第13章 非正弦周期电流电路和信号频谱

1、JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-111o13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号o13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数非正弦周期函数分解为傅里叶级数o13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率o13.4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算JiangSu University Of Science and Technology. Zha

2、ngjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-112o正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的概念，o掌握非正弦周期电流电路的分析方法。 与其它章节的联系 本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。JiangSu University Of Science and Techno

3、logy. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-113工程中会碰到许多非正弦信号，原因有1. 激励本身是非正弦信号 交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。2. 电路中含有非线性元件 (如整流电路等) 非正弦信号有周期性和非周期性之分。周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。JiangSu University Of Science

4、 and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-114实践中常见的非正弦周期信号otuTotiT2T方波方波锯齿波锯齿波iotT尖顶脉冲尖顶脉冲otuT全波整流全波整流数字电路、计算机的数字电路、计算机的CP等等 通过显像管偏转线圈的扫描电流通过显像管偏转线圈的扫描电流晶闸管的触发脉冲等晶闸管的触发脉冲等桥式或全波整流电路的输出波形桥式或全波整流电路的输出波形JiangSu University Of Science and Techno

5、logy. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-115半波整流半波整流iot2TT尖顶波尖顶波正弦电压在铁心线圈正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形中产生的电流波形uot2TT三角波三角波PWM调制器的时调制器的时间基准信号波形间基准信号波形uot2TTotuT阶梯波阶梯波由数字电路或计算由数字电路或计算机产生的正弦信号机产生的正弦信号半波半波JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang C

6、ampus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1161. 非正弦周期函数的分解根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。系数a0、 ak、 bk 分别为：f(t) = = a0+ +akcos(kw w1t) + + bksin(kw w1t)k= =1a0= =T10Tf(t) dtak= =T20Tf(t) cos(kw w1t) dtbk= =T20Tf(t) sin(kw w1t) dtJiangSu University Of S

7、cience and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-117根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为：积分区间也可以是 02 或 - ，例如：ak= =p p1f(t)cos(kw w1t) d(w w1t)-p-pp p对 a0、bk也作同样的处理。a0= =T10Tf(t) dtak= =T20Tf(t)cos(kw w1t) dtbk= =T20Tf(t) sin(kw w1t) dt- -2T2T02p pak= =p

8、 p1f(t) cos(kw w1t) d(w w1t)JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-118 展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式余弦级数：令 ak= Akmcosf fk bk= -Akmsinf fk 则 f(t) = A0+k= =1Akmcos (kw w1t + +f fk)

9、式中：Akm= =ak2+ + bk2f fk = = arctgak - -bkf(t) = = a0+ +akcos(kw w1t) + + bksin(kw w1t)k= =1JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-119 A0 是 f(t) 的恒定分量，或称为直流分量。 k=1的项 Amcos(w w1t +f1) 具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。 基波占

10、f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 k2的各项，分别称为二次，三次谐波等。 或统称高次谐波。Akm= =ak2+ + bk2f fk = = arctgak - -bkf(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (kw w1t + +f fk)JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1110 傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为傅里叶

11、级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数。但在实际计算中这是不可能的，也是没必要的。高次谐波取至哪一项，可以根据所给信号波形、电路的频率特性等因素来确定。通常只需计算前几项就可达到工程所要求的精度。f(t) = = A0+ +k= =1Akmcos (kw w1t + +f fk)JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1111基波基波直流分量直流分量直流分

12、量直流分量+ +基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次谐波三次谐波JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-11122. 非正弦周期信号的频谱非正弦周期信号的频谱 Ff(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。F振

13、幅频谱： f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。F因k 是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。F相位频谱：指f k与 的关系。JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1113锯齿波的振幅频谱图F今后若无说明，均指振幅频谱。iotI- -IT/2- -T/2Tow wIkm/2w w12 2w w13 3w w14 4w w15

14、 5w w1I/p pI/2p pI/3p pI/4p pi(t) = =p p2Icos(w w1t- -90o) + +21cos(2w w1t+ +90o) + +31cos(3w w1t- -90o) + +41cos(4w w1t+ +90o) + + 锯齿波的傅里叶级数展开式为JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-11141. 有效值当给出的电流(或电压)是波

