T-S模糊切换时间延迟系统之控制器设计

1、第四章 T-S模糊切換時間延遲系統之控制器設計4.1 T-S模糊切換連續時間系統之穩定性模糊理論(Fuzzy Theory)起源於1965年，由美國加利福尼亞大學柏克萊分校的Zadeh L.A.教授在Information and Control期刊上首度發表了模糊集合論(Fuzzy Sets)，為模糊理論之開端，當時是為求將人類主觀性的思考或判斷的不正確性作量化處理，來表達某些無法明確定義的模糊性概念，並在發表中指出在現實世界中大部分的人、事、物是無法以明確的二分邏輯法判斷的，例如：高與低、大與小、冷與熱等，都存在著邊界不明的模糊概念，所以Zadeh L.A.教授認為在實用上應該要將傳統明確

2、集合(Crisp Set)中絕對屬於的概念擴展至相對屬於的概念，換言之，論域中的元素在某種程度上是屬於該集合的，但同時也可以視為某種程度上不屬於該集合的，故模糊集合有別於明確集合中的非0即1的關係12，如表4.1 所示：4.2 T-S模糊切換連續時間系統之穩定性基於平行分佈補償(Parallel Distributed Compensation, PDC)，我們考慮在模糊模型中的模糊控制法則如下：調整規則i假設是，且是，且是，則, . (4.1)整體狀態回授模糊控制法則表示如下： (4.2)狀態回授模糊控制器的設計是用來決定局部回授增益，滿足 (4.3)其中討論4.1：在描述閉迴路模糊系統的(

3、4.3)式，可以發現到能更進一步地簡化，只要滿足下列兩個條件中的任一條：(a)每一個子系統在每一條模糊規則中，擁有一個共同輸入矩陣，來表示每一個子系統。同時，閉迴路系統可以簡化如下：(b) 每一個子系統在每一條模糊規則中，擁有一個共同時間延遲項，來表示每一個子系統。同時，閉迴路系統可以簡化如下：定理4.1：假如存在著矩陣，且滿足，並且依據LMIs定理，則存在一個狀態回授模糊控制法則(4.2)式，來滿足閉迴路模糊時間延遲系統的等式(4.3)式，為漸近穩定。, (4.4), (4.5)對所有和，除了外，都滿足在所有的情形下。而狀態回授增益可以表示成如下：,證明：整個系統的李亞普諾函數如下：且，而對

4、李亞普諾函數作微分如下： 假設存在一個常數，使用Razumikhin定理，使得下式是成立：，for .則明顯地，假如因此，將可以找到假設LMIs在(4.4)式與(4.5)式成立，則存在一個常數，來滿足上面的矩陣不等式。推論4.1：假如存在著矩陣，且滿足，而LMIs定理在(4.4)式中且，對所有中的特殊例子，存在著一個狀態回授模糊控制法則(4.2)式，滿足閉迴路模糊時間延遲系統的等式(4.3)式，為漸近穩定。推論4.2：假如存在著矩陣，且滿足，而LMIs定理在(4.4)式中與依據LMIs定理，對所有中的特殊例子，則存在一個狀態回授模糊控制法則(4.2)式，來滿足閉迴路模糊時間延遲系統的等式(4.

5、3)式，為漸近穩定：, (4.6)對所有和，除了外，都滿足在所有的情形下。以上條件的變數，在LMIs定理中，可以利用近年來發展的內部點的平均值法有效地求解出來。從上面的證明過程中，上述定理可以從閉迴路模糊時間延遲系統的穩定分析中獲得。狀態回授模糊控制法的設計，是為了用來減少求取控制問題的共同李亞普諾矩陣、個矩陣滿足、一些矩陣不等式(最大值：)的次數。假如r值非常大的話，將很難找到一個共同李亞普諾矩陣P，來滿足上面定理的條件。一個緩和穩定條件在沒有時間延遲的模糊控制系統中被提出15。接下來，我們將延伸結果到有時間延遲的模糊控制系統中。主題1.,其中，在所以中。主題2.假如在所有中的規則數小於或等

6、於，即，則其中，在所以中。定理4.2：假定在所有中的規則數小於或等於，即。假如存在著矩陣，與滿足，並且依據LMIs定理，則存在一個狀態回授模糊控制法則(4.2)式，來滿足閉迴路模糊時間延遲系統的等式(4.3)式，為漸近穩定。, (4.7), (4.8), (4.9)對所有和，除了外，都滿足在所有的情形下。證明：整個系統的李亞普諾函數如下：且，從(4.9)式中可以得到,對所有的和，且因此，從(4.7)式中，可以得到所以從主題2，可以得到顯然地，假如存在，則對所有，而閉迴路模糊系統為漸近穩定。假如(4.8)式存在，可以得到，然後經由連續性的特性，存在著一個極小值，且，來滿足對所有的。可以發現李亞普諾函數的負定選取，不能從延遲大小中得到任何的資訊，最後，閉迴路系統的漸近穩定項，存在於任何的負向延遲項中。推論4.3：假如存在著矩陣，且滿足，而依據LMIs定理，對所有中的特殊例子，則存在一個狀態回授模糊控制法則(4.2)式，來滿足閉迴路模糊時間延遲系統的等式(4.3)式，為漸近穩定：