高二选修2-2导数定积分单元检测-(理科)

1、 高二选修2-2导数定积分单元检测时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线ylnx上一点P和坐标原点O的连线恰好是该曲线的切线，则点P的横坐标为()AeB.Ce2 D2解析：设点P的坐标是(a，lna)，则有，lna1，ae，因此点P的横坐标是e，选A.答案：A2(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f (x)为其导函数，函数yf (x)的图象如图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)>1的解集为()A(2,3)(3，2)

2、B(，)C(2,3) D(，)(，)答案A解析由f (x)图象知，f(x)在(，0上单调递增，在0，)上单调递减，由条件可知f(x26)>1可化为0x26<3或0x26>2，2<x<3或3<x<2.3已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)<f(x)对于xR恒成立，则()Af(2)>e2·f(0)，f(2010)>e2010·f(0)Bf(2)<e2·f(0)，f(2010)>e2010·f(0)Cf(2)>e2·f(0)，f(2010)<e2010&

3、#183;f(0)Df(2)<e2·f(0)，f(2010)<e2010·f(0)解析：设g(x)，则有g(x)>0，所以g(x)在(，)上是增函数，因此有g(2)>g(0)，g(2010)>g(0)，即>f(0)，>f(0)，整理得f(2)>e2·f(0)，f(2010)>e2010·f(0)，选A.答案：A4）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，答案：B5已知m<0，f(x)mx3x，且f(1)12，则实数m的值

4、为()A2 B2C4 D4解析：依题意，f(x)3mx2，则f(1)3m12，所以m24m40，故m2，选择B.答案：B6积分（ B ）A B C D8点P是曲线y2ln2x上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为()A. B.C. D.解析点P(x,2ln2x)到直线xy0的距离d，令f(x)x2ln2x(x>0)，则f (x)1，故f(x)在x1处取得极小值3ln2，f(x)3ln2>0，d.答案D8已知函数f(x)在R上可导，且f(x)x22xf(2)，则f(1)与f(1)的大小关系为()Af(1)f(1) Bf(1)>f(1)Cf(1)<f(1) D不确定解析：

5、f(x)x22xf(2)f(x)2x2f(2)f(2)42f(2)f(2)4，所以f(x)x28x(x4)216，且在(，4上为减函数，1<1<4，f(1)>f(1)，所以选B.答案：B9若对可导函数f(x)，g(x)，当x0,1时恒有f(x)·g(x)<f(x)·g(x)，若已知，是一个锐角三角形的两个内角，且，记F(x)(g(x)0)，则下列不等式正确的是()AF(sin)<F(cos) BF(sin)>F(sin)CF(cos)>F(cos) DF(cos)<F(cos)解析：F(x)，f(x)·g(x)<

6、;f(x)·g(x)，F(x)<0，F(x)在0,1上单调递减，又、是一锐角三角形的两内角，<<，0<<<，sin<sin，即cos<sin，F(sin)<F(cos)，故选A.答案：A10已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2009的值为()A. B.C. D.解析：函数f(x)x2bx的图象的切线的斜率为f(x)2xb；函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l的斜率为k2b；2b3，即b1；f(x)x2x；S20091.答案：C11已知f(x)，g(x

7、)都是定义在R上的函数，f(x)ax·g(x)(a>0且a1),21，在有穷数列(n1,2，10)中，任意取正整数k(1k10)，则前k项和大于的概率是 A. B. C. D.解析：整体变量观念，利用等比数列构建不等式求解2a1a()n，则前k项和Sk1()k>k>4P，选C.答案：C12.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为A. B. C. D. 【解析】选B. 与互为反函数，曲线与曲线关于直线对称，只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可.设点，点到直线距离. 令，则.由得；由得，故当时，取最小值.所以，.所以.第卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题

8、共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.解析：对f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2)，令x2，得f(2)12，则f(x)6x24.再令x5，得f(5)6×5246.答案：614设函数f(x)ax3bx2cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是_解析：f(x)ax2bxc，则由题意，得f(1)abc0且f(1)abc0，解得ba，ca，c<0，a<0，所以f(x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)0，

9、即(3x1)(x1)0，解得x1，因此函数f(x)的单调递增区间为，1答案：，115若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是 解析：y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)cosxcos2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.答案 216已知函数f(x)x3ax22bxc，当x(0,1)时函数f(x)取得极大值，当x(1,2)时函数f(x)取得极小值，则u的取值范围为_解析：f(x)x2ax2b，当x(0,1)时函数f(x)取得极大值，当x(1,2)时函数f(x)取得极小值，u的几何意义是点A(a，b)与B(1

