勾股定理讲义

1、 姓名:勾股定理培优班习题一、基础知识点: 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 222a b c += 2. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S +=正方形 正方形 ABCD , 2214(2ab b a c +-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和

2、等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422S ab c ab c =+=+ 大正方形面积为 222( 2S a b a ab b =+=+所以 222a b c +=方法三:1( ( 2S a b a b =+梯形 , 2112S 222ADE ABES S ab c =+=+梯形 ,化简得证 3. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 4. 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC 中, 90C =,则 cb, a 知道直角三角形

3、一边,可得另外两边之间的数量 关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足 222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状, 在运用这一定理时, 可用两小边的平方和 22a b +与较长边的平方 2c 作比较, 若它们相等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形; 若 222a b c +<,时,以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形;若 222a b c +>

4、,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形; 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长 a , b , c 满足222a c b +=,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边 6. 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 222a b c +=中, a , b , c 为正整数时, 称 a , b , c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等 用含字母的代数式表示 n 组勾股数:

5、 221,2, 1n n n -+(2, n n 为正整数 ; 2221,22,221n nn n n +(n 为正整数 2222,2, m n mn m n -+(, m n >m ,n 为正整数bacbac acab a bcbaED CBA7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题. 在使用勾股 定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行 计算,应设法添加辅助线 (通常作垂线 ,构造直角三角形, 以便正确使用勾股定理进行求解 . 8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的

6、逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形, 在具体推算过 程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而 得到错误的结论.9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中, 是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆定理判 定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:ABCD BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一 个叫做原命题

7、,那么另一个叫做它的逆命题。题型一:利用勾股定理解决实际问题训练 2、如图,公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学, AP=160米,点 A 到公路 MN 的距 离为 80米,假使拖拉机行驶时,周围 100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时, 学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是 18千米 /小时,那么学校受到影响的时 间为多少? 题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练 3.如图,直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 B ,点 A 、 C 到直线 l 的距离分别是 1、 2,则正方形的边长 是 _ _.题

8、型三、关于翻折问题训练 5、 如图,把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处, EC 与 AD相交于点 F. 若 AB=4, BC=6,求 FAC 的周长和面积 .训练 6、如图,将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处,已知 cm CE 6=,cm AB 16=,求 BF 的长.题型四、关于最短性问题 训练 8、 如图 1,长方体的长为 12cm ,宽为 6cm ,高为 5cm ,一只蚂蚁沿侧面从 A 点向 B 点爬行,问:爬 到 B 点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少? 训练 9、 如图壁虎在一座底面半径为 2米,高为 4米的油罐

9、的下底边沿 A 处, 它发现在自己的正上方油罐上 边缘的 B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿 一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ? 训练 10、如图,一个高 18m ,周长 5m 的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环 绕一周半到达顶端,问登梯至少多长? (建议:拿张白纸动手操作,你一定会发现其中的奥妙 EBA题型五、关于勾股定理判定三角形形状训练 11、已知, ABC 中, AB=17cm, BC=16cm, BC 边上的中线 AD=15cm,试说明 ABC 是等腰

10、三角形。题型六、关于旋转中的勾股定理的运用:训练 13、如图, ABC 是直角三角形, BC 是斜边,将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与 AC P 重合, 若 AP=3,求 PP 的长。配套练习一、填空题1、若三角形的三边之比是 7:24:25,则这个三角形是 三角形。2、 ABC 中, A 是 B 的 2倍, C 比 A+ B 还大 12°,则这个三角形是 三角形。 3、若直角三角形两直角边的比是 3:4,斜边长是 20,则斜边上的高是 。 4、在 Rt ABC 中, C=900, (1若 a=6, b=8,则 c= ; (2若 c=13, b=12,则 a= ;(3若 a=

11、21, c=28,则 b= ;5、小华和小红都从同一点 O 出发,小华向北走了 9米到 A 点,小红向东走了 12米到了 B 点,则 6、若一块直角三角板,两直角边分别为 12cm 和 5cm ,不移动三角板,能画出的线段最长是 cm _。 7、在 Rt ABC 中, ACB=900, CD AB 于 D , AC=6, AB=10,则 BD= 。 8、在等腰直角三角形中,斜边长为 50cm ,则它的面积为 9、在直角三角形中,三边长分别为 5、 12,则第三边长为10、等腰三角形腰和底边的比是 3:2,若底边长为 6,则底边上的高为 二、选择题1、下列三角形中,一定是直角三角形的有( A 、

12、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个有两个内角互余的三角形; 三边长为 m 2-n 2、 nm 2、 m 2+n2(m>n>0的三角形; 三边的比为 3:4:5的三角形; 三个内角的比是 1:2:3的三角形;2、有长度为 9cm , 12cm , 15cm , 36cm , 39cm 的五根木棒,能搭成(首尾顺次相连直角三角形的个数为( A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个3、若线段 a , b , c 组成 Rt ,则它们的比可以为( A 、 2 3 4 B 、 3 4 6 C 、 5 12 13 D 、 4 6 74、三角形的三边长为(a+b 2=

