《正弦定理第一课时》的说课

1、正弦定理(第一课时的说课吴登文(青海省海东地区平安中学,青海810600中图分类号:O124.1文献标识码:A 文章编号:0488-7395(200105-0010-04收稿日期:2000-12-20作者简介:吴登文(1970,男,青海乐都人,青海省海登地区平安中学一级教师,学士.1教材结构、地位与作用正弦定理教学时数的安排为4课时,它涉及定理的推导教学、应用教学两大部分,本节课的重点是定理的推导教学与定理的迁移运用.学生在上几节课已掌握了涉及三角形边角间重要关系的余弦定理,所以在此基础上继续学习计算三角形有关元素的定理,除了坐标思想的深化,还应该在定理内容的拓展方面寻求新意,包括结构认识,跨

2、度联系和角度转换等要素.学习正余弦定理能发挥三角变换具有灵活性的优势,从解题观察、思维教育、方法启迪、美学感受等方面能寻找到优化学生思维结构的恰当生长点,它是学生进一步将三角变换与三角形元素计算、三角代数式边角互化等问题有机结合起来的重要基础,其地位十分独特、重要.从教师角度讲,我们都知道正余弦定理作为一个基本工具,它在高中教学里应用频率是非常高的,这个定理的教学蕴含着丰富的数学思维方法和十分出色的解题技巧,只要教师善于捕捉教学中思维发展的生长点,不仅能使之成为发展学生的以创新能力和探索精神为核心的有效载体,也是培养学生良好个性心理品质、发展逻辑思维能力的重要内容.另一方面,只有探索创新的教学

3、改革才能锤炼出具有创新意识的学生,教师才能在创新的教学设计中获得进步,能否突破传统,善于组织创新的教学活动,也是本文刻意追求的数学教育模式.2教学重点、难点、关键本节课的重点是在正弦定理推导基础之上的定理拓展应用,教给学生获取数学知识的观念、方法、视角.难点是在认识正弦定理中比值k 的具体意义的起点上,能正确应用正弦替换迁移性地解决问题.关键是通过初中圆的知识发现k 的实在的直观的几何意义,以此作为拓展内容的突破,使教学过程体现流畅与自然,而不是刻意拨高或故作深奥.进而从数学教育哲学的角度来看,实际上形成教学双边互动良性系统的关键是:教师必须抛弃那种单纯地以传授知识,视学生为“知识容器”而形成

4、的被动的教学模式和教学思想,坚决把教学过程适当地控制为一个学生参与、学生交流、学生学习过程中能感到民主和探索的实践过程.3教学目标根据教学大纲的要求和本节教学内容,贯穿以创新教育为内核的素质教育宗旨,本着教材的特点和高一学生的认知能力与数学思维特征,设定的教学目标为:3.1知识目标掌握正弦定理的推导,明确比例值k 的几何意义,能较熟练地应用正弦替换认识一组三角形面积公式,能用正弦替换解决一些中等水平的高中三角函数变换求值问题.3.2能力目标以培养学生三大能力为基点,注重培养学生获取数学知识的能力,数学交流表达的能力,初步感受数学美的能力,知识间纵横迁移的视角转换能力,自主学习的内在发展能力.3

5、.3个性品质目标通过感受数学美激发青年学生热爱科学勇于探索的精神,通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新,多方位审视问题的创造技巧,通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征.4教学模式的选择与学习方法的指导没有学生参与的教学是不成功的教学,教师为了充分调动主体参与,必须在为学生提供必要的背景知识的前提下,与学生一道探索定理在结构上、应用上留给我们的启示.帮助学生制定一些初步计划,提出一些富有思维价值且合乎学生认识实际的问题,思维要流畅、丰富,要有动态,使学生善于从教与学中通过个体反省与思维结构调整,优化思维认知结构,寻求解题过程变式发展,主体积极反思将知识纳

6、入认知系统等方面,能体现出教师高超的过程教学设计技巧,在每一个细微环节中培养学生的创造思维.通过师生互动交流、学生群体互动交流,教给学生学习数学的切实方法.经验表明,教师把课讲得过细,也不利于调动学生积极思考和建构知识,所以我对拓展型例题大都采用探索基础上的点到为止.5教学过程设计5.1新课背景知识复习1请同学们写出用已知两边及其夹角求第三边的余弦定理表达式(写出三个中任何一个即可.再若已知三边,怎样用余弦定理求其内角呢?(写出三个中任何一个即可.(要求同桌互相检查,从一开始就鼓励双边交流与多边交流,体现教学过程的讨论型2 三角形面积公式有哪些 ?估计学生都能回答出S =12ah.期望学生能回