10、,2)连线的斜率，如图，结合图形可得<u<1.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（本大题满分12分）设函数图像的一条对称轴是直线（）求；（）求函数的单调增区间；（）证明直线于函数的图像不相切解：（）的图像的对称轴 （）由（）知 由题意得： 所以函数 （）证明： 所以曲线的切线斜率取值范围为2，2，而直线的斜率为，所以直线与函数的图像不相切。18(本小题满分12分)(2010·江西)设函数f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解析

11、：函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a，(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时，f(x)a>0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.19(本小题满分12分)设f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值解析：(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，c0.又

12、f(x)3ax2b的最小值为12，b12.由题设知f(1)3ab6，a2，故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x)，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况表如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，f(1)10，f(3)18，f()8，f()8，当x时，f(x)min8；当x3时，f(x)max18.20(本小题满分12分)(2010·北京)已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间解析：(1)当k2时，f(x)

13、ln(1x)xx2，f(x)12x.由于f(1)ln2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln2(x1)，即3x2y2ln230.(2)f(x)，x(1，)当k0时，f(x).所以，在区间(1,0)上，f(x)>0；在区间(0，)上，f(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0，)当0<k<1时，由f(x)0，得x10，x2>0.所以，在区间(1,0)和上，f(x)>0；在区间上，f(x)<0；故f(x)的单调递增区间是(1,0)和，单调递减区间是.当k1时，f(x)>0，故f(x)的单调递增

14、区间是(1，)当k>1时，由f(x)0，得x1(1,0)，x20.所以，在区间和(0，)上，f(x)>0；在区间上，f(x)<0.故f(x)的单调递增区间是和(0，)，单调递减区间是.21(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x22.(1)设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a13.若点(an，an122an1)(nN*)在函数yf(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在yf(x)的图象上；(2)求函数f(x)在区间(a1，a)内的极值解析：(1)证明：因为f(x)x3x22，所以f(x)x22x，由点(an，an122an1)(nN*)在函数yf(x)的图象上，得

15、an122an1an22an，即(an1an)(an1an2)0.又an>0(nN*)，所以an1an2.又因为a13，所以数列an是以3为首项，以2为公差的等差数列，所以Sn3n×2n22n.又因为f(n)n22n，所以Snf(n)，故点(n，Sn)也在函数yf(x)的图象上(2)f(x)x22xx(x2)，由f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值注意到|(a1)a|1<2，从而当a1<2<a，即2<a<1时，f(x)的极大值为f(2)，此时f(x

16、)无极小值；当a1<0<a，即0<a<1时，f(x)的极小值为f(0)2，此时f(x)无极大值；当a2或1a0或a1时，f(x)既无极大值又无极小值22(本小题满分12分)已知函数f(x) (x>0)(1)函数f(x)在区间(0，)上是增函数还是减函数？证明你的结论；(2)若当x>0时，f(x)> 恒成立，求正整数k的最大值解析：(1)f(x) 1ln(x1) ln(x1)x>0，x2>0， >0，ln(x1)>0，f(x)<0.因此函数f(x)在区间(0，)上是减函数(2)解法一：当x>0时，f(x)> 恒成

17、立，令x1，有k<2(1ln2)，又k为正整数，k的最大值不大于3.下面证明当k3时，f(x)> (x>0)恒成立，即证当x>0时，(x1)ln(x1)12x>0恒成立令g(x)(x1)ln(x1)12x，则g(x)ln(x1)1，当x>e1时，g(x)>0；当0<x<e1时，g(x)<0，当xe1时，g(x)取得极小值g(e1)3e>0.当x>0时，(x1)ln(x1)12x>0恒成立因此正整数k的最大值为3.解法二：当x>0时，f(x)> 恒成立，即h(x) >k对x>0恒成立即h(x)(

18、x>0)的最小值大于k.h(x) 记(x)x1ln(x1)(x>0)，则(x) >0，(x)在(0，)上连续递增，又(2)1ln3<0，(3)22ln2>0，(x)0存在唯一实根a，且满足：a(2,3)，a1ln(a1)由x>a时，(x)>0，h(x)>0；0<x<a时，(x)>0，h(x)<0知：h(x)(x>0)的最小值为h(a) a1(3,4)因此正整数k的最大值为3.备选已知函数，（）讨论函数的单调性； （）证明：若，则对任意，有解：（）的定义域为 2分（i）若即，则，故在单调增加（ii）若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减少，在单调增加（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加（II）考虑函数则 由于故，即在单调增加，从而当时有，即，