线性代数全集学习教案

1、会计学1第一页，共290页。它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法(fngf)上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。 第1页/共290页第二页，共290页。第一章 行列式第二章 矩阵(j zhn)及其运算第三章 矩阵(j zhn)的初等变换 及线性方程组第四章 向量(xingling)组的线性相关性基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章 相似矩阵及二次型矩阵理论第2页/共290页第三页，共290页。一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元(一次)线性方程组:第一章 行列式 22221

2、211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1)a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2)a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去x2, 得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶(sn ji)行列式第3页/共290页第四页，共290页。;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaab

3、x ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数(xsh)确定.第4页/共290页第五页，共290页。 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表(sh bio)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即.2112221122211211aaaaaaaaD 第5页/共290页第六页，共290页。11a12a22a12a主对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算(j sun)若记,22211211aaaaD .,22

4、221211212111bxaxabxaxa对于(duy)二元线性方程组系数行列式第6页/共290页第七页，共290页。 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 第7页/共290页第八页，共290页。 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 第8页/共290页第九页，共290页。 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112bab

5、aD 第9页/共290页第十页，共290页。则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 第10页/共290页第十一页，共290页。 . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 第11页/共290页第十二页，共290页。333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有有,31221333

6、2112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为(chn wi)数表（5）所确定的三阶行列式.第12页/共290页第十三页，共290页。323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)沙路法三阶(sn ji)行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 第13页/共290页第十

7、四页，共290页。333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意 红线上三元素的乘积(chngj)冠以正号，蓝线上三元素的乘积(chngj)冠以负号说明1 对角线法则(fz)只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 第14页/共290页第十五页，共290页。 如果(rgu)三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数(xsh)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0

8、利用三阶行列式求解(qi ji)三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.第15页/共290页第十六页，共290页。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或 121bbb第16页/共290页第十七页，共290页。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,333232322

9、2131211aabaabaabD 记,3332323222131211aabaabaabD 即第17页/共290页第十八页，共290页。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第18页/共290页第十九页，共290页。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxax

10、axabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第19页/共290页第二十页，共290页。 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 第20页/共290页第二十一页，共290页。,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaaba

11、aD 则三元(sn yun)线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 第21页/共290页第二十二页，共290页。2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则(fz)，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第22页/共290页第二十三页，共290页。. 094321112 xx求解方程求解方程方程(fngchng)左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得

12、由由052 xx3.2 xx或或第23页/共290页第二十四页，共290页。例4 解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于(yuy)方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 第24页/共290页第二十五页，共290页。同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第25页/共290页第二十六页，共290页。 二阶和三阶(sn ji)行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.

13、对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa第26页/共290页第二十七页，共290页。 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff第27页/共290页第二十八页，共290页。解设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意(t y)得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数 的线性方程组,cba,又, 020

14、D.20,60,40321 DDD得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc第28页/共290页第二十九页，共290页。故所求多项式为 . 1322 xxxf第29页/共290页第三十页，共290页。1.2 全排列(pili)及其逆序数 引例(yn l): 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数？这是一个大家熟知(shzh)的问题, 答案是: 3! = 6. 将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成一列, 共有多少种不同的排法. 定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列(或排列). n 个不同的元素的所有排列的种数, 通常用 Pn 表

15、示, 称为排列数. Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列第30页/共290页第三十一页，共290页。二、排列(pili)的逆序数 定义: 在一个排列 i1 i2 is it in 中, 若数 isit,则称这两个(lin )数组成一个逆序.例如(lr): 排列32514 中, 我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序 定义: 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.前面的数比后面的数大第31页/共290页第三十二页，共290页。3 2 5 1 4逆序数(xsh)为31010故此(gc)

16、排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如(lr): 排列32514 中,计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列. 方法1: 分别计算出排在1,2, , n 前面比它大的数码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, , n 这 n 个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.第32页/共290页第三十三页，共290页。 方法2: 依次计算出排列中每个元素(yun s)前面比它大的数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素(yun s)的逆序数, 则所有元素(yun s)的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