7、答出高一新生入学初始,我在班上开设的复习专题初中数学知识系统复习中讲过的S =pr 和海伦公式S =p (p -a (p -b (p -c ,其中p 是三角形半周长,r 是三角形内切圆半径.5.2通过坐标法建立一般三角形的面积公式图1如图1,建系取点,易知点B坐标为(c cos A ,c sin A ,显然,A C 边上的高B E 就是B 点的纵坐标c sin A (c sin A 必大于零,为什么?教师要善于设疑,于是AB C 的面积S =12A C B E =12bc sin A.同理可得S =12ca sin B =12ab sin C ,由此得等式串S=12bc sin A =12ca

8、 sin B =12ab sin C.启发学生用自己的语言叙述上述求积公式,教师稍加整理后给出规范叙述;三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半.(给每一个学生表现个人数学语言表达才能的机会.引导学生利用现代化教学手段自行获取定理的证明、表达,为学生的数学创造欲望提供可诱导可控制的教学环境5.3推导出正弦定理并发现比值k 的几何意义若把上述一串面积公式左边的S 取掉,连等式中都约去12又怎样呢?(期望学生回答bc sin A =ca sin A =ab sin C 再都除以abc 又会怎样呢?(发现过程采用小步子原则,让学生在不知不觉中发现数学中的真理得sin A a=sin B b

9、=sin C c.用反比定理,也可以写成a sin A =b sin B =csin C.(老师有意无意地提到有关比例性质,使定理教学融汇贯通,左右逢源这说明a sin A ,b sin B ,c sin C三个结构一致的对应边除以对应角正弦的比值是相等的,是一个常数,让我们再来看看这个比值是多少呢?(让学生通过结构特征观察与欣赏这个等式,教师要善于启发,点燃学生探索的火花,引导促成认识冲突,但不必也不应娇情出示投影片图2图3让我们把三角形从坐标系里拿出来,放到它的外接圆里来观察.如图2,过点B 作O 的直径BD ,再连结DC ,等弧对等角,A =D ;如图3,作直径BD ,连结DC ,则圆内

10、接四边形A CDB 的对角互补,A +D =180°.若是A =D ,我们自然有sin A =sin D ;若A +D =180°,根据诱导公式,仍有sin A =sin (-D =sin D.无论图2或图3,均有等式sin A =sin D 这个结论.另外,在两图中,BD 都是直径,从而有B CD 为直角.若设外接圆的半径为R ,则BD =2R.在RtB CD中有sin D=B CBD =a2R,所以k=asin A=asin D=aa2R=2R,这个比值是AB C外接圆的直径,边、角、半径被组合到一个等式中来了.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且

11、都等于外接圆的直径,即a sin A =bsin B=csin C=2R.5.4引入正弦替换的概念有时我们把这个比值直接写为k,那么我们显然有a=k sin A或a=2R sin A.也可逆向写sin A=ak 或sin A=a2R.既可以用三角函数来表示边,也可以用边与常数之比表达角,我有时把这类边角互化就称为正弦替换.5.5三角形面积公式的其它表达式若把a=2R sin A,b=2R sin B代入S= 12absin C,就有S=2R2sin A sin B sin C,这就是说只要知道三角形的外接圆半径和三内角,也可以求面积;若把sin C=c2R 代入S=12absin C,又有S=

12、abc4R.若R为AB C外接圆半径,r为AB C内切圆半径,p为半周长,则S=12ah=pr=p(p-a(p-b(p-c=12bcsin A=12casin B=12absin C=abc4R=2R2sin A sin B sin C.5.6三角函数定义的合理性(感受数学的和谐美如果AB C中有一角是直角,例如C=2,这时sin C=1,c就是斜边,那么k=csin C =c则asin A=c,bsin B=c,也就是sin A=ac,sin B=bc.这就是初三所学过的最简单的直角三角形中正弦函数的定义.这和原来的定义是一致的.这说明了三角函数的定义不仅是合理的,而且具有和谐美.(数学美学

