求数列通项公式的方法归纳与训练

1、求数列通项公式的方法类型1an1anf(n)解法：把原递推公式转化为a01af(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数歹Uan满足anian2n1,ai1,求数列an的通项公式。变式：1.已知数列an满足an1an23n1,a13,求数列a的通项公式.11,、2.已知数列an湎足a1一，an1an-,求an.2 nn类型2an1f(n)an解法：把原递推公式转化为亘f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例2:已知数列an满足a12a_n_a求a3 n1例3:已知a13,an1-3n_1an(n1),求an.3n21变式：1已知数列an,满足a1=1,aai2a23a3(n1)an

2、1(n2),则an的通项ann1n22.已知数列an满足an12(n1)5n烝，阚3,求数列an的通项公式.类型3an1panq(其中p,q均为常数，(pq(p1)0).解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an1tp(ant),其中t一q一,再利用换元法转化为1P2an 1 ,求 an.等比数列求解。例4:已知数列an中，a11,an1变式：在数列an中，若a11,an12an3(n1),则该数列的通项an类型4anipanqn(其中p,q均为常数，(pq(p1)(q1)0)(或an1panrqn,其中p,q,r均为常数)解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1,得：R?an-引入辅

3、助数列bn(其中bn-an),得:qnqqnqqnbn1.pbn1再待定系数法解决.qq例5:已知数列an满足an12an32n,&2,求数列an的通项公式.变式：已知数列an中，a15,an11an(l)n1,求an.632类型5递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。stpst q斛法(待止系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san),其中s,t?两足例6：已知数列an中却2a12a00(n0,nN),切1,a22,求数列an的通项公式.21例7:已知数列an中，a112,an2-an1-an,求an.变式：1.已知数列an满足a1 1a 3,a3an 1

4、2an(nN ).(I)证明：数列aan是等比数列；(II)求数列an的通项公式;4an 2( n 1,2,L),ai 1,2.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn1设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列，是等比数列；设数列Cn萼,(n1,2,)，求证：数列Cn是等差数列；求数列an的通项公式及前n项和.2n类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn”小)解法：这种类型一般利用anS1(0”与anSnSn1fn)f(Hn1)消去SnnSnSn1(n2)(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解.1例8:已知数列an刖n项和Sn4annr.(1)求an1与an的关

5、系；(2)求通项公式an.2a2变式：1.已知数列an中，an0,3厂v2Sn,求通项an.22 .已知数列an的刖n项和为Sn2n3n,求通项a八3 .已知数列an的前n项和Sn满足log2(1Sn)n1,求通项公式an.4 .已知数列an的前n项和Sn=1+2a,求通项公式an.求通项an.5 .已知数列an中，a11,nan12(a1a2.an),求通项an.6.已知数列an的前n项和满足an2SnSni0(n 2),ai1 ,2,求通项an.7 .已知ai2a222a3.2n1ann2,求通项an.8 .已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a1

6、5成等比数列求数列an的通项an类型7an1pananb(p1、0,a0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。例9:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.例10：已知数列an满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式。例11：已知数列an满足an13an52n4,a11,求数歹an的通项公式。例12：已知数列an满足an12an3n24n5,a11,求数列an的通项公式。类型8an1pan(p0,an0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化

7、为an1panq,再利用待定系数法求解。2例13：已知数列a。中，a13,an1an(a0),求数列an的通项公式.类型9an1Una解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panQ.g(n)anh(n)例14：已知数列an满足：anan，&1,求数列an的通项公式.3an111变式：1.若数列的递推公式为a13,an11一、，2(nY),则求这个数列的通项公式.an2.已知数列an满足a11,n2时，anan2an1an,求通项公式.3.若数列an中，a二1,a,2ann1an2类型10周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例15:若数列an满足an1c小1、2an,(0an

8、2)2an11,(2an1)，若a16,则a20的值为7变式：已知数列an满足ai0,an1an(nA.0B.D.求数列通项公式的方法f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.类型1an1anf(n)解法：把原递推公式转化为aman例1已知数歹Uan满足an1an2n1,a11,求数列an的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则ai)ian(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)所以数列an的通项公式为an n2.2(n1)12(n2)1L(221)(212(n1)(n2)L21(n1)1c(n1)n2、2(n1)1(n1)(n1)12n评注：本题解题的关键是把递推

9、关系式an1an2n1转化为an1an2n1,进而求出(anan1)(an1an2)L(a3a?)ai)ai即得数列an的通项公式。变式：1.已知数列an满足an1an3n1,ai3,求数列an的通项公式.解：由an1an23n1得an1an3nan(anan1)(an1n1(231)2(3n13n2则23(13n-(2Lan2)L3n21)L3231)(n(21)a2)32(a2a1)1)(23ai1)所以an3nn1.3n3n(n1)3评注：本题解题的关键是把递推关系式an1ann231转化为an1nan231,进而求出an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数

10、列an的通项公式.2.已知数列1an湎足a1一2an1an-2-1，求ann类型2an1f(n)an解法:把原递推公式转化为亘anf（n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解.例2:已知数列an满足a1nan，本an。n1例3:已知a13,an13n3n2an(n1),求an。变式：（2004,全国I,理15.）1.已知数列an,满足a1=1,ana12a23a3(n1)an1(n2）,则an的通项an角单：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用式一式得an 1 an nan.则an1(n1)an(n2)故a1n1(n2)an所以an-an