15、形或不是展开式时，用定义式直接计算。为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入定义式积分。I = =T10Ti2(t)dtF 回忆三角函数的性质： sin、cos、sin2、cos2 在在一个周期内的积分为0； 正交性质 (kq)T102p pcoskw wt sinqw wt d(w wt)= =002p pT1coskw wt cosqw wt d(w wt)= =002p pT1sinkw wt sinqw wt d(w wt)= =0JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit C

16、ourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1115设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：i = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(kw w1t + +f fk)i2 = = I0 2+ +2I0 S Sk= =1Ikm cos(kw w1t+ +f fk) + + k= =1S SIkm cos(kw w1t + +f fk)2 S Sk= =1Ikmcos2(kw w1t+ +f fk) + +2k= =1S S2Ikmcos(kw w1t+ +f fk) Iqmcos(qw w1t+ +f fq) 积分结果

17、为零积分结果为零2cos2a =a =1+ +cos2a a 该项的积分结果为：S Sk= =1Ik 2 第一项的积分结果为：T10TI0 dt= =I0 22 该项可化为(kq)JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1116非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为 对非正弦周期电压当给出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算。I0 + +2 S Sk= =1

18、Ik 2 I = =周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。F此结论可以推广用于其他非正弦周期量。 I0 02+ + I1 12+ + I2 22+ + I3 32+ += = U0 + +2 S Sk= =1Uk 2 U = =JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-11172. 平均值对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果： Uavde

19、fT10T| i | dtUavot| i |T/2T直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角测量结果是恒定分量A0。T10Ti dta a交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角测量结果T10Ti2 dta a是有效值。全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角测量结果T10T| i | dta a是平均值。JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-11183. 平均功率FUk 、Ik是第k次

20、谐波的有效值。Fj jk是第k次谐波电流与电压的相位差。任意任意一端口一端口+ +- -uiP = =T10Tui dtP = = U0 I0 + +k= =1Uk Ikcosj jk设i = = I0 + +S Sk= =1Ikm cos(kw w1t+ +f fik)u = = U0+ +S Sk= =1Ukm cos(kw w1t+ +f fuk)因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为 p=ui。 所以平均功率为积分结果为JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Co

21、urseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1119分解；计算；叠加。把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。 将以上计算结果转换为瞬时值叠加。 注意交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；L、C 对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：XkL= = kw wLXkC= =kw wC1JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit

22、CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1120例：uS = 10+141.40cos(w w1t)+47.13cos(3w w1t) +28.28 cos(5w w1t)+20.20 cos(7w w1t) +15.71 cos(9w w1t) + V, 试求 i 和P。 k = 0，因C有隔直作用所以I0 = 0，P0 = 0k = 1，基波作用 .Im(1)= =3 - - j9.45141.40o解：分析步骤分解；已是级数形式。分别求各分量单独作用的结果； 注意感抗、容抗与频率的关系！ = =14.2672.39

23、o AP(1)= = I(1)2R = =21Im(1)2R= = 305.02WRC+ +- -uSi3W W- -j9.45W WJiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1121同理可求得：同理可求得：和和 P(5)、P(7)、P(9)。用叠加原理，按时域形式叠加k = = 3， XC(3)= =31XC(1)= =39.45= =3.15W W .Im(3) = =3

24、 - - j3.1547.130o = = 10.8346.4o AP(3)= = I(3)2R = =21Im(3)2R = = 175.93 W .Im(5) 、 .Im(7) 、 .Im(9)i = = 14.26cos(w w1t+ +72.39o)P = = P0 + + P(1) + + P(3) + +P(9) 注意：同频率的电压电流构成有功功率。RC+ +- -uSi3W W- -j9.45W W72.39o A, .Im(1) = = 14.26P(1)= 305.02W+ +10.83cos(3w w1t+ +46.4o)+ + = = 669.8WJiangSu Univ

25、ersity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit CourseLectured ByXuebin Jiang / Information School2022-2-1122例：已知 L=0.1H，C3=1mF，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。给定LC2C1C3iSi1i2i3200W W100W W解：C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波 发生并联谐振。所以： C2 = =w w2 2L1= =910m mFC3中只有三次谐波电流，说明 L、C1、C2jw wC11+ +j(w wL-1/-1/w wC2)L/C2= = 0C1 = =980m mFiS= =