天津大学《概率论与数理统计》数学期望

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的数学期望；随机变量的数学期望；4.2 随机变量的方差随机变量的方差 ；4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数 ;本章内容：本章内容：4.4 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵 . 分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小,

2、 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.q r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数 或者是：两个随机变量相依的程度。或者是：两个随机变量相依的程度。本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性 都可用数字数字来描写一一. 数学期望数学期望(均值均值) 的定义的定义第一节第一节 数学期望数学期望 直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能直观理解，数学期望就是一个随机

3、变量所有可能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。例如，例如，1. 假定发生意外的概率是假定发生意外的概率是 ，则在购买保险的，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？引例引例 1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80

4、 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即)( 5 .76271596110029078015709606401分1.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望引例引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？如何计算其平均值？ 解解 “射击水平射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。只要对他们的平均击中环数进行比较

5、即可。 分析：分析：若甲射击若甲射击N次次, 设击中设击中8环环, 9环和环和10环的次数分环的次数分别为别为 次，则甲在次，则甲在N次射击中，平均每次击中次射击中，平均每次击中的环数为的环数为123 NNN、 和1238910NNNN 3128910NNNNNN 1238910fff 由于概率是频率的稳定中心，以由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击表示甲的平均击中环数中环数, 则则(E X甲）8 0.39 0.1 10 0.69.3E X 甲（）8 0.9 0.10 0.9.1,E X 乙（）故认为甲射手的水平较高。故认为甲射手的水平较高。由于由于E XE X乙甲（）（）,可以看出：

6、可以看出：平均值平均值是以分布概率为权重的加权平均。是以分布概率为权重的加权平均。 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX = xk = pk ， k =1,2,31kkkpx1kkkx p 1)(kkkpxXE若级数若级数，则称级数和，则称级数和为随机变量为随机变量 X 的数学期望（或均值），的数学期望（或均值）， 记作记作E（X）随机变量随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因的可能取值的排列次序的影响，因此要求此要求1kkkx p 否则，称随机变量的数学

7、期望不存在否则，称随机变量的数学期望不存在关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) (1) E(X)是一个实数是一个实数, ,而非变量而非变量, ,它是一种它是一种加权加权平均平均, ,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , , 它从本质上体现了随它从本质上体现了随机变量机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, , 也称均值也称均值. . (2) (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变中各项次序的改变而改变 , , 之所以这样要求是因之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量为数学期望是反映随机变量X 取可

8、能值的平均值取可能值的平均值, ,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变. .(3)(3) 数学期望数学期望 完全由随机变量完全由随机变量 的概率分的概率分布所确定布所确定. .若若 服从某一分布也称服从某一分布也称 是这一分是这一分布的数学期望布的数学期望. .)(XEXX)(XE解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 ()1 0.43 0.61.4E X 例例1 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为求求 ()E X 若将此例视为甲、乙两队若将此例视为甲、乙两队“比赛比赛”，甲队赢的概率为，甲队赢的概率为，输的概率为，并且甲队每赢一次得输的概率为，并且甲队

9、每赢一次得3分，每输一次扣分，每输一次扣1分，分，则则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分是指甲队平均每次可得分解解. 以以 X 记这个项目记这个项目 的投资利润。的投资利润。平均利润为：平均利润为： E X，而同期银行的利息是而同期银行的利息是 100.02 = 0.2 ，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。因此从期望收益的角度应该投资这个项目。利润利润 5 0 10概率概率 例例4.1.2 假设某人有假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利的可能获利 5 万，万，60% 的可能不赔不赚，但有的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全

10、部的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为万元；同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？，问他应该如何决策？ 设设XP( ), 求求 E(X). X的分布律为的分布律为!E(X)kekkk 0. , ,!PX0210 kkekk)!(111 kekk eeE(X)= 例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为的，其规律为到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率

11、概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望 解解 设乘客的候车时间为设乘客的候车时间为X,若该乘客若该乘客8:20到车站到车站,而而8点到点到9点的点的一趟车已于一趟车已于8:10开走开走,第二趟车第二趟车9:10开开,则他候车的时间为则他候车的时间为50 min， 该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP对应的概率为事件对应的概率为事件“第一趟车第一趟车8:10开走，

12、且第二趟开走，且第二趟9:10开开”发生发生的概率的概率, 即即500.2 0.20.04P X 解解 候车时间候车时间X的分布列为的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP从而该乘客候车时间的数学期望为从而该乘客候车时间的数学期望为()100.4300.4500.04700.08900.0830.8E X 例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为的，其规律为