11、-anL里a2n(n1)L43a2n!a2.an1an2a22由ana12a23a3L(n1)an1(n2),取n=2,则a2a1=1,代入得an1n!所以，an的通项公式为n!an2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为aniann1(n进而求出2L曳a2,从而可得当an1an2a2n2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式.2.已知数列an满足an12(n1)5nan,ai3,求数列an的通项公式。解:因为an12(n1)5nan,a13,所以an0,则皿2(n1)5n,故anananan1a3a2La1an1an2a2a12(n11)5n12(n21)

12、5n2L2n1n(n1)L325(n1)(n2)Ln(n1)32n15kn!2(21)213522(11)513n(n1)所以数列an的通项公式为an32n15kn!.评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为an1n2(n1)5，进而求出ananan1lan1an2a3a2a1，a2a1即得数列an的通项公式.类型3an1panq(其中p,q均为常数，(pq(p1)0).解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an1tp(ant),其中t且，再利用换元法转化为等比数列求解。1p例4:已知数列an中,a11,an12an1,求a变式：(2006,重庆，文,14)在数列an中

13、，若a11,an12an3(n1),则该数列的通项an类型4an1panqn(其中p,q均为常数(pq(p1)(q1)0)(或2-panrqn,其中p,q,r均为常数)解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1,得：，1上？勺二引入辅助数列bn(其中qqqqbn)，得：bni-pbn1再待定系数法解决。qqq例5:已知数列an满足an12an32n,a12,求数列an的通项公式。解：an1 2an 3 2n两边除以2n 1/日an1an3an1an行2T”5，则2T了故数列是以多21为首项，以3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式，得学1(n1)3,所以数列an的通项公式为an(3n92

14、n评注：本题解题的关键是把递推关系式na n 1anan 12an3 2 转化为 n 12n 12n是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出包 12n(n变式：已知数列an中,ai3 ， 1),进而求出数列an的通项公式.251,1、n1 , an 1 Tan (二)，求 an .632类型5递推公式为an 2pan 1 qan (其中p, q均为常数)。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为ansan1t(an 1san)其中s, t满足sst例6:已知数列an中3an 2 5an 1 2an0(n0,nN) ， a11,a22 ,求数列an的通项公式.例7:已知数列an中,a11,

15、a22 , an 22 an31- an3变式：1.已知数列an满足a1 1包 3,an23an1 2an(n N).(I)证明：数列an 1an是等比数列；(II)求数列an的通项公式;2.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,L),a11,设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；设数列Cnan,(n 1,2,2n)，求证：数列Cn是等差数列；求数列an的通项公式及前n项和.类型6递推公式为Sn与an的关系式.(或Snf(小)解法：这种类型一般利用anS1(n”与anSnSn1f(an)f(an1)消去SnSnSn1(n2)(n2)或与Snf

16、(SnSn1)(n2)消去an进行求解.1例8:已知数列an刖n项和Sn4anft.(1)求an1与an的关系；(2)求通项公式an.(2)应用类型4 (a。1 pa。qn (其中边同乘以2n 1得：2n1am 2nan 2r1由a1S14a1a11 .于是数列22nan22(n1)2n an上2n 1a 2变式：1.已知数列an中，an 0,a，2p, q均为常数，(pq( p 1)(q 1) 0)的方法，上式两2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以v2Sn，求通项an.22_2 .已知数列an的前n项和为Sn2n3n,求通项an.3 .已知数列an的前n项和Sn满足log?。Sn)

17、n1,求通项公式an.4 .已知数列an的前n项和Sn=1+2a,求通项公式an.求通项an.5 .已知数列an中，a11,nan12(a1a2.an),求通项an.1,、一一6 .已知数列an的刖n项和潴足an2SnSn10(n2),a1,求通项a0.27 .已知a2a222a3.2n&n2,求通项an.8 .(2006,陕西，理,20本小题满分12分)已知正项数列an,其前n项和Sn满足108n=ai2+5an+6且ai,a3,ai5成等比数歹！J,求数歹an的通项an类型7ampananb(p1.0,a0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny

18、),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列.例9:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.例10:已知数列an满足an12%35n,a16,求数列an的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n,等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n，得35x2x,则x1,代入式得an15n12俎5n)n1由4516510及式得%5n0,则an15n2,则数列an5n是以a1511为首项，an5以2为公比的等比数列，则an5n2n，故an2n15n。评注：本题解题的关键是把

19、递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5n),从而可知数列an5n是等比数列，进而求出数列a。5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式.例11:已知数列an满足an13an52n4,a11,求数列Jan的通项公式。解：设an1x2n1y3(anx2ny)将am3an52n4代入式，得3an52n4x2n1y30x2ny)52x3xx5一整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52X3X,则x5,代入式得4y3yy2an152n123(an52n2)由式，一na52n12得an52n20,则aj3,an52n2故数列an52n2是以a15212112

20、13为首项，以3为公比的等比数列，因此an52n2133n1,贝Uan133n152n2.评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列an52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式.例12:已知数列an满足an12an3n24n5,a11,求数列an的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)将an12an3n24n5代入式，得_22_22an3n4n5x(n1)y(n1)z2(anxnynz),贝U2 22an(3x)n(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z等式两边消去2an,得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z,3 x2xx3解方程组2xy42y,则y10,代入式，得xyz52zz1822an13(n1)10(n1)182(an3n10n18)由a13121