17、方法3: 依次计算出排列中每个元素后面(hu mian)比它小的数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第33页/共290页第三十四页，共290页。例1: 求排列(pili)32514的逆序数.解: 在排列(pili)32514中,3排在首位(shu wi), 则3的逆序为0;2的前面比2大的数只有一个3, 故2的逆序为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1没有比5大的数, 故其逆序为0;个, 故其逆序为3;4的前面比4大的数有1个, 故逆序为1.5的前面1的前面比1大的数有3即于是排列32514的逆序数为 t = 0+1+0+3+1

18、 = 5.第34页/共290页第三十五页，共290页。解:此排列(pili)为偶排列(pili).例2: 计算下列排列的逆序数(xsh), 并讨论其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 4010013445于是(ysh)排列217986354的逆序数为:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解:n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2) ,21 nnt = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为:第35页/共290页第三十六页，共290页。 此排列(pili)当 n=4

19、k, 4k+1 时为偶排列(pili); 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列(pili).(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解:0121233(k1)(k1)kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列(pili)(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为: .2122kkkk 此排列当 k 为偶数(u sh)时为偶排列, 当 k为奇数时为奇排列.第36页/共290页第三十七页，共290页。1. n个不同的元素的所有排列

20、种数为n!个;2. 排列具有奇偶性;3. 计算排列逆序数(xsh)常用的方法.三、小结(xioji)第37页/共290页第三十八页，共290页。1.3 n 阶行列式的定义(dngy)333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念(ginin)的引入三阶(sn ji)行列式说明(1) 三阶行列式共有6项, 即3!项. 说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积. 说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列)

21、.第38页/共290页第三十九页，共290页。 例如 a13a21a32, 将行下标(xi bio)标准排列, 列下标(xi bio)排列312的逆序数为.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat (312)=1+1=2, 偶排列(pili). a13a21a32 的前面取+号. 例如 a11a23a32, 将行下标标准排列(pili), 列下标排列(pili)132的逆序数为t (132)=0+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取号.其中是对列下标的所有排列求和(3!项), t 是列下标排列 p1p2p3 的逆序数.第39页/共29

22、0页第四十页，共290页。二、n 阶行列式的定义(dngy)定义(dngy): 设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表作出表中位于(wiy)不同行不同列的 n 个数的乘积, 并冠以符号(1)t, 得到形如 其中 p1p2 pn 为自然数1, 2, , n 的一个排列, t为排列p1p2 pn的逆序数. nnppptaaa2121)1( 的项,nnnnnnaaaaaaaaa212222111211第40页/共290页第四十一页，共290页。所有(suyu)这 n! 项的代数和 nnppptaaa2121)1(称为(由上述(shngsh)数表构成的) n 阶行列式.nnnnnnaaaaaa

23、aaaD212222111211 记作简记(jin j)作 det(aij). 数 aij 称为行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素. nnppptaaaD2121)1(即第41页/共290页第四十二页，共290页。 说明1. 行列式是一种特定(tdng)的算式, 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的; 说明2. n 阶行列式是 n! 项的代数和; 说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列 n 个元素的乘积,nnpppaaa2121的符号为(1)t; 说明4. 一阶行列式的符号(fho) | a | = a, 不要与绝对值符号(fho)

24、相混淆, 一般不使用此符号(fho).第42页/共290页第四十三页，共290页。0004003002001000例1: 计算(j sun)对角行列式.0004003002001000解: 分析(fnx).展开式中项的一般(ybn)形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa从而这个项为零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能 p1=4;若p14, 则 432114321 t.24 即行列式中非零的项为:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即第43页/共290页第四十四页，共290页。例2: 计算(j sun)上三角行列式.0002221121

25、1nnnnaaaaaa解: 分析(fnx)展开式中项的一般(ybn)形式是.2121nnpppaaa所以非零的项只可能是: a11 a22 ann .从最后一行开始讨论非零项. 显然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即第44页/共290页第四十五页，共290页。8000650012404321 D显然(xinrn)= 1458nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得下三角(snjio)行列式

26、第45页/共290页第四十六页，共290页。对角(du jio)行列式;21n n 21n 21( -1)321)121.n t n n(1 2(1)121nn .12121nnn 第46页/共290页第四十七页，共290页。例5: 设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明(zhngmng): D1=D2. 中b的指数正好是a的行标与列标的差2D第47页/共290页第四十八页，共290页。证: 由行列式定义(dngy)有 nnnpppnpppppptnnnnnnaaaaaaaaa