13、到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望 求随机变量求随机变量X和和Y的数学的数学期望期望于是有于是有 解解 由由(X,Y)的联合分布律可得关于的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分的边缘分布分别为别为 例例3 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 XY 1 2 5/8 3/8YP 1 2 3 3/8 1/4 3/8XP5311()12

14、888E Y313()1232848E X 1111(),( )ii jji jijijE Xx pE Yy p11111( )()jjjijjijjjiijE Yy P Yyypy p, , ,1,2,iji jP Xx Yypi j11111()()iiiijiijiijijE Xx P Xxxpx p1 , 1,2,iijjP Xxpi 定理定理1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为则则 证明证明 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为于是有于是有 同理可得同理可得 定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积

15、分，若积分dxxxfXE)()( )x fx dx 说明：如果积分说明：如果积分 不收敛不收敛 ，则称随机变则称随机变量量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。 dxxfx 收敛，则称积分值收敛，则称积分值 为为X的数学期望（或的数学期望（或均值）。记作均值）。记作E(X)，即即( )xfx dx2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望21( ) , - (1)f xxx 201ln(1)x试证试证X的数学期望不存在的数学期望不存在21d(1)xxx202d(1)xxx 证证 因为因为 例例4 设随机变量设随机变量X 服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为( )dx

16、f xx( )dx f xx即即 不收敛，所以不收敛，所以X的数学期望不存在的数学期望不存在 设设X服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为0,( )(0)00,xxef xx求求)(XE 设设XU(a, b), 求求 E(X). dxxxf)(E(X) 其其它它 , 0 ,1)(bxaabxf2badxabxba X的概率密度为的概率密度为E(X)=1/例例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的假定乘客在公交车站等车的 时间时间 X ( 分钟分钟) 服从参数服从参数 0.2 的指数分布，的指数分布， p (x) = 0.2 e 0.2 x ， x 0 问这个人的平均等车时间是几分钟

17、？问这个人的平均等车时间是几分钟？解解. 平均等车时间即是数学期望平均等车时间即是数学期望 E X ，因此，因此yyedy055 xE Xxp x dxxedx0.20( )0.2 即平均需要等待即平均需要等待 5 分钟。分钟。22/(1500) ,01500( )(3000) /(1500) ,150030000,xxfxxx其 它求求X的数学期望的数学期望. 1500300022015003000 -()( )ddd15001500 xxE Xxfxxxxxx 例例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间时间X（单位：（单位：mi

18、n）是一个随机变量，概率密度函数为）是一个随机变量，概率密度函数为5 0 02 0 0 01 0 0 01 5 0 01500300032322015001500/ 3315001500 xxx解解 由已知可得由已知可得 例例: 由由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为服从同一指数分布，其概率密度为 )5 , 4 , 3 , 2 , 1( kXk00( )00 xexf xx1) 若将若将5个装置串联成整机，求整机寿命个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；的数学期望；62) 若将若将5个装置并联成整机，求整机寿命个装置并

19、联成整机，求整机寿命M的数学期望；的数学期望；10( )00 xexF xx 解：解： 的分布函数为的分布函数为 kX1) 由前面知由前面知 的分布函数为：的分布函数为：),min(521XXXN 5min)(11)(xFxF 51000 xexx N的概率密度为：的概率密度为：)(minxf55000 xexx7 dxxxfNE)()(min505xedx15)(maxxf45 1000 xxeexx dxxxfME)()(max405(1)xxxeedx13760并联的平均寿命是串联的倍并联的平均寿命是串联的倍411.)N(E)M(E 82)5max)()(xFxF 51000 xexx

20、例例6 设二维连续型随机变量的概率密度函数为设二维连续型随机变量的概率密度函数为2,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 关于关于X、Y的边缘概率密度函数分别为的边缘概率密度函数分别为103( )( ,)d(2)d2Xfxf x yyxyyx求求E（X），），E（Y）于是有于是有 103( )( , )d(2)d2Yfyf x yxxyxy(01)x(01)y123100335()()d24312xxE Xxxx123100335( )(- )d-24312yyE Yyyy 定理定理2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 f (x

21、, y), 则有则有 ()( , )d d ,E Xxf x yx y ( )( , )dXfxf x yy于是有于是有 ( )( , )d dE Yyf x yx y 证证 关于关于X、Y的边缘概率密度函数分别为的边缘概率密度函数分别为( )( ,)dYfyf x yx()( )d( , )d d( , )d dXE Xxfxxxf x yyxxf x yx y ( )( )d( , )d d( , )d dyE Yyfyyyf x yxyyf x yx y 3. 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望1( ) ()().kkkE YE g Xg xp如果级数如果级数 1()kkkg

