求AOB

16、的面积 解：（解：（1）将）将A（2，1）代入反比例解析式得：）代入反比例解析式得：m=2，则反比例解析式为则反比例解析式为y= ；将将B（1，n）代入反比例解析式得：）代入反比例解析式得：n=2，即，即B（1，2），），将将A与与B坐标代入坐标代入y=kx+b中，得：，中，得：，解得：，解得：，则一次函数解析式为则一次函数解析式为y=x1；（2）连接）连接OA，OB，设一次函数与，设一次函数与x轴交于点轴交于点C，对于一次函数对于一次函数y=x1，令，令y=0，得到，得到x=1，即，即OC=1，则则SAOB=SAOC+SBOC=11+12=1.5.21):(4,)2004.(6OBABOBBxABAAxkyOAO如果垂足为轴作过点在第一象限内交于与双曲线直线是坐标原点如图年凉山统考题.),1 , 0()2(;) 1 (的面积求轴交于点与轴交于点与直线求双曲线的解析式AODDxCyACyxoADCB7如图所示，已知直线如图所示，已知直线y1=x+m与与x轴、轴、y 轴分别交于点轴分别交于点A、B，与双曲线，与双曲线y2= （ky2（2）求出点）求出点D的坐标；的坐标；（1）分别求直线）分别求直线AB与双曲线的解析式；与双曲线的解析式；（4 4）试着在坐标轴上找）试着在坐标轴上找 点点D,D,使使