27、aaaD2121212121222211121111第48页/共290页第四十九页，共290页。 nnnnppppnppnpppppptbaaa21212121()2()1211nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnppppppnnpppppptbaaa2121212121211第49页/共290页第五十页，共290页。由于(yuy) p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以(suy) .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故第50

28、页/共290页第五十一页，共290页。 行列式是一种根据(gnj)特殊需要而定义的特定算式. n 阶行列式共有n!项, 每项都是位于不同行, 不同列的 n 个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结(xioji)第51页/共290页第五十二页，共290页。 1211123111211xxxxxf 已知多项式 1211123111211xxxxxf 求 x3 的系数(xsh).思考题解答(jid)含 x3 的项有仅两项, 即对应(duyng)于= x3+ (2x3)故 x3 的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43第

29、52页/共290页第五十三页，共290页。一、对换(du hun)的定义1.4 对 换 定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素不动, 这种作出新排列的手续叫做(jiozu)对换 将相邻两个元素对调, 叫做(jiozu)相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如(lr)第53页/共290页第五十四页，共290页。二、对换与排列(pili)奇偶性的关系 定理1: 一个排列中的任意两个元素(yun s)对换, 排列改变奇偶性.对换 a与b即除 a,

30、b 外, 其它元素(yun s)的逆序数不改变.证明: 先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如因此, 相邻对换排列改变奇偶性.当 ab 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1;第54页/共290页第五十五页，共290页。a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对一般(ybn)对换的情形, 例如对换 a与b经过m次相邻对换(du hun), 排列a1a2alab1bmbc1cn对换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过(jnggu)m+1次相邻对换, 对换为a1a2albb1bmac1cn,共经

31、过了2m+1次相邻对换. 所以, 由相邻对换的结果知: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性.第55页/共290页第五十六页，共290页。次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1 mnmlccabbbaa111111,lmnabaa bbcc次相邻对换12 m111,lmnaa bbccbaabnmlccbbbaaa111abab对一般对换(du hun)的情形, 例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换 a与b第56页/共290页第五十七页，共290页。 推论(tuln): 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次

32、数为偶数.证明(zhngmng): 由定理1知, 对换的次数就是排列奇偶性的变化(binhu)次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0), 论成立.因此, 推第57页/共290页第五十八页，共290页。下面(xi mian)讨论行列式的另一种定义形式.对于行列式的任一项 ,12121njinpjpippptaaaaa 其中12ijn为自然排列(pili), 其逆序数0, t 为列标排列(pili)p1p2pipjpn的逆序数, ,12121nijnpipjppptaaaaa 成成与与jijpipaa对换元素第58页/共290页第五十九页，共290页。 ,12121nijnpipjppptaaaaa

33、 此时, 行标排列(pili)12jin的逆序为奇数, 而列标排列(pili)p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性. 换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变, 即t(1jin)+t(p1pjpipn)与t(p1pipjpn)具有(jyu)相同的奇偶性.因此(ync), 对 njinpjpippptaaaaa21211 故第59页/共290页第六十页，共290页。 一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元素(yun s)的位置后得到的符号仍为(1)t.因此, 总可以(ky)经过若干次对换(du hun)行列式的任一项, 得 ,1121212121nqqqsnppptnnaaa

34、aaa 其中 s 为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数.第60页/共290页第六十一页，共290页。 nqqqsnaaaD21211 定理(dngl)2: n 阶行列式也可定义为其中(qzhng)s为行标排列q1q2qn的逆序数, 并按行标排列求和.定理(dngl)3: n 阶行列式也可定义为 nnqpqpqptaaaD22111 其中 t 为行标排列 p1p2pn与列标排列 q1q2qn的逆序数之和. 并按行标排列(或列标排列)求和.因此, 我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论, 还可以如下定义第61页/共290页第六十二页，共290页。 例1: 试判断(pndun) a14a

35、23a31a42a56a65 和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项. 解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列(pili), 列标排列(pili)的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数(u sh)所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项. 将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列, 则其列标排列的逆序数为:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数)所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.第62页/共290页第六十三页，共290页。 解: 将a