22、xp收敛，则有收敛，则有 定理定理3 设设X是随机变量，是随机变量，Y = g(X)是是X的连续函数，则有的连续函数，则有,1,2,kkP Xxpk(1) 若若 为离散型变量，其概率函数为为离散型变量，其概率函数为 X(2)如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分如果积分 收敛收敛( )( )g xf x dxdxxfxgXgEYE)()()()(则有则有例：设随机变量例：设随机变量X X的分布律为的分布律为解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望Xpk-1 0 1313131Ypk0 1 323132310321)(YE1)()

23、(iiipxgYEiiipxYE2)(上式可见上式可见即一般的有即一般的有 . , 0),( |)()(其它yyhyhfyfxYdyyhyhyfdyyyfxY| )( |)()()(yh.)()(| )( |)(dxxfxgdyyhyhyfx)(yh.)()()()()( )(dxxfxgdxxfxgdyyhyhyfx证明：证明： 设设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章5中定理的条件，由第二章知道随机变量Y=g(X)的概率密度为于是，E（Y）= 当恒0时，E（Y）= 当恒0时，E（Y）= (3) 如果如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为为离散型随机向量，其联合概率分布为

24、P X=xi Y=yj = pij i,j =1,2,3,如果如果 则则Z=g (X,Y)的数学期望为的数学期望为ijjijipyxgYXgEZE),(),()(4) 设二维随机向量（设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概）为连续型随机变量，它的联合概率密度为率密度为f(x,y),若若 收敛收敛, 则则Z=g (X,Y)的的数学期望为：数学期望为： dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(11( ,)iiijijg x yp ( , )( , )d dg x y f x y x y ,0,1,2, ,kkn knP XkC p qkn解 因为因为 分布律为分布律为

25、( , )XB n p20(e )nkkn knkCpq所以所以 220( )(e)enXkkkn knkE YEC p q2( e)npq其中其中 1pq( )E Y求求2e,XY 例例7 设随机变量设随机变量 ，( , )XB n p例例6 6 设风速设风速V在在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力的压力 W=kV2, (k为常数为常数), 求求W的数学期望的数学期望其其它它avavf 0, 0,1)()()(2kVEWE 解解 风速风速V的概率密度为的概率密度为202311kadvakva dvvfkv)( 2例例8 点随机地落在中心为原点，半径为点随

26、机地落在中心为原点，半径为R的圆周上，并对弧的圆周上，并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。例例9 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间例例12. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的时设设会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙

27、两人相约于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其他其他yxyxyxf因此所求数学期望为因此所求数学期望为yxyxyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小时小时 例例10 一次事故发生在一条长为一次事故发生在一条长为L的道路上的点的道路上的点X服从均匀分服从均匀分布，在事故发生的时刻，救护车所在位置布，在事故发生的时刻，救护车所在位置Y在这条道路上也在这条道路上也服从均匀分布，假设服从均匀分布，假设X与与Y相互独立，求事故发生点和救护

28、相互独立，求事故发生点和救护车所在位置之间距离的数学期望。车所在位置之间距离的数学期望。例例4 4 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律如下，求的分布律如下，求E(XY)E(XY)x y 1200.150.1510.450.25解解:)(XYE15. 01015. 02045. 01125. 02195. 01111222300001( -)()d d(-)d d6x yxyx yxxy xyyx y ,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 例例8 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为的密度函数为 11001()d d3xy xyx y 2()E

29、 XY2( -) ( , )d dx yf x yx y 2(),().E XYE XY求求 ()( , )d dE XYxyf x yx y 212001()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它解 例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 (, )X Y21220014d(1 3)d43xxyy212001( )(1 3)d d4E Yyxyx y 2120015d(13)d48x xyyy22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 2120011()(1 3)d d44E Xxx

30、yx y 21220015d(13)d46xxyyy21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为 (, )X Y22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 5()6E XY 解解 5( )8E Y 4()3E X 2122222001()()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21213222000011d(1 3)dd(1 3)d44xxyyx xyyy3715 例例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量求量X (单位：单位：t )是随机变量，它

31、服从是随机变量，它服从1200，3000上的上的均匀分布若售出这种农产品均匀分布若售出这种农产品1t，可赚，可赚2万元，但若销售万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润多少吨产品才可得到最大利润?( )Yg X2 ,2(),yXyXyXXy解解 设每年准备该种商品设每年准备该种商品y t (12003000)y112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800yyxyxy x300012001( )( )d1800E Yg xx2 ,3,yXyXyXy得到平均

32、利润为得到平均利润为则利润为则利润为()Yg X解解112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800yyxyxy x213(y7200y2160000)180022 ,3,yXyXyXy利润为利润为300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利润为得到平均利润为( )E Y当当y= 2400时，时， 取到最大值，故取到最大值，故每年准备此种商品每年准备此种商品2400 t，可使平均，可使平均利润达到最大利润达到最大 例例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量求量X (单位：单位：t

33、 )是随机变量，它服从是随机变量，它服从1200，3000上的上的均匀分布若售出这种农产品均匀分布若售出这种农产品1t，可赚，可赚2万元，但若销售万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润多少吨产品才可得到最大利润?证证 可将可将C看成离散型随机变量，分布律为看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定，故由定义即得义即得E(C)=C.2. 设设C为常数，为常数，X为随机变量，则有为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证证 设设X的密度函数为的密度函数为 ，则有，则有( )f x( )dCxf x

34、x()( )dE CXCxfxx().CE X 3. 设设 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 ()()( )E XYE XE Y,X Y1. 设设C为常数，则有为常数，则有E(C)=C 4. 数学期望的性质数学期望的性质进而有有 E(kX+b)=kE(X)+b 3. 设设 X, Y 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 ()()( )E XYE XE Y证证 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为的密度函数为( ,),fx y()()( , )d dE XYxy f x yx y ( , )d dxf x yx y 边缘密度函数分别为边缘密度函数分

35、别为()() ,XYfxfy和和 则则( )dXxfxx( ,)d dyfx yx y( )dYyfyy()( )E XE Y推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有 1212()()()()nnE XXXE XE XE X112211222()()()()nnnE k Xk Xk Xk E Xk E Xk E X 4. 数学期望的性质数学期望的性质( )( )d dXYxyfx fyx y ( )d( )dXYxfxxyfyy4. 设设X, Y为相互独立的随机变量，则有为相互独立的随机变量，则有()()( )E XYE X E Y( , )( )( )

36、XYf x yfx fy()( , )d dE XYxyf x yx y 证证 因为因为X与与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有 所以所以 1212()() ()()nnE X XXE X E XE X() ( )E X E YEX1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望EX2 设随机变量nXX ,.,1相互独立，且均服从),(2N分布，求随机变

37、量niiXnX11的数学期望答答:答答:niiXEnXE1)(1)(227) 14()32()(ZEYXEUE例11理发店里有甲理发店里有甲乙乙丙三个顾客，假定理发店对三个顾丙三个顾客，假定理发店对三个顾客的服务时间都服从参数为客的服务时间都服从参数为 的指数分布，对甲和乙立即开的指数分布，对甲和乙立即开始服务，在对甲或乙服务结束后开始对丙服务，对每个人服始服务，在对甲或乙服务结束后开始对丙服务，对每个人服务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时间（逗留时间等于等待时间与服务时间之和）的数学期望间（逗留时间等于等待时间与服务时间之

38、和）的数学期望 例例3 若若XB(n,p),求求E(X)解解:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则niiXX1pXEi)(niiXEXE1)()(nppni1上述两例中很难求得X的分布律,进而用定义求得X的期望. 在此考虑了别的方法, 将X分解成数个随机变量之和 X= , 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量期望之和来求,这种处理方法具有一定的普遍意义, 称之为随机变量的分解法(decomposition method).niiX1 例例12 一民航机场的送客班车载有一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿位旅客，自机场开出

39、，沿途旅客有途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以下车相互独立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X) 解解 随机变量随机变量1012XXXX2020()0 0.91 (1 0.9 )iE X Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=120 1210()()E XE XXX1210()()()E XE XE X2010 (1 0.9 )8.8这表明班车平均停车约这表明班车平均停车约9次次 例4.

40、1.14 10个猎人正等着野兔过来，当一群野兔走来时，他们同时开了枪，但他们每个人都是随机地、彼此独立地选择自己的目标，如果每个猎人独立地射中其目标的概率均为p,试求当10只野兔走来时，没有被击中而逃走的野兔数的期望值.解解 随机变量随机变量1012XXXX Xi 0 1 P 1-(1-p/10)20 (1-p/10)20击中未被击中01iX例13:将将n只球放入只球放入M只盒子中去，设每只球落入各个盒子是只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数等可能的，求有球的盒子数X的数学期望的数学期望。 例13将n只球只球(1至至n号号)随机地放进随机地放进n只盒子只盒子(1至至n号号)中去，中去，一只盒子装一只球，将一只球放入与球同号的盒子中称为一只盒子装一只球，将一只球放入与球同号的盒子中称为一个配对，设一个配对，设X为配对的个数，求为配对的个数，求E(X)例： 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为，和。假设各部件的状态相互独立， 以X表示同时需要调整的部件数。试试用下列两种方法求X的数学期望和方差. (1)利用X的分布律; (2)利用分解法.例:一套仪器有n个元件，第i个元件发生故障的概率为pi (i=1,