13、教育的生长点在我们的课程中占比例还太少了,以后应多多挖掘,让学生感到数学有趣、好玩、有意思,这不正是数学教育工作者孜孜渴求的吗?5.7正余弦联合定理的推导与应用我们再用一下正弦替换,若把a=k sin A,b= k sin B,c=k sin C代入余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得:k2sin2C=k2sin2A+k2sin2B-2k2sin A sin B cos C.约去k2便有sin2C=sin2A+sin2B-2sin A sin B cos C,我们就把它命名为正余弦联合定理.例1(P233例9求值sin210°+cos240°+ sin10

14、76;cos40°.解原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50°=sin210°+sin250°+sin10°sin50°(-2cos120°(此步为定向构造,要考虑10°+50°+120°=180°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°(构造成功,可用上述联合定理=sin2120°=(322=34.(其实,1990,1992,1995年高考

15、试题,1991年全国高中数学联赛试题等处都考过类似的有一定难度的试题,我们认为本例给出的方法就极为简捷,略略构造就可以使用正余弦联合定理一举得出答案.但考虑到切实实施素质教育,教师应有意识地淡化再淡化,不要说出它就是高考试题5.8从边角互化的视角看正弦替换的功能例2AB C中,设a+c=2b,A-C=3,求sin B的值.这是一个有课堂练习性质的例题,允许学生有1 2分钟多边交流讨论,允许想出来的同学表达解题观察的结论,教师适当点拨即可.a+c=2b,可完全变为与角有关的等式sin A+sin C=2sin B,再实施和差化积,并把A-C=3代入,即得sin B2=34,cos B2=134,

16、从而sin B=398.(这道题不要求学生完全做出来,只要能看出正弦替换、和差化积,便可结束.数学教师的课堂教学应该点到为止,若是全盘包办、不敢放手,学生的思维独立性不可能形成!知识何必尽传?我们必须明确学生才是学习的真正主体,教师的作用是环境建构、问题诊断、心理引导.也就是说要灵活诊断学生需求,加强教学过程的监控但不能让学生看出痕迹,适时恰当地提供学生研究经验5.9从比例等式的视角看正弦定理的运用例3在三角形AB C中若a+b=10,c=8,求tg A2tg B2的值.正弦定理是一个比例等式,若观察到条件a+b=10,可用等比定理易得a +bsin A+sin B =csin C,并显然已知

17、C=-(A+B,得10sin A+sin B =8sin(A+B,左边分母和差化积,右边分母使用二倍角公式,并整理有5cos A+B2=4cos A-B2,得tg A2tg B2=19.另一方面,按比例性质正弦定理也可改写为abc=sin Asin Bsin C,则不难解决下述问题(让学生自己完成.例4若三角形AB C三内角之比是123,求它们所对的边长之比.易得abc=sin30°sin60°sin90°=12321=132.(这两个例题都是具有课堂练习性质的例题,着眼点在解题观察上,具体结果的计算显然不是这堂课的重点,即使学生一时得不到正确答案也极为正常,数学

18、慧眼的培养有时也需要放弃刻板的认真与所谓的一丝不苟5.10正弦定理在解决三角形基本元素中的运用(教学中应改变以往必须讲课本第245页起书例1例4的习惯.坦率的说,本节课的容量有限,此处内容我大胆地设计为让学生课外自主预习与阅读的内容,留待下一节课再有针对性地释疑,同时结合数学建模与数学应用讲生活问题中如何用正弦定理.第245页例1前一小段话说明了正弦定理能解决的两类基本元素计算问题,应相信我们的高中学生基本上能读懂后继内容,不到水里永远学不会游泳,没有学生亲历自主建构的数学解题经验,教师外在的传授永远建立不起具有个性差异的个体认知结构.考虑到现代建构主义对数学教学论的启示,我认为让学生在主体努力下寻求疑点,量力而行,读懂多少算多少,可培养思维批判精神可充分尊重个别智力差异.这种开放式的教学不仅有建构主义的观念,也含有卢仲衡研究员倡导的自主辅导自我发展的观点.书例1例4将是第二节课起与学生共同讨论的重点,留为开放预习作业是我有意精心设计的具有认知心理学倾向的教学手段.这不仅能培养学生的个性品质,也对数学学习习惯是否形成是一个巧妙的检验5.11小结本节课我们学习了正弦定理,还知道了一系列求三角形面积的公式,发现了正弦定理中的比值k 就是AB C外接圆的直径,还学会了正弦替换的思维方法,探讨了三类与三角变换紧密联系的能用正弦定理解决的重要问题.同学们表现的很活跃,我