36、23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列(pili), 则其列标排列(pili)的逆序数为:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数)所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号.例2: 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么(shn me)符号.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .第63页/共290页第六十四页，共290页。 项a32a43a14a51a66a25的行下标(xi bio)与列下标(xi bio)的逆序数之和为 t (341562)+t (234165) =(0+0+2

37、+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数)所以(suy) a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.第64页/共290页第六十五页，共290页。例3: 用行列式的定义(dngy)计算nnDn0000000010020001000 解: 由于行列式Dn每行每列中仅有一个(y )非零元素, 所以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1221nDnnn 所以(su

38、y)第65页/共290页第六十六页，共290页。三、小结(xioji)1. 对换排列中的任意两个元素(yun s), 排列改变奇偶性.2. 行列式的三种定义方法: nqqqsnaaaD21211 nnqpqpqpraaaD22111 nnppptaaaD21211其中 r 为行标排列(pili) p1p2pn与列标排列(pili) q1q2qn的逆序数之和. 并按行标排列(pili)(或列标排列(pili)求和.第66页/共290页第六十七页，共290页。思考题证明在全部(qunb) n 阶排列中(n2), 奇偶排列各占一半.思考题解答(jid) 证: 设在全部(qunb) n阶排列中有s个奇

39、排列, t 个偶排列,则 s + t = n！现来证 s = t . 若将所有 s个奇排列的前两个数作对换, 则这 s 个奇排列全变成偶排列, 故必有s = t = 若将所有 t 个偶排列的前两个数作对换, 则这 t 个偶排列全变成奇排列, 如此产生的 s 个偶排列不会超过所有的 s 个奇排列, 所以 t s .过所有的 t 个偶排列, 所以 s t .如此产生的 t 个奇排列不会超2!n第67页/共290页第六十八页，共290页。1.5 行列式的性质(xngzh) 一、行列式的性质(xngzh)行列式DT称为(chn wi)行列式D的转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121

40、nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记将D的行列互换就得到TD第68页/共290页第六十九页，共290页。证明(zhngmng): 记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为:,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定义(dngy) .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),第69页/共290页第七十页，共290页。 .12121 nppptnaaaD又由行列式的另一种(y zhn)表示得,所以, DT = D, 结论(jiln)成立 说明: 性质1行

41、列式中行与列具有同等的地位, 因此(ync)行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.第70页/共290页第七十一页，共290页。,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaaaD11111111 第71页/共290页第七十二页，共290页。nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD1111111 是由行列式互换 i, j (i j 时，0,ija 则称 A 为上三角(snjio)矩阵.若当 ij 时第203页/共290页第二百零四页，共290页。1 122ijijijinnjca ba ba b11

42、iikkjka b nikkjk ia b 0ika0kjb0.即 C为上三角(snjio)矩阵.第204页/共290页第二百零五页，共290页。定义(dngy)设 A 是 n 阶方阵(fn zhn)，k 个 A 的连乘积称为 A 的k 次幂，记作,kA即 kkAAAA个当 m，k 为正整数时，有mkm+kA AA() mkmkAA当AB不可交换时，一般() kkkABA B当AB可交换时，() kkkkkABA BB A第205页/共290页第二百零六页，共290页。定义(dngy) 设( )1110kkkkf xa xaxa xa是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵(fn zhn)

43、，则称( )1110kkkkf Aa AaAa Aa E为方阵(fn zhn) A 的 n 次多项式.第206页/共290页第二百零七页，共290页。若 f(x)，g(x) 为多项式，A、B为 n 阶方阵(fn zhn)，则f(A) g(A) = g(A) f(A)当 AB 不可(bk)交换时，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)第207页/共290页第二百零八页，共290页。特别(tbi)当矩阵为对角阵=diag(1, 2, n ) 时,则f()=a0E + a1 +akk,120112111 nkkkknaaa 第208页/共290页第二百零九页，共290页。12()().()n

44、fff 第209页/共290页第二百一十页，共290页。 方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘(xin chn)或分解因式. 例如(lr)(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A + 3A2 A3.因为单位矩阵 E 与任意(rny)同阶方阵可交换，所以有1122211()nnnnnnnnnnAkEAC kAC k ACkAk E 第210页/共290页第二百一十一页，共290页。解: 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求设设 例4: 00100100201222223AAA 32323003033 第211页

45、/共290页第二百一十二页，共290页。由此归纳(gun)出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 第212页/共290页第二百一十三页，共290页。用数学(shxu)归纳法证明. 当k=2时, 显然成立.假设, 当k=n时结论(jiln)成立, 对 k=n+1时, 001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA第213页/共290页第二百一十四页，共290页。 11110010211nnnnnnnnnn 所以(suy)对于任意的 k 都有: .00021121 kkkkkkkkkkkA 也可利用二项式定理展开(zhn ki)计算.第214页/共290页第二百一十五页，

46、共290页。101000100101000100001000AEB 记于是(ysh)()nnAEB 11222333nnnnnnnnnnECBCBCBC B 注意(zh y)到：2010010001001000000B 001000000 第215页/共290页第二百一十六页，共290页。3010010010001001001000000000B 001010000001000000 000000000 即当3n 时，nBO 所以(suy)第216页/共290页第二百一十七页，共290页。()nnAEB 11222nnnnnECBCB 11221000100010100010000010000

47、00nnnnnCC112211000nnnnnnnnnCCC 第217页/共290页第二百一十八页，共290页。四、矩阵(j zhn)的转置 定义: 把矩阵A 的行列互换, 所得到(d do)的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT.例如(lr):,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B第218页/共290页第二百一十九页，共290页。(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) (A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;转置矩阵的运算(yn sun)性质一般(ybn)地1211()TTTTkkkA AAA AA 第2

48、19页/共290页第二百二十页，共290页。证明(zhngmng)（4）设 (),(),(),ijm sijs nijm nAaBbABCc ()TTijn mB ADd 首先(shuxin)容易看到()TAB与TTB A为同型矩阵(j zhn).因为1,sijikkjkca b 所以()TAB的第 i 行第 j 列的元素为1,sjijkkikca b 第220页/共290页第二百二十一页，共290页。又因为(yn wi)TB中第 i 行的元素(yun s)为 B 中第 i 列的元素(yun s)12,iisibbbTA中第 j 列的元素(yun s)为 A 中第 j 行的元素(yun s)1

49、2,jjjsaaa于是TTB A的第 i 行第 j 列元素为1122ijijsijsb ab ab a 1sjkkika b 故()TTTABB A 第221页/共290页第二百二十二页，共290页。解法(ji f)1: 因为 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例5: 已知,102324171,231102 BA求(AB)T.所以(suy)解法(ji f)2: 213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT第222页/共290页第二百二十三页，共290页。例6：设()ijn nAa（1）2A的第 i 行第 j 列

50、的元素(yun s)为（2）TAA的第 i 行第 j 列的元素(yun s)为（3）TA A的第 i 行第 j 列的元素(yun s)为1nikkjka a 1nikjkka a 1nkikjka a 第223页/共290页第二百二十四页，共290页。 设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意(rny) i, j, 如果aij = aji都成立, 则称A为对称矩阵; 如果aij = aji 都成立, 则称A为反对称矩阵; 显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意 i，有0iia第224页/共290页第二百二十五页，共290页。由矩阵转置和对称矩阵、反对(fndu)称矩阵的定义可得:第22

51、5页/共290页第二百二十六页，共290页。证明(zhngmng): 因为 例7: 设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明(zhngmng): H为对称矩阵, 且HHT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.所以(suy), H为对称矩阵.= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E HHT = H2 = (E 2XXT

52、)2第226页/共290页第二百二十七页，共290页。 例8: 证明任一n 阶方阵A 都可表示(biosh)成对称阵与反对称阵之和.证明(zhngmng): 设 C = A + AT,所以, C为对称(duchn)矩阵.)(21)(21TTAAAAA ,2121BC 从而, 命题得证.则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,设 B = A AT,则 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以, B为反对称矩阵.第227页/共290页第二百二十八页，共290页。 定义: 由n 阶方阵A 的元素(yun s)所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A |