13、c2+2ab,则这个三角形是 ( A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 .5、一直角三角形的斜边比一直角边大 4,另一直角边长为 8,则斜边长为( A 、 6 B 、 8 C 、 10 D 、 126、直角三角形的周长为 12cm ,斜边长为 5cm ,则其面积为( A 、 12cm 2 B 、 10cm 2 C 、 8cm 2 D 、 6cm 27、如图,正方形网格中的 ABC ,若小方格边长为 1,则 ABC 是 ( A 、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对A CPA P CB二、综合发展 : 1.如图,一个高 4m 、宽 3m

14、 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条 的长. 2、有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿 CAB 的角 平分线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗? 3. 一个三角形三条边的长分别为 cm 15, cm 20, cm 25,这个三角形最长边上的高是多少?4.如图,要修建一个育苗棚,棚高 h=3m,棚宽 a=4m,棚的长为 12m ,现要在棚顶上 覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜? AEB三、解答题1、有一边长为 4米的水池的池中央,竖着一根竹竿,竹竿高出水面 1m ,一阵风吹来,竹竿倒向一

15、边,竹竿的顶 端恰好靠在池边,顶端与水面相平。求这里的水深是多少米? 2、小明要外出旅游,他带的行李箱长 cm 40,宽 cm 30,高 cm 60,一把 cm 70长的雨伞能 否装进这个行李箱? 3、如图:有一圆柱,它的高等于 cm 8,底面直径等于 cm 4(3=在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁,它想吃 到上底面与 A 相对的 B 点处的食物,求蚂蚁需要爬行的最短路程。 4、如图,是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的,若图中大小正方形的面积分别为 62.5和 4,求直角 三角形两直角边的长。5、如图, ADC=90°, AD=12m, CD=9m, AB=39m, BC=3

16、6m,求这块地的面积。提高训练1、若一个三角形的边长分别是 12、 16和 20,则这个三角形最长边上的高长是 _。 2、如图是一个长方体盒子,它的长、宽、高分别为 3dm 、 2dm 、 2dm , A 和 B 是这个盒子两个相 对的顶点, A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着盒子表面面爬到B 点最短路程是 _dm. 3、 有一直角三角形, 其两边分别为 12和 16, 则该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离是 4、已知在 ABC 中, AD=8, AB=17, AC=10, AD BC ,求 BC 的长。B CDB5、如图,在 ABC 中, CE 是 AB 边上的中

17、线, CD AB 于 D, 且 AB=5,BC=4,AC=6,求 DE 的长。6、某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 售价 a 元,则购买这种草皮至少需要多少元?7、如图,在 ABC 中, AB=AC, P 为 BC 上任意一点,请用学过的知识说明:AB 2-AP 2=PB·PC 。8、农民承包了一块四边形水稻田 ABCD ,他量得边长 AB=90m, BC=120m, CD=130m, DA=140,且边 AB , BC 正好位于互相垂直的马路的拐角处,请你计算一下这块水稻田的面积。 (7分9、有一圆柱形食品盒,它的高等于

18、 16cm ,底面直径为 10cm , 蚂蚁爬行的速度为 2cm/s.如果在盒外下底面的 A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物,那么它至少需要多少时间 ? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略 不计, 取 3 10、一牧童在距小河的南岸 4英里的 A 处牧马,河水向正东流去,而他此时位于他家 B 的西 8英里北 7英里处, 他想把马牵到小河边区饮水,然后回家,他完成这件事所走的最短路程为多少英里?20m 30mPCC小 河11、如图, A 、 B 两村在河 CD 同侧, AB 2=13平方千米, A 、 B 两村到河的距离分别是 AC=1千米, BD=3千米, 现要在河边 CD 上建一

19、个水厂向 A 、 B 两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米 3000元,请你在河岸 CD 上 选择水厂位置 O ,使铺设费用最省,并求出铺设水管的总费用。12. (9分平面上有 AB 、 CD 两棵树, AB 为 1米, CD 为 4米,两树之距 AC 为 12米, 、 A 、 C 之间有一些稻谷,一小鸟从点 D 飞到某点 P 吃了稻谷后飞到 点 B ,所飞路程最短,求这个最短路程 BP PD . 13. (12分如图,在正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 为 CD 上一点,且 CF=41 CD 。 求证: AEF 是直角三角形。14、 如图是某广告公司为某种商品设计的商标图案,若图中每个小长方形的面积都是 1,则阴影部分的面积是 _ 15. 观察一下几组勾股数,并寻找规律: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41;请你写出有以上规律的第 5组勾股数: . 请你写出有以上规律的第 6组勾股数: .B16、 (10分如图所示,一根长 2a