53、或 detA . 2 ,8632 A例如:8632 A则方阵(fn zhn)行列式的运算性质| AT | = | A |;| kA | = kn| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.第228页/共290页第二百二十九页，共290页。| |ABA B|AOABEBAABEO( 1)nABAOE ( 1) |nABE ( 1) |( 1) nnAB| AB对于同阶方阵(fn zhn)A和B，一般AB BA ，但是|AB|=|BA|第229页/共290页第二百三十页，共290页。|AOABEB1111111100001001nnn

54、nnnnnaaaabbbb 第230页/共290页第二百三十一页，共290页。111,2,njjcb cjn 11111 1112211111 112211100100010nnnnnnnnnnnnnnaaa ba ba baaa ba ba bbb 继续(jx)做 2233,njjnjjn njnjcb ccb ccb c 第231页/共290页第二百三十二页，共290页。例9.设111211121121222122221212,nnnn*nnnnnnnnaaaAAAaaaAAAA=A =aaaAAA其中ijA是行列式 |A| 中元素ija的代数余子式.证明： *1| |nAA (1)|AA

55、A AA E（2）当|A|不等于0时，称A 为矩阵A的伴随矩阵。第232页/共290页第二百三十三页，共290页。证：设*(),ijAACc其中(qzhng)ijc1122ijijinjna Aa Aa A |,0Ajiji ， 当时当时于是(ysh)第233页/共290页第二百三十四页，共290页。*|AAAAA|A E两边(lingbin)取行列式得:*|AAAEAA|nA因为(yn wi)所以(suy)类似可证：|A AA E 第234页/共290页第二百三十五页，共290页。六、共轭矩阵(j zhn) 定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 表示aij 的共轭复数, 记 ,

56、称 为A 的共轭矩阵.ija)(ijaA A ;2AA .3BAAB 运算(yn sun)性质 ;1BABA 设A, B为复矩阵(j zhn), 为复数, 且运算都是可行的, 则:第235页/共290页第二百三十六页，共290页。矩阵(j zhn)运算 加法(jif)数与矩阵(j zhn)相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵 (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两矩阵才能相乘, 且矩阵相乘不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.注意第236页/共290页第二百三十七页，共

57、290页。思考题思考题解答(jid) 设A与B为 n 阶方阵, 等式(dngsh)A2B2 = (A+B)(AB)成立的充要条件是什么?答: 因为(yn wi) (A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要条件是:AB = BA.第237页/共290页第二百三十八页，共290页。作业(zuy)：P5354 3，4，7，9，10第238页/共290页第二百三十九页，共290页。在数的运算(yn sun)中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中, 单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1, 那

58、么, 对于(duy)矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得aa11 为a 的倒数, 或称a的逆(元).其中 AA-1 = A-1A = E,则矩阵(j zhn)A称为可逆矩阵(j zhn), 称A-1为A逆阵.2.3 逆 矩 阵第239页/共290页第二百四十页，共290页。或者(huzh)从线性变换的观点来看：给定(i dn)线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xa xya xa xa x 若记其系数(xsh)矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 1122,nnxyxyXYxy则线性变换可记为：YAX

59、第240页/共290页第二百四十一页，共290页。YAX |A YA AXA X | 0A 若|AXYA 记,|ABA 则上式可以(ky)写作：XBY 这是一个(y )从 Y 到 X 的线性变换，它是线性变换YAX 的逆变换.第241页/共290页第二百四十二页，共290页。YAX XBY ()()YA BYAB Y ()()XB AXBA X 为恒等变换(binhun)则有：ABBAE 第242页/共290页第二百四十三页，共290页。定义: 对于n 阶方阵A, 如果(rgu)存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = E则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作A

60、-1, 即1AB（1）A与1A为同阶方阵(fn zhn)；（2）若 B 是 A 的逆矩阵(j zhn)，那么 A 也是 B 的逆矩阵(j zhn);(3) 1EE 第243页/共290页第二百四十四页，共290页。例如: 设,21212121,1111 BA由于(yuy) AB = BA =E, 所以(suy) B 为 A 的逆矩阵.第244页/共290页第二百四十五页，共290页。说明: 若A是可逆矩阵(j zhn), 则A的逆矩阵(j zhn)是唯一的.事实上: 若设B和C是A的逆矩阵(j zhn), 则有所以, A的逆矩阵(j zhn)是唯一的, 即AB = BA = E